东华大学：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第02章 拉格朗日运动方程

第二章拉格朗日运动方程 §2.1约束广义坐标 §2.2达郎贝尔原理 §2.3完整约束拉格朗日方程 §2.4非完整约束的拉格朗日方程 §2.5对称性和守恒定律

第二章 拉格朗日运动方程 §2. 1 约束 广义坐标 §2. 2 达郎贝尔原理 §2. 3 完整约束拉格朗日方程 §2. 4 非完整约束的拉格朗日方程 §2. 5 对称性和守恒定律

§2.1约束广义坐标 、约束与分类 1、约束:限制各质点自由运动的条件。 2、分类 (1)几何约束和运动约束(微分约束) 几何约束:f(r,r2,…,rn,t)=0 运动约束:f(,r2 ●● Boy n,71 ●●● yn,t)=0 (i=1,2,…,k) 式中k为约束个数,独立约束的个数<3n

§2. 1 约束 广义坐标 一、约束与分类 1、约束：限制各质点自由运动的条件。 2、分类 (1)几何约束和运动约束( 微分约束) 几何约束: fi ( r1 , r2 , …rn ,t ) = 0 运动约束: fi ( r1 , r2 , …rn , v1 , v2 ,…vn ,t ) = 0 ( i =1, 2, … k ) 式中 k 为约束个数, 独立约束的个数≤3n

(2)稳定约束和非稳定约束 稳定约束:约束方程不显含t的约束 非稳定约束:约束方程显含t的约束 例:稳定的几何约束:f(r,r2,…,r2)=0 稳定的运动约束:f(r1,r, 9729··· )=0 (i=1,2,,k) (3)可解约束和不可解约束 不可解约束:约束方程为等式。 可解约束:约束方程可在一个方向偏离等式。 例:不可解几何约束:E(r,r )=0 可解几何约束:f(r,r2,…,rn,t)≥0或≤0

(2) 稳定约束和非稳定约束 稳定约束: 约束方程不显含 t 的约束。 非稳定约束: 约束方程显含t 的约束。 例：稳定的几何约束：fi ( r1 , r2 , …rn ) = 0 稳定的运动约束: fi ( r1 , r2 , …rn , v1 , v2 , …vn ) = 0 ( i =1, 2, … k ) (3) 可解约束和不可解约束 不可解约束：约束方程为等式。 可解约束：约束方程可在一个方向偏离等式。 例：不可解几何约束： fi ( r1 , r2 , …rn ,t ) = 0 可解几何约束： fi ( r1 , r2 , …rn ,t ) ≥ 0 或 ≤ 0

(4)完整约束和非完整约束 非完整约束:有两种情况 (a)可解约束; (b)微分约束中若约束方程不能单独积分 (必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的 同时才能积分) 完整约束:除上述两种情况外的约束 今后主要研究受完整约束的力学体系,即研 究完整系的力学问题

(4)完整约束和非完整约束 非完整约束: 有两种情况 (a) 可解约束; (b) 微分约束中若约束方程不能单独积分 ( 必须与运动方程联立才能积分,即解出运动的 同时才能积分 ). 完整约束: 除上述两种情况外的约束. 今后主要研究受完整约束的力学体系, 即研 究完整系的力学问题

例1:一球面摆,O点固定;OM0 为轻刚性杆,杆长为;M点系 质点,其质量为m。 设O点为直角坐标原点,则 质点M的约束方程为:x2+y2+ z2-P=0它是稳定、不可解、几何、 完整约束。 若O点不固定,在x方向有一恒定速率c, t=0时O点处于坐标原点,则约束方程为: (x-ct)2+y2+z2-2=0 它是非稳定、不可解、几何、完整约束

例1：一球面摆，O 点固定；OM 为轻刚性杆，杆长为l ；M 点系 一质点，其质量为m 。 设O 点为直角坐标原点，则 质点 M 的约束方程为： x 2 + y2 + z 2 -l 2 = 0它是稳定、不可解、几何、 完整约束。 若O 点不固定，在 x 方向有一恒定速率 c， t = 0 时O 点处于坐标原点，则约束方程为: (x – ct)2 + y2 + z 2 -l 2 = 0 它是非稳定、不可解、几何、完整约束。 O M l

