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复旦大学:《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源(讲义)第十二章 球坐标系下的分离变量法Legendre多项式和球谐函数 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions

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复旦大学:《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源(讲义)第十二章 球坐标系下的分离变量法Legendre多项式和球谐函数 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions
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Chapter 12 Separation of variables in Chapter12球坐标系下的分离变量法 Legendre多项式和球谐函数 Abstracts 正交曲线坐标系及在此坐标系下 Laplace算术的表示 球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数(例如, Legendre函数、连带 Legendre函数和球谐函数等) 函数空间概念(复习) 3D:基:(}(=12,3):正交:,=0表示:=x十十x, 这是3 D Euclid space,直观、简单、符合常识。 (3+1)D:是加t,还是加i,如何去加?时空观的变革:相对运动,不但有 了相对时空位置,还有了 scaling(标尺)、不变性和时空弯曲等概念 nD:基矢是{q(x)(=12,3…n),带权p(x)的正交归一性如下 「(x)q(x)q(x)dx=→D: ilbert space基矢亦是函数,并且 straight scaling→ curve scaling.j: quantum numbers.抽象、复杂、冲破常识! 对于任意函数f(x)只要其定义域与{(x)的相同,总有f(x)=2c9(x 其中∫dxp(x)9(x)f(x)=∑cJ(x)o(x)n(x)dr= m is a representation 当f(x)已知时,c是上式;当f(x)是on(x)的线性组合时,cn是其系数 1.nD向量空间:有nD向量的集合 1)表述:n个独立的单位矢量司,2…可排成基向量,选{}为正交归一基 矢,即=5,则分°和x=x(在上的坐标值一表示 )内积:x,y=(xy=∑x 3)模方:(x)=∑xx-=∑|= 4)基矢的完备性:nD空间有1D矢量系{a}(=12…m),若不能在此空间

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 12 球坐标系下的分离变量法 Legendre 多项式和球谐函数 Abstracts 正交曲线坐标系及在此坐标系下 Laplace 算术的表示; 球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数(例如, Legendre 函数、连带 Legendre 函数和球谐函数等)。 函数空间概念(复习) 3D:基矢: ej  j 1,2,3 ;正交: i j ij e e   ;表示: 1 1 2 2 3 3 x x e x e x e    , 这是 3D Euclid space,直观、简单、符合常识。 (3+1)D:是加 t ,还是加 4 ite , 如何去加?时空观的变革:相对运动,不但有 了相对时空位置,还有了 scaling(标尺)、不变性和时空弯曲等概念。 n D:基矢是  j ( ) x   j n   1,2,3, , ,带权   x 的正交归一性如下:       * d i j ij     x x x x    D:Hilbert space. 基矢亦是函数,并且 straight scaling  curve scaling.j:quantum numbers. 抽象、复杂、冲破常识! 对于任意函数 f x( ), 只要其定义域与  j ( ) x  的相同,总有     1 , n n n f x c x     其中             * * 1 m n m n m n x x x f x c x x x x c          d d    is a representation! 当 f x( ) 已知时, n c 是上式;当 f x( ) 是 ( ) n  x 的线性组合时, n c 是其系数。 1.n D 向量空间: 有 n D 向量的集合. 1) 表述: n 个独立的单位矢量 1 2, , , , n e e e  排成基向量,选 ej 为正交归一基 矢,即 i j ij e e   ,则 1 n j j j x x e    和 j j x x e   (在 j e 上的坐标值—表示)。 2) 内积:   * 1 , . n j j j x y x y x y     3) 模方:   2 2 * 1 1 , . n n j j j j j x x x x x x        4) 基矢的完备性: n D 空间有 1D 矢量系 ej  j n   1,2, ,  ,若不能在此空间

