聊城大学：《信息与系统》课程教学资源（课件讲稿）第二章 连续系统的时域分析

第二章连续系统的时域分析 >线性连续条统的描述及其响应 >冲邀响应和阶跃响应 >卷积积分 >条统的微分算子程

¾ 线性连续系统的描述及其响应 ¾ 冲激响应和阶跃响应 ¾ 卷积积分 ¾ 系统的微分算子方程 第二章 连续系统的时域分析

2.1线性连续系统的描述及其响应 2.1.1象统的描述及微分方程的列写 描述线性时不变连续条统的数学模型是线性常系数 微分方程。 (dd dt” dt n-1 d-y0+…ay） dtn-2 06a0e0 dtm 式中an-1,..,a1,a0和bm,bm-1,.., b1,b0均为常数

2.1 线性连续系统的描述及其响应 2.1.1 系统的描述及微分方程的列写 描述线性时不变连续系统的数学模型是线性常系数 微分方程。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 2 0 2 1 2 1 1 b e t dt d e t b dt d e t b a y t dt d y t a dt d y t a dt d y t m m m m m m n n n n n n n n = + + + + + − − − − − − − − − L 式中an-1，…，a1，a0和bm， bm-1，…，b1，b0均为常数

第2章连续时间系统的时域分析 ·根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统，列写数学模型的基本依据有如下两 方面：元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的 微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关条式。例如 二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流 的关条以及四端元件互感的初、次级电压与电 流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约 束关系，KCL,KVL。 《信号与系统》

《 信号与系统》 第2章 连续时间系统的时域分析 •根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，列写数学模型的基本依据有如下两 方面：元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的 微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如 二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流 的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电 流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约 束关系,KCL，KVL

1.元件约束VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下： ()电阻RuR(t)=RiR(); (2)电感L, 40-9-404咖 (3)电容C,i 0=c0,u0=u+d dt (4)互感（同、异名端连接）、理想变压器等原、副边电压、 电流关系等

(2)电感L， (3)电容C， (4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、 电流关系等。 0 0 () 1 () , ( ) ( ) t L L LL L t di t ut L i it u d dt L = =+ τ τ ∫ 0 0 () 1 () , () ( ) ( ) t C C CC C t du t it C ut ut i d dt C = =+ τ τ ∫ 1. 元件约束VAR 在电流、电压取关联参考方向条件下： (1)电阻R uR(t)=R·iR(t)；

2.结构约束KCL与KVL 例图所示电路，输入激励是电流源i(),试到出电流i() 为输出响应的方程式。 L 解由KVL,列出电压方程 i) u.(t)+u,(t)=uz(t)+R2(t) u.(t)1 0州 =Ld0+R,(回 Ru ( R dt 对上式求导，考虑到 ()=c) Ric(t)=u(t)） dt di(=L i.()Rdt i()R i(t) 2 di

2. 结构约束KCL与KVL 例图所示电路，输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t) 为输出响应的方程式。 iS(t) iC(t) u1(t) iL(t) R2 R1 L ＋ － + uc(t) _ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 R i t dt di t L u t u t u t R i t L L c L L = + + = + 解 由KVL，列出电压方程 对上式求导，考虑到 1 1 ( ) () () () C C C du t i t C Ri t u t dt = = dt di t R dt di t L dt di t R C i t L L c c ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 + 1 = +

根据KCL,有ic(t)=is(t)-i(t), 0i0+80-,=L, di(1) dt dr 整理上式后，可得 0,040-”±0 d 从上面例子可得到结论： 线性是不变系统可以通过常系数线性微分方程来描述，而 且方程的右侧自由项为激励，左侧为系统响应

根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)， 2 1 2 2 2 12 1 2 1 () () () () ( ( ) ( )) ( ) () () 1 () 1 () () SL L L S L LL S L S di t di t d i t di t it it R L R C dt dt dt dt d i t R R di t R di t it it dt L dt LC L dt LC −+ − = + + + += + ￾ 整理上式后，可得 从上面例子可得到结论: 线性是不变系统可以通过常系数线性微分方程来描述，而 且方程的右侧自由项为激励，左侧为系统响应

,第2章连续时间条统的时域分析 列给定系统的微分方程 00-20- e(t)+3e(t) 若激励信号为e(t)=e4“,初始状态为y(0+)=1,y'(0+)=2 求系统的响应y(). 解：1)求对应齐次方程的通解y(t) 系统的特征方程为 2+3+2=0 特征根为：01=-1.02=-2 对应的齐次解为：y,()=Ae+A,e2 《信号与系统》

《 信号与系统》 第2章 连续时间系统的时域分析 例给定系统的微分方程 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) 2 2 e t e t dt d y t y t dt d y t dt d + + = + 若激励信号为 , 初始状态为 t e t e 4 ( ) − = 求系统的响应y(t). y (0 + ) = 1, y ′(0 + ) = 2 解：1)求对应齐次方程的通解 系统的特征方程为 y (t) h 3 2 0 2 α + α + = 特征根为: α1=-1 ,α2=-2 对应的齐次解为: t t h y t Ae A e 2 1 2 ( ) − − = +

第2章连续时问系统的时域分析 2)求特解yp(t) 将e(t)=e-4 代入方程右端，得 名0+30+20= dt 选特解函数式 yp(t)=Be-4r B为待定系数，代入方程后有： 16Be-41-12Be-41+2Be-4t=-e-41 1 B 三一 6 1 特解为： yp(t)=-e-4 6 《信号与系统》

《 信号与系统》 第2章 连续时间系统的时域分析 2)求特解 y (t) p 将 t e t e 4 ( ) − = 代入方程右端,得 t y t y t e dtd y t dtd 4 22 ( ) 3 ( ) 2 ( ) − + + = − 选特解函数式 t y p t Be 4 ( ) − = B为待定系数,代入方程后有: t t t t Be Be Be e 4 4 4 4 16 12 2 − − − − − + = − 6 1 B = − 特解为: t p y t e 4 61 ( ) − = −

第2章连续时间系统的时域分析 3)求完全解y() 0=ya(0+yp(0=Ae1+A2e2-1e4 6 由初始条件确定常数A1,A2. 0)=4+4,6引 2 y'(0)=-4-24,+3=2 得 11 3 A2 5 2 所以，系统响应为 y(t)= 11 e- 5 -2t1 -41 3 -e 2 ≥0 《信号与系统》

《 信号与系统》 第2章 连续时间系统的时域分析 3)求完全解y(t) t t t h p y t y t y t A e A e e 2 4 1 2 61 ( ) ( ) ( ) − − − = + = + − 由初始条件确定常数A1,A2. ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ′ = − − + = = + − = 2 3 2 (0) 2 1 6 1 (0) 1 2 1 2 y A A y A A ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = − = 2 5 3 11 2 1 A 得 A 所以,系统响应为 t t t y t e e e 2 4 61 25 311 ( ) − − − = − − t≥0

第2章连续肘问系统的时域分析 2.1.2象统微分方程的经典法 分析系统的方法：列写方程，求解方程。 列写方程：根据元件约束网络拓扑约束 经典法：齐次解+特解 解方程 零输入：可利用经典法求解 零状态：利用卷积积分法求解 变换域法 求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。 《信号与系统》

《 信号与系统》 第2章 连续时间系统的时域分析 2.1.2 系统微分方程的经典法 分析系统的方法：列写方程，求解方程。 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ⎩⎨⎧ + 变换域法 零状态 利用卷积积分法求解 零输入 可利用经典法求解 经典法 齐次解 特解 解方程 列写方程 根据元件约束网络拓扑约束 : : : : , 求解方程时域经典法就是：齐次解+特解