华东师范大学：《迭代方法与预处理》课程教学课件（迭代方法与预处理）第一讲 线性代数基础（矩阵基础）

线性方程组。迭代方法与预处理 第一讲预备知识：矩阵基础 目录 M 1.1 线性代数基础 1.2 向量序列与矩阵序列 1.3 几类特殊矩阵 1.4 数值域 1.5 Chebyshev多项式

线性方程组 • 迭代方法与预处理 第一讲 预备知识: 矩阵基础 1.1 线性代数基础 1.2 向量序列与矩阵序列 1.3 几类特殊矩阵 1.4 数值域 1.5 Chebyshev 多项式 目录

参考资料 相关参考资料 Horn and Johnson,Matrix Analysis,2nd Edition,2013. Horn and Johnson,Topics in Matrix Analysis,1991. 0戴华，矩阵论，2001. 潘建瑜，矩阵计算讲义，2023 http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 3/20

参考资料 相关参考资料  Horn and Johnson, Matrix Analysis, 2nd Edition, 2013.  Horn and Johnson, Topics in Matrix Analysis, 1991.  戴华, 矩阵论, 2001.  潘建瑜, 矩阵计算讲义, 2023. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/20

1-1 线性代数基础 0 线性空间，如：R”,Cn,Rnxn,Rmxm,Rmxn O内积与内积空间，正交与GramSchmidt正交化过程 ⊙矩阵与线性变换，值域与零空间，初等变换，相似变换 ⊙向量范数与矩阵范数，范数与内积 ⊙投影，正交投影，最佳逼近 O矩阵Shcr分解，Jordan标准型，Kronecker积 OLU分解，Cholesky分解，QR分解，SVD分解，极分解 http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 4/20

1­1 线性代数基础  线性空间, 如: R n , C n , R n×n , R m×m, R m×n  内积与内积空间, 正交与 Gram Schmidt 正交化过程  矩阵与线性变换, 值域与零空间, 初等变换, 相似变换  向量范数与矩阵范数, 范数与内积  投影, 正交投影, 最佳逼近  矩阵 Shcur 分解, Jordan 标准型, Kronecker 积  LU 分解, Cholesky 分解, QR 分解, SVD 分解, 极分解 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/20

1-21 向量序列与矩阵序列 。向量序列的收敛性和判别 ⊙矩阵序列的收敛性和判别 ⊙谱半径与矩阵范数 ⑦矩阵幂级数 )收敛速度 http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 5/20

1­2 向量序列与矩阵序列  向量序列的收敛性和判别  矩阵序列的收敛性和判别  谱半径与矩阵范数  矩阵幂级数  收敛速度 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/20

1-31 几类特殊矩阵 ⑦正定矩阵，对称正定矩阵 ⊙对角占优矩阵，严格对角占优矩阵 )可约矩阵，不可约矩阵 http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 6/20

1­3 几类特殊矩阵  正定矩阵, 对称正定矩阵  对角占优矩阵, 严格对角占优矩阵  可约矩阵, 不可约矩阵 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 6/20

1-4 数值域 1.4数值域 1.4.1基本概念与性质 1.4.2数值域的凸性 1.4.3矩阵乘积的数值域 https://math.ecnu.edu.cn/-jypan/Teaching/MatrixIter

1­4 数值域 1.4 数值域 1.4.1 基本概念与性质 1.4.2 数值域的凸性 1.4.3 矩阵乘积的数值域 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/MatrixIter

1-5|Chebyshev多项式 1.5 Chebyshev多项式 1.5.1实Chebyshev多项式 1.5.2复Chebyshev多项式 https://math.ecnu.edu.cn/-jypan/Teaching/MatrixIter

1­5 Chebyshev 多项式 1.5 Chebyshev 多项式 1.5.1 实 Chebyshev 多项式 1.5.2 复 Chebyshev 多项式 https://math.ecnu.edu.cn/~jypan/Teaching/MatrixIter

1-5-1实Chebyshev多项式 Chebyshev多项式的定义 Tn(=cos(narccos r),x∈[-1,1]，n=0,1,2,. 0T6()=1,T(x)=x )令0=arccos r,则x=cos0,于是Tn(x)=cos(nd).根据三角函数的和差化积公式： cos(n+1)0+cos(n-1)0 =2 cos0 cos n0. 所以有Tn+1(+Tn-1(d)=2xTn(d),即 Tn+1(d=2xTn(d-Tn-1(,n=1,2, 这就是著名的Chebyshev多项式三项递推公式

1­5­1 实 Chebyshev 多项式 Chebyshev 多项式的定义 Tn(x) = cos(n arccos x), x ∈ [−1, 1], n = 0, 1, 2, . . . .  T0(x) = 1, T1(x) = x  令 θ = arccos x, 则 x = cos θ, 于是 Tn(x) = cos(nθ). 根据三角函数的和差化积公式: cos(n + 1)θ + cos(n − 1)θ = 2 cos θ cos nθ. 所以有 Tn+1(x) + Tn−1(x) = 2xTn(x), 即 Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x), n = 1, 2, . . . . 这就是著名的 Chebyshev 多项式 三项递推公式

其他定义 定义方式 .回=+v屋-可)”+（e+vP-可) =[(e+VR-”+(e-V-可门 http://math.ecmu.edu.cn/-jypan 10/20

其他定义 定义方式二 Tn(x) = 1 2 [( x + √ x 2 − 1 )n + ( x + √ x 2 − 1 )−n ] = 1 2 [(x + √ x 2 − 1 )n + ( x − √ x 2 − 1 )n ] . http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 10/20

Chebyshev多项式的正交性 首先给出加权函数和带权内积的定义. 加权函数 设w(∈Ca,,若w()满足： (1)(≥0，廿x∈[a,: [”w(回d证存在，其中k为任意非负整数 (2) (③)对任意非负函数g(回∈Ca,若 gw(dx=0,则g(=0: 则称w(为[a,上的加权函数 http://math.ecnu.edu.cn/-jypan 11/20

Chebyshev 多项式的正交性 首先给出 加权函数 和 带权内积 的定义. 加权函数 设 ω(x) ∈ C[a, b], 若 ω(x) 满足: (1) w(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a, b]; (2) ˆ b a x kω(x) dx 存在, 其中 k 为任意非负整数; (3) 对任意非负函数 g(x) ∈ C[a, b], 若 ˆ b a g(x)ω(x) dx = 0, 则 g(x) = 0; 则称 ω(x) 为 [a, b] 上的 加权函数. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 11/20