找出一个简单向量f,使与(}正交,则称为完备系,=∑x 2.函数空间( Hilbert space):在域x{ab]上分段连续、平方可积的函数 g(x)[p(x)o(x)o(x)x有限]的集合所排成的空间称为 Hilbert space 1)正交函数系:如①x0小内的{sn"2x}和{cos"x ②x[月内的1sxsm("x}均为完备基 一般带权正交函数系的定义:设q(x)2(x)…;qn(x)…,在x[ab]上有 (om(x),, (x)=p(x)om(x)% (x)dr=N2 sm 则称{q(x)}是在x{ab]上的带权[p(x)>0]正交函数系。把 (q(x,02(x)=p(x)(x)(x)x=n(x)i=N2称为模之平方,若 N2=1(对于所有的n)称为{q(x)}为正交归一函数系 N 2)广义 Fourier展开( expansion):若(x)是x{ab]上的正交完备系,则 x[a6上任意分段连续(平方可积)的函数f(x)均可表示为 f(x)=∑(x),其中。」。f(x)9(x)(x)x ∫q(x)o(x)(xx 一、正交曲线坐标系 1.从直角坐标系到正交曲线坐标系 球坐标系(,,9)关系:{y= rsin esin g x=pcos p, 柱坐标系(9=)关系:{y= sing

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 2 找出一个简单向量 f ,使 f 与 ej 正交,则称为完备系, 1 n j j j x x e    . 2.函数空间(Hilbert space):在域 x a b  ,  上分段连续、平方可积的函数   x [ * ( ) ( ) ( )d b a    x x x x  有限]的集合所排成的空间称为 Hilbert space. 1) 正交函数系:如① x l 0,  内的 sin n x l              和 cos , n x l              ② x l l  ,  内的 1,cos ,sin n n x x l l                     均为完备基。 一般带权正交函数系的定义:设    1 2  x x x , , , ,     n   ,在 x a b  ,  上有            * 2 , b m n m n n mn a       x x x x x x N    d , 则 称 n  x 是 在 x a b  ,  上 的 带 权 [   x  0 ] 正交函数系 。 把              2 * 2 , b n n n n n n a       x x x x x x x N     d 称为模之平方,若 2 1 Nn  (对于所有的 n )称为  j  x 为正交归一函数系 n   n x N        (A set of orthogonal complete normalized function bases). 2) 广义 Fourier 展开(expansion):若 n  x 是 x a b  ,  上的正交完备系,则 x a b  ,  上任意分段连续(平方可积)的函数 f x  均可表示为     1 , n n n f x c x     其中         * * ( ) . ( ) b n a n b n n a f x x x x c x x x x         d d 一、 正交曲线坐标系 1.从直角坐标系到正交曲线坐标系 球坐标系 (r,,) 关系: sin cos , sin sin , cos . x r y r z r              柱坐标系 (,,z) 关系: cos , sin , . x y z z            

Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa? x=x(q,4243 般曲线坐标系(q,9291)关系:{y=y(91,92q) =2(q1,2,q3) 满足Jo行列式c(x,y.)x/aa/a2axag =o/qnoy/a2ay/cq3|≠0(变换条件) (q1,q2,q3) 如果三族坐标线是处处相互正交的,则称这种坐标系为正交曲线坐标系 如何判断一个坐标系是否为正交坐标系?可以通过计算弧元长度 (ds)2=(dx)2+(dy)+(d)2 ax 43 45,中q dqn +dq2 +dq ∑g,dgdq, i,j=1,2,3 其中,gn=8n axax ayay az az 如果gn=81,则称此坐标系 为正交曲线坐标系。这是因为沿坐标轴q的弧元长度为d,=hd,而h=√8 称为坐标曲线q的度规因子;(ds)2=h2(dq1)2+h12(dq2)2+l2(dg)2.如果 824nd,=(hd),即各个坐标曲线的相互投影为零,则它们之间相互正交。 例如,对于球坐标系, (ds)2=(dx)+(dy)2+(d) (sin Ocosodr+rcos 0 cos od0-rsin O sin dp) +(sin esinodr+rcos Osin de+rsin 8 cos odo +(cos edr-rsin ede) (d)2+r2(d0)2+r2sin3(dl) 球坐标系是正交曲线坐标系,h=√1=1,h=√82=,h=√g3=rsn0

