吉林大学：《计算机图形学》课程电子教案（PPT课件）第五章 图形运算 第一节 线段的交点计算

上述结果对任意的成立，令0，可写 出四个B样条函数： 0,40-61-3 N1,4u)（3u3-6u2+4) N2,4合-33323u+1） N,4=63

上述结果对任意的i成立，令i=0，可写 出四个B样条函数： 3 u 6 1 (u) 3,4 N 3 u 1 ) 2 3 u 3 ( 3 u 6 1 (u) 2,4 N 4 ) 2 6 u 3 (3u 6 1 (u) 1,4 N 3 ( 1 u ) 6 1 (u) 0,4 N = = − + + + = − + = −

由节点向量(0,1,2,3,4)所确 定的均匀B样条基函数W:4()曲线 （=0,1,2,3)。图所示的B样条 基函数W4()由四条三次多项式 曲线片拼接而成。当节点在区间 [uu4k小上B样条曲线基函数Wk() 大于0，而在其它区间上则为0， 并且W,k()在节点（upu+1, u+k)处是连续的

由节点向量(0,1,2,3,4)所确 定的均匀B样条基函数Ni,4(u)曲线 （i=0,1,2,3）。图所示的B样条 基函数Ni,4(u)由四条三次多项式 曲线片拼接而成。当节点在区间 [ui ,ui+k ]上B样条曲线基函数Ni,k (u) 大于0，而在其它区间上则为0， 并且Ni,k (u)在节点（ui , ui+1,…, ui+k）处是连续的

2 1.5 0.5 0 -0.5 0 0.5 1 1.5 22.5 3 3.5

设给出t1个控制点Po,P1,) Pn2 则所确定的4阶3次等距B样条 曲线是： P(0=0:@ ∑N.（u)P j= 0≤u≤1，i=0,1,…,n-3

设给出n+1个控制点P0，P1，…， Pn，则所确定的4阶3次等距B样条 曲线是： 0 u 1 ,i 0,1, ,n 3 N (u) P , 3 j 0 (u) i P(u) Q j,4 i j   = −   = = = + 

0:6a)=[%,4@）N,40N2,4@）N3,4@ i+ +2 B+ -1 3 -3 1 -6 3 0 -3 Pi+1 0 0≤u≤1 0 Pi+2 L1410+3

, 0 u 1 i 3 P i 2 P i 1 P i P 1 4 1 0 3 0 3 0 3 6 3 0 1 3 3 1 u 1 ] 2 u 3 [ u 6 1 i 3 P i 2 P i 1 P i P (u)] 3,4 (u) N 2,4 (u) N 1,4 (u) N 0,4 (u) [ N i Q               + + +             − − − − =             + + + =

曲线的性质 日 3 -3 17 2 0≤u≤1 010 ca-6 P 0≤u≤1 D i+3

曲线的性质 , 0 u 1 P P P P 0 0 1 1 2 3 0 4 3 1 2 1 [ u u 1 ] 2 1 Q (u) i 3 i 2 i 1 i 2 i                         − − − −  = + + + , 0 u 1 P P P P 0 1 1 3 2 3 1 1 Q (u) [ u 1 ] i 3 i 2 i 1 i i                     − − −  = + + +

0o=6把+4e,+P,) Q,(1)=（P,+4P+Ps) Q(o)=2（P.-P) 2 Q(1)=（-P) 2 Q(0)=P-2P1+P2 Q(1)=P1-2P2+Pg

i i 1 i 2 i 3 i i i 1 i 2 i i 3 i 1 i i 2 i i i 1 i 2 i 3 i i i 1 i 2 Q (1) P 2 P P Q (0) P 2 P P ( P P ) 2 1 Q (1) ( P P ) 2 1 Q (0) ( P 4 P P ) 6 1 Q (1) ( P 4 P P ) 6 1 Q (0) + + + + + + + + + + + + +  = − +  = − +  = −  = − = + + = + +

0《@-生1+24+2-+1 g4o-42 o=2+R)-e]

      + − + + + + = i 1 ) P i 2 P i ( P 2 1 3 1 i 1 (0) P i Q        i  = ( Pi + Pi+2 )− Pi+1 2 1 Q (0) 2 ) i P i 2 ( P 2 1 (0) i Q − +  =

Q0) P:+3 Q〔1) Pi+3 Q(1) Q0) P Pi4

P,P+13P2,P4确定的一段曲线的 起点的位置向量、切线向量及二阶导向量， 事实上都只与△PP4P2有关，而终点处各 量只与△PP42P3,有关。如果考虑接下 去的一段曲线，即P1,P2,P3,P4确定 的一段，在其起点，上述各量就只与 P+P2P有关，并恰好是前一段曲线终点 处的上述各量，自然是对应相等的。这就证 明了曲线在拚接处是连续的，一阶和二阶导 数也是连续的。因此知道4阶3次等距B样条 曲线：虽然分段确定，但各段拚接处有直到 二阶导数的连续性，整条曲线是光滑的

Pi，Pi+1，Pi+2，Pi+3确定的一段曲线的 起点的位置向量、切线向量及二阶导向量， 事实上都只与ΔPi Pi+1Pi+2有关，而终点处各 量只与ΔPi+1Pi+2Pi+3，有关。如果考虑接下 去的一段曲线，即Pi+1，Pi+2，Pi+3，Pi+4确定 的一段，在其起点，上述各量就只与 Pi+1Pi+2Pi+3有关，并恰好是前一段曲线终点 处的上述各量，自然是对应相等的。这就证 明了曲线在拚接处是连续的，一阶和二阶导 数也是连续的。因此知道4阶3次等距B样条 曲线：虽然分段确定，但各段拚接处有直到 二阶导数的连续性，整条曲线是光滑的