例1:一球面摆,O点固定;OMO 为轻刚性杆,杆长为;M点系 质点,其质量为m。 若OM为不可伸长的柔软绳,则约束方程为 O点固定:x2+y2+z2-P≤0 O点不固定:(x-ct2+y2+z2-P≤0 它是可解约束。约束空间为以O为球心、l为半 径的球体

例1：一球面摆，O 点固定；OM 为轻刚性杆，杆长为l ；M 点系 一质点，其质量为m 。 若OM为不可伸长的柔软绳 ，则约束方程为： O点固定： x 2 + y2 + z 2 -l 2 ≤ 0 O点不固定：(x – ct)2 + y2 + z 2 -l 2 ≤ 0 它是可解约束。约束空间为以O为球心、l 为半 径的球体。 O M l

例2:线性三原子分子组 m 成的体系只能在该连线上。MW△→WWM 运动。体系在无外力作用。x X 2 X3 分析:体系的质心速度为 常数,即约束方程为: vc=C(微分约束) 积分得:x C Ct+x Co 即:x mrt m2x2+ m3x = C ct+ Co m,t m,+ m3 这就退化为几何约束,所以它是一种完整约束

例 2：线性三原子分子组 成的体系只能在该连线上 运动。体系在无外力作用。 分析：体系的质心速度为 常数，即约束方程为： vC = C （微分约束） 积分得： xC = C t + xCo x 1 m1 m2 m3 x 2 x 3 这就退化为几何约束，所以它是一种完整约束。 即 ： C xCo C t m m m m x m x m x x = + + + + + = 1 2 3 1 1 2 2 3 3

二、自由度与广义坐标 1、自由度:独立“坐杼的个数。 2、广义坐标:描写体系置的独立“坐标”, 记为q1,q2 广义坐标不一定是长度可以是角度或其 它物理量。 例如:面积、体积等 广义速度的定义:q dq dt

dt dq q q q q 2 1 i i 1 2 n  =  广义速度的定义： 例如：面积、体积等。 它物理量。 广义坐标不一定是长度，可以是角度或其 记 为 ， ， 。 、广义坐标：描写体系位置的独立“坐标”， 、自由度：独立“坐标”的个数。 二、自由度与广义坐标

§2.2达郎贝尔原理 、虚位移 假想的、符合约束条件的、无限小的、 即时的位置变更,δr 注意:(1)某一固定时刻, B 即:dt=0 dt (2)与实位移dr无关 d dt B 理解:dr=6r+ydt 当y→∞,dt→0, dr→6r A y B

§2 . 2 达郎贝尔原理 一、虚位移 假想的、符合约束条件的、无限小的、 即时的位置变更，δr . 注意:(1)某一固定时刻, 即: dt = 0. (2) 与实位移dr 无关. 理解: dr = δr + vo dt 当 v →∞, dt → 0 , dr → δr . B B’ B” A dr δr v vodt’ vodt” vo

虚功 1、虚功:作用在质点出力在虚位移中所作的 平衡时:合外力F:+R:=0, (其中F主动力,R;约束反力的合力) →(F+R)6r=0→∑(F+R)8r:=0 2、理想约東:作用于力体系的所有约束反 任意虚位移中所作的总功为零 ∑ R:·δr:=0 般地说,光滑曲面、光滑曲线、光滑铰链、刚性 杆、不可伸长的绳等翟理想约束

杆、不可伸长的绳等都是理想约束。 一般地说，光滑曲面、光滑曲线、光滑铰链、刚 性 即 任意虚位移中所作的总虚功为零。 、理想约束：作用于力学体系的所有约束反力在 （ ） （ ） 其 中 主动力， 约束反力的合力） 平衡时：合外力 ， 、虚功：作用在质点上的力在虚位移中所作的功 。 二、虚功 : R r 0 2 F R r 0 F R r 0 ( F R F R 0 1 i i i i i i i i i i i i   =  +   =  +   = + =              