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 3 一般曲线坐标系 ( , , ) q1 q2 q3 关系: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ), x x q q q y y q q q z z q q q         满足 Jacobi 行列式 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 / / / ( , , ) / / / 0 ( ). ( , , ) / / / x q x q x q x y z y q y q y q q q q z q z q z q                       变换条件 如果三族坐标线是处处相互正交的,则称这种坐标系为正交曲线坐标系。 如何判断一个坐标系是否为正交坐标系?可以通过计算弧元长度:         2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 , 1,2,3 d d d d d d d d d d d d d d d , ij i j i j s x y z x x x q q q q q q y y y q q q q q q z z z q q q q q q g q q                                                    其中, i j i j i j i j j i q z q z q y q y q x q x g g                 . 如果 gij  gii ij ,则称此坐标系 为正交曲线坐标系。这是因为沿坐标轴 i q 的弧元长度为 d d i i i s h q  ,而 hi  gii 称为坐标曲线 i q 的度规因子; 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 (d ) (d ) (d ) (d ) . s h q h q h q    如果 2 d d ( d ) , ij i j i i ij g q q h q   即各个坐标曲线的相互投影为零,则它们之间相互正交。 例如,对于球坐标系,                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d sin cos d cos cos d sin sin d sin sin d cos sin d sin cos d cos d sin d d d sin d . s x y z r r r r r r r r r r r                                     球坐标系是正交曲线坐标系, hr  g11 1,h  g  r  22 ,h  g33  rsin 

对于柱坐标系, (cospdp-psin odp)+(sinop+ pcos pdp)+(d= (dp)2+p2(d)2+(d)2 →柱坐标系也是正交曲线坐标系,且 h h δ函数在正交曲线坐标系中的表达式 在直角坐标系中,(-F)=o(x-x)6(y-y)6(-2) 设P点对应于直角坐标系(x,y,二)的新坐标为(qn2g2,q),即 y=y(41g9),并设f(x,y2)在点(xy,=)附近为连续的任意函数 z'=(q1,q2q3) 按δ函数的定义,有 「(xy=)5(x-x)8(y-y10(-)ddd=/(x,y,=) 左边的积分可以作变量代换,而右边的函数作上述变量代换,有 [x(g29)y14:9=(9929)x-x26(y-y6(=- axy.=)ddd=/[x,9=(9,小 a(q142,q3) 另一方面,由δ函数的定义,又有 「x(924)y(q1914=(4,929)2(91-9)6(9-9509-) x, dq2 dqs=f[(ai, 42, 95), y(qi, 2, 43), =(q1,q2, 43) 比较上面两式,由于∫是任意函数,得到 6(x-x)6(y-y)6(-) a(x,y)=6(4-9)(92-q)6(q-g a(q1,q2,q3) 即在一般正交曲线坐标系中,δ函数的表达式为 δ(x-x)6(y-y)o(二-2) 6(q1-q1)o(q2-q2)6(q3-q3) (q1,q243) 在正交曲线坐标系中,由六个面q1,q1+dq1q2,q2+dq2q3,q3+dqn3所构

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 4 对于柱坐标系,                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d cos d sin d sin d cos d d d d d . s x y z z z                          柱坐标系也是正交曲线坐标系,且 h  g11 1, 22 h g    ,hz  g33 1. 2. 函数在正交曲线坐标系中的表达式 在直角坐标系中, (r  r )  (x  x )(y  y )(z  z )   . 设 r   点对应于直角坐标系 x  , y  ,z  的新坐标为   1 2 3 q  , q  , q  ,即                     ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 z z q q q y y q q q x x q q q ,并设 f (x, y,z) 在点 x  , y  ,z  附近为连续的任意函数, 按  函数的定义,有 f x y z x x y y z z x y z f x y z ( , , ) ( ) ( ) ( )d d d ( , , ).               左边的积分可以作变量代换,而右边的函数作上述变量代换,有     1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) d d d ( , , ), ( , , ), ( , , ) . ( , , ) f x q q q y q q q z q q q x x y y z z x y z q q q f x q q q y q q q z q q q q q q                        另一方面,由  函数的定义,又有     1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( ) ( ) d d d ( , , ), ( , , ), ( , , ) . f x q q q y q q q z q q q q q q q q q q q q f x q q q y q q q z q q q                      比较上面两式,由于 f 是任意函数,得到 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( , , ) x y z x x y y z z q q q q q q q q q                      即在一般正交曲线坐标系中,  函数的表达式为 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( , , ) ( , , ) q q q q q q x x y y z z x y z q q q                      在正交曲线坐标系中,由六个面 1 1 1 2 2 2 3 3 d 3 q , q  dq , q , q  dq , q , q  q 所构

