重庆邮电大学理学院：《数值计算理论与技术》研究生课程PPT教学课件_第8章 矩阵特征值问题的数值方法

第8章矩阵特征值问题的数值方法 81特征值估计与扰动 8.2幂法与反幂法 8.3幂法的加速方法 84雅可比方法 85数值实验

第8章 矩阵特征值问题的数值方法 8.1 特征值估计与扰动 8.2 幂法与反幂法 8.3 幂法的加速方法 8.4 雅可比方法 8.5 数值实验

第8章 问题的提出 在科学和工程计算中,会遇到矩阵的特征值和特征向量的计算问题 引例遗传学的问题 用bn,Cn分别表示某地区第n代男性和女性居民的 色盲基因频率.由遗传学知道 2.3 C 2 若已知b,C1,如何求bn,Cn?

问题的提出 在科学和工程计算中，会遇到矩阵的特征值和特征向量的计算问题. 引例 遗传学的问题 用 b n ， n c 分别表示某地区第 n 代男性和女性居民的 色盲基因频率.由遗传学知道 ( )  = + = − − − 1 1 / 2 1 n n n n n c b c b c n = 2 , 3 ,  若 已 知 1 b , 1 c ,如何 求 n b , n c ? 第 8 章

0 若已知b,C1,如何求bn,Cn? 1/21/2人cn1 把上式右端的系数矩阵记为B 递推得出 B 由此可见,求b,Cn可归结为求出Bn 为化简B,求其特征多项式-B=(2-1+1/2) 得B的特征值为1,-12.由此看出,B可对角化

若已知 1 b , 1 c ,如何求 n b , n c ?                 =        − − 1 1 1/ 2 1/ 2 0 1 n n n n c b c b 把上式右端的系数矩阵记为 B , 递推得出         =        − 1 1 1 c b B c b n n n 由此可见，求 n b , n c 可归结为求出 n−1 B .. 为化简 B ，求其特征多项式 I − B = ( −1)( +1/ 2) 得 B 的特征值为 1,-1/2. 由此看出, B 可对角化

0 令U= ,则U-BU 对角化 0-1/2 Bn-=Ul (-1/2)"22+(-1/2)2 0-1/2 3(1-(-1/2) n-1 2+(-1/2) (-1/2)2)b1+(2+(-1/2)2)c1 因此 -(-1/2)")b1+(2+(-1/2)”)

令         − = 1 1 1 2 U , 则         − = − 0 1/ 2 1 0 1 U BU 对角化         − − + − − − + − =         −  = − − − − − − − 1 1 2 2 1 1 1 1 ( 1/ 2) 2 ( 1/ 2) 1 ( 1/ 2) 2 ( 1/ 2) 3 1 0 1/ 2 1 0 n n n n n n B U U 因此            = − − + + − = − − + + − − − − − 1 1 1 1 1 2 1 2 (1 ( 1/ 2) ) (2 ( 1/ 2) ) 3 1 (1 ( 1/ 2) ) (2 ( 1/ 2) ) 3 1 c b c b b c n n n n n n

bn=1-(12y2)b1+(2+(-1/2)2x 1[-(12)+2+(+1/2yx 2 →lbn= lim Cn339 n→>0O n→> 这说明,尽管第一代男性、女性居民的色盲基因频率可能不相同, 但是经过多代(每一代都是随机结合)之后,两个性别的居民的 色盲基因频率将接近相等 工程实践中有许多问题,如桥梁或建筑物的振动,机械部件、飞机机翼的振动 以及一些稳定性分析和相关分析,可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题

           = − − + + − = − − + + − − − − − 1 1 1 1 1 2 1 2 (1 ( 1/ 2) ) (2 ( 1/ 2) ) 3 1 (1 ( 1/ 2) ) (2 ( 1/ 2) ) 3 1 c b c b b c n n n n n n 1 1 3 2 3 1 lim b lim c b c n n n n  = = + → → 这说明, 尽管第一代男性、女性居民的色盲基因频率可能不相同, 但是经过多代（每一代都是随机结合）之后，两个性别的居民的 色盲基因频率将接近相等. 工程实践中有许多问题, 如桥梁或建筑物的振动, 机械部件、飞机机翼的振动， 以及一些稳定性分析和相关分析, 可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题

