吉林大学：《计算机图形学》课程电子教案（PPT课件）第三章 图形变换 第一节 变换的数学基础 第二节 二维图形变换 第三节 二维视见变换

第三章图形变换 本体坐标系 子物体1 规范化 用户 观察 设备 设备 坐标系 坐标系 坐标系 坐标系 本体坐标系 子物体n 图3.1图形显示的坐标变换过程

第三章 图形变换

X KZ (1)右手系 (2)左手系 图3.2左手系和右手系

右手系 左手系

第一节变换的数学基础 一、向量及向量运算 设有向量，（￥11）bx2222 有关的向量运算有： )向量的长度 a=vasa=yxx+X1Y1+312] 2)两个向量的和差运算 M士b=(x1±x2y1±y2Z1±z2

第一节 变换的数学基础 一、向量及向量运算 设有向量， 有关的向量运算有： 1) 向量的长度 2）两个向量的和差运算 ) 1 , 1 , 1 a(x y z ) 2 , 2 , 2 b(x y z 1 1 1 1 1 1 a = a•a= x x +y y +z z ) 1 2 , 1 2 , 1 2 ab=(x x y  y z z

3)两个向量的点乘积 ab=x1x2+y1'2+122 4)两个向量的叉乘积 i a×b= x1 y 21 X2 y2 22 =0122-y23131x2-2211'2-x21

3) 两个向量的点乘积 1 2 1 2 1 2 a•b=x x + y y +z z 4） 两个向量的叉乘积 ) 1 2 2 1 , 1 2 2 1 , 1 2 2 1 ( 2 2 2 1 1 1 y z y z z x z x x y x y x y z x y z i j k a b = − − −  =

二、矩阵及矩阵运算 由mx个0i=1,2,…,mj=12,川数排成 的矩形表 a11 a12 A- a21 a22 a2n 。。 aml am2 amn

二 、矩阵及矩阵运算 由 个 数排成 的矩形表 m  n (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n ) ij a =  =    = mn a m a m a n a a a n a a a A       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1

有关的矩阵运算有： 数乘矩阵 ta 2 IA- ta21 ta22 taml tam2 tamn 矩阵的加法运算 411+b11 412+62 bin 4+B- a21+b21 a22+b22 aml+bml Qm2+bm2· amn+bmn

有关的矩阵运算有： 数乘矩阵 矩阵的加法运算                   = mn ta m ta m ta n ta ta ta n ta ta ta tA        1 2 21 22 2 11 12 1                   + + + + + + + + + + = mn b mn a m b m a m b m a n b n a b a b a n b n a b a b a A B        1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1

矩阵的乘法运算 设有矩阵A=(a)2x3、B=(,3x2,则 这两个矩阵的乘积矩阵C为： b2 C=A·B= 012 a 3 a b22 1022 023 b32 「a,b1+a12b21+a13b31ab2+a12b22+a13b2 La21b1+a22b1+a23b31a2b12+a22b2+a23b2

矩阵的乘法运算 设有矩阵 、 ，则 这两个矩阵的乘积矩阵 为： 2 3 ( )  = ij A a 3 2 ( )  = ij B b C       + + + + + + + + =                 = • = 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b a a a a a a C A B

C=(C) =A ●B ij'mxp mxn nxp 矩阵运算具有如下基本性质： 数乘矩阵适合分配律和结合律，即： 1(A+B)=tA+iB t(A●B)=(t●A)●B=A●(t●B) (41+t2)A=t1·A+t2"A 12④=1'2)A

n p B m n A ij m p C C  •  =  =( ) 矩阵运算具有如下基本性质： 数乘矩阵适合分配律和结合律，即： t t A t t A t t A t A t A t A B t A B A t B t A B tA tB ) 1 2 ) ( 2 ( 1 1 2 ) 1 2 ( ( ) ( ) ( ) ( ) = + = • + • • = • • = • • + = +

矩阵的加法适合交换律和结合律， 其，B为矩阵。 A+B=B十A A+(B+C)=(A+B)+C 矩阵的乘法适合结合律，即： A●(B●C)=(A●B)●C 矩阵的乘法对加法适合分配律，即： (A+B)●C=A●C+B●C C●(A+B)=C●A+C●B 矩阵的乘法不适合交换律

矩阵的加法适合交换律和结合律， 其中 ， ， 为矩阵。 矩阵的乘法适合结合律，即： 矩阵的乘法对加法适合分配律，即： A B C A B C A B B A + + = + + + = + ( ) ( ) A B C A•(B•C)=(A•B)•C C A B C A C B A B C A C B C • + = • + • + • = • + • ( ) ( ) 矩阵的乘法不适合交换律

单位矩阵 逆矩阵 对任意矩阵，如果存在A0A1=A1。A=1, 则称A为的逆矩阵。 转置矩阵将矩阵 A=(a)mxn的行、 列互换而得到的nXm 阶矩阵称作的转 置矩阵，记为

逆矩阵 对任意矩阵，如果存在 ， 则称 为的逆矩阵。 A A A •A=I − = − • 1 1 −1 A 转置矩阵 将矩阵 的行、 列互换而得到的 阶矩阵称作的转 置矩阵，记为 。 ij m n A a  =( ) nm A T A 单位矩阵                 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0        I