Chapter 12 Separation of variables in 成的体积元为dr=a(xy2)ddd=dd a(q1,2,3) 因此,δ(x-x)6(y-y1)6( 6(q1-qh)o(q2-q2)6(q3-g) h,h,h 球坐标系中,h=1,h=F,b= rsin 6, (x-x)b(y-y)6(-) 6(r-r)b(0-6)6(g-q) r+sin e 柱坐标系中,b=1,h=p,h=1, 6(x-x)6(y-y)6(z (p-p)o(q-q)b(二-2’) 平面极坐标系中,h=1,h=P, (x-x)6(-y)=(-p)6(g-g 由体积元dr= h,h,h, dq, dq, dq知道,球坐标系中体积元为r2 drain dede,权重 函数分别为(2,sina,1)柱坐标系中体积元为 pdpd,权重函数分别为(p1,1) 3.场量的梯度( grade:Vu),散度( divergence:V·A),旋度( otation:V×A)和 Laplace算符ⅴ2等在正交曲线坐标系中的表达式 (1)标量u(q,q2,q3)的梯度v是一个矢量,在直角坐标系中的表达式是 k, ay 其中i,,k分别是3D实空间中三个坐标轴的单位矢量。 在一般正交曲线坐标系中,Vu的三个分量定义为沿三条坐标轴的变化率 ,如以(=12,3)分别表示点(q1,q2q3)沿三条坐标线的单位矢量,就有 aS, al h dg e.(Note: ds, =hdq)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 5 成的体积元为 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) d d d d d d d . ( , , ) x y z q q q h h h q q q q q q      因此, 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h q q q q q q x x y y z z                    . 球坐标系中, hr 1,h  r  ,h  rsin  ,            sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r r r x x y y z z              . 柱坐标系中,  1  h ,h   ,hz 1,            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z x x y y z z              . 平面极坐标系中,  1  h ,h   ,          ( ) ( ) ( ) ( )     x  x  y  y   . 由体积元 1 2 3 1 2 3 d d d d   h h h q q q 知道,球坐标系中体积元为 2 r rd sin d d ,  权重 函数分别为 2 ( ,sin ,1). r  柱坐标系中体积元为  d d d ,z 权重函数分别为 ( ,1,1).  3.场量的梯度(grade: u ),散度(divergence:  A ),旋度(rotation:  A )和 Laplace 算符 2  等在正交曲线坐标系中的表达式 (1)标量   1 2 3 u q , q , q 的梯度 u 是一个矢量,在直角坐标系中的表达式是 k z u j y u i x u u ˆ ˆ ˆ           , 其中 i j k ˆ , ˆ , ˆ 分别是 3D 实空间中三个坐标轴的单位矢量。 在一般正交曲线坐标系中, u 的三个分量定义为沿三条坐标轴的变化率 i s u   ,如以 i e ˆ i 1,2,3 分别表示点 ( , , ) q1 q2 q3 沿三条坐标线的单位矢量,就有            3 1 3 1 ˆ 1 ˆ i i i i i i i e q u h e s u u . (Note: d d ) i i i s h q 

12 Separation of variables in (2)矢量A(q12q2q3)=Ae1+A2+Ae3的散度V·A是一个标量,定义为: 以S记体积元的边界面,dS表示大小为dS,方 向为面积元外法线方向的矢量,则「AdS是A 通过边界面S的通量,而a(q,q2q3)点的散度是 VA=[AdS/d 通过坐标面q1的通量是[(-412dq2hdq 通过坐标面q+d1的通量是[4ddl 通过坐标面q的通量是(4d44, 通过坐标面2+d1的通量是[A4q4l 通过坐标面q的通量是(44h4l, 1q, r9, dsps, da, 通过坐标面q3+4g的通量是[4d2dg12 因此 V·A=oaA+anA2+oaA hh,h lan (4)+(4A)+(4A2) (3)矢量A(q,q2q)=Ae+Ae2+Ae2的旋度vxA是一个矢量,它在e1方向 的分量(x定义为:以1记坐标面q上的面积元dS= h,dq,h,do2的边界线 其走向是关于成右手螺旋的,则(V×4)=手4d/dS因为, d=[44+[4上+(一4)工+[(-4)d (42)-6(4)4d, cq2 所以,xA h,h,Lag (41h2)-(4h2) 付xA),(x项可以类似(指标轮换)地定义并推导出。最后有