预备知识 定义8.1设A=(an)∈R"",若数几和H维非零列向量 x使方程组 Ax=ax (81)成 则称λ为方阵A的特征值,x称为A的对应于特征值λ的 特征向量. 特征值是方程A-M=0,即 22+a12n1+…an12+an=0的根.。 齐次方程组(A-A)x=0的非零解 为λ对应的特征向量

定义 8.1 设 A = ( ) aij n n R   ，若数 和 n 维非零列向量 x 使方程组 Ax = x （8.1） 成立， 则称 为方阵 A 的特征值， x 称为 A 的对应于特征值 的 特征向量. 特征值是方程 A− I = 0，即 1 0 1 + 1 + − + = − n n n n  a  a  a 的根. 齐次方程组 (A − I)x = 0 的非零解 为  对应的特征向量. 求解困难 预备知识

特征值的 定理81设A的特征值为1,12,…,几n,则 一些结果 ①A+2+…+n=a1+a2+…+an ②A42…n=4 定理82设A的特征值为,且Ax=A,x≠0,则 ①-p为A-pⅠ的特征值; ②为A2的特征值; ③设A为非奇异矩阵,则λ≠0,且为A-的特征值

定理 8.1 设 A 的特征值为  n , , , 1 2  ，则 ① 1 + 2 ++ n = a11 + a22 ++ ann ； ② 1 2 n = A . 定理 8.2 设 A 的特征值为  ，且 Ax = x， x  0 ，则 ①  − p 为 A − p I 的特征值； ② 2  为 2 A 的特征值； ③ 设 A 为非奇异矩阵，则   0 ，且  1 为 −1 A 的特征值. 特征值的 一些结果

81特征值估计与扰动 、特征值的估计 若A4为n阶矩阵A的任何一种矩阵范数,则 定理83n阶矩阵A=(an)mn的任何一个特征值 盘定理 必属于复平面上的n个圆盘的并集: 1,2,…,n(8.4) J=1,J≠l 证P178

若 A 为 n阶矩阵 A 的任何一种矩阵范数,则 i  A , i = 1,2,  , n 一、特征值的估计 8.1 特征值估计与扰动 定理 8.3 n 阶矩阵 A = aij nn ( ) 的任何一个特征值 必属于复平面上的n 个圆盘的并集: { } 1, =  = −  n j j i i aii aij D z z , i = 1,2,  , n (8.4) 证 P.178 圆盘定理

注:利用相似矩阵性质,有时可以获得A的特征值 进一步的估计 定理84若式(84)中的m个圆盘形成一个连通区域D 且D与其余n-m个圆盘不相连,则D中恰有A的m个 特征值

注: 利用相似矩阵性质,有时可以获得 A 的特征值 进一步的估计. 定理 8.4 若式(8.4)中的m 个圆盘形成一个连通区域 D , 且 D 与其余 n −m个圆盘不相连,则 D 中恰有 A 的 m 个 特征值

410 例81估计矩阵A=10 的特征值范围 解A的3个圆盘为 D1:-4≤1,D2:|2≤2,D3:|λ+4≤2 孤立 圆盘D内恰好包含A的一个特征值λ1:3≤A≤5 进一步估计:选取对角矩阵D1=diag(,0.9) 10 作相似变换A→A1=DAD 0.90.9-4

例 8.1 估计矩阵           − = − 1 1 4 1 0 1 4 1 0 A 的特征值范围. 解 A 的 3 个圆盘为 : D1  − 4 1, : D2   2 , : D3  + 4  2 孤立 圆盘 D1 内恰好包含 A 的一个特征值1 : 3  1  5 进一步估计: 选取对角矩阵 (1,1,0.9) 1 D = diag − 作相似变换 A A D AD 1 1 − → =             − = − 0.9 0.9 4 9 10 1 0 4 1 0