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 6 (2)矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q )  Ae ˆ  A e ˆ  A e ˆ  的散度 A    是一个标量,定义为: 以 S 记体积元的边界面, S  d 表示大小为 dS ,方 向为面积元外法线方向的矢量,则   S A dS   是 A  通过边界面 S 的通量,而 1 2 3 a q q q ( , , ) 点的散度是 d / d S     A A S   . 通过坐标面 q1 的通量是    1 1 2d 2 3d 3 q  A h q h q , 通过坐标面 q1  dq1 的通量是   1 d 1 1 2d 2 3d 3 q q A h q h q  ; 通过坐标面 2 q 的通量是    2 2 1d 1 3d 3 q  A h q h q , 通过坐标面 q2  dq2 的通量是   2 d 2 2 1d 1 3d 3 q q A h q h q  ; 通过坐标面 3 q 的通量是    3 3 1d 1 2d 2 q  A h q h q , 通过坐标面 q3  dq3 的通量是   3 d 3 3 1d 1 2d 2 q q A h q h q  . 因此,       1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 . A A A A A h h A h h A h h q q q h h h q q q                       (3)矢量 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A(q ,q ,q )  Ae ˆ  A e ˆ  A e ˆ  的旋度 A   是一个矢量,它在 1 e ˆ 方向 的分量   A 1   定义为:以 l 记坐标面 q1 上的面积元 dS1  h2dq2h3dq3 的边界线, 其走向是关于 1 e ˆ 成右手螺旋的,则   1 1 d / d . l    A A l S  因为,             3 2 2 3 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 d d 3 3 2 2 2 3 2 3 d d d d d d d , ab bc cd da l q q q q q q A l A h q A h q A h q A h q A h A h q q q q                               所以,                   2 2 3 3 3 2 3 2 1 1 A h q A h h h q A  .   A 2   ,  A 3   可以类似(指标轮换)地定义并推导出。最后有

h, h (Ah2)-(4h) (4) Laplace算符v2 利用V·A= hhh, laq (4kh)+(4h)+。(4小h2) 和 得到 h Vou=Vvu)= 0(鸟h 0(h3h1 a,Ou 内h2h[an(a)可2(五 q3 h, aq 球坐标系中,h=1,h=r,b=rsn0 a-1 r2ar ar/rasin 880 柱坐标系中,h=1,h=p,h2=1, apa 平面极坐标系中,b=1,九=,V=12()+1m 二、分离变量对坐标系的要求 1)方程和边界条件都必须是可分离变量的(例如两者均是齐次的); 2)既取决于方程的形式和边界条件,也与坐标系的选择有关 3)选择坐标系的原则一便于边界条件处理: 立方系:直角坐标系 球面系:球坐标系;椭球面系:椭球坐标系 平面圆系:极坐标系;柱面系:柱坐标系

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 7             3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 2 3 2 3 3 1 3 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 1 1 ˆ ˆ 1 ˆ . A A h A h e A h A h e h h q q h h q q A h A h e h h q q                                       (4)Laplace 算符 2  利用  1 2 3 2 3 1 3 1 2      1 2 3 1 2 3 1 A A h h A h h A h h h h h q q q                 和            3 1 3 1 ˆ 1 ˆ i i i i i i i e q u h e s u u ,得到                                                   3 3 1 2 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 q u h h h q q u h h h q q u h h h h h h q u u . 球坐标系中,hr 1,h  r  ,h  rsin  , 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1                                 u r u r r u r r r u . 柱坐标系中,  1  h ,h   ,hz 1, 2 2 2 2 2 2 1 1 z u u u u                          . 平面极坐标系中,  1  h ,h   , 2 2 2 2 1 1                       u u u . 二、分离变量对坐标系的要求 1)方程和边界条件都必须是可分离变量的(例如两者均是齐次的); 2)既取决于方程的形式和边界条件,也与坐标系的选择有关; 3)选择坐标系的原则—便于边界条件处理: 立方系:直角坐标系; 球面系:球坐标系;椭球面系:椭球坐标系; 平面圆系:极坐标系;柱面系:柱坐标系

Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa? 三、圆形区域内 Laplace方程的定解问题 例1.利用分离变量法求解定解问题(2+0D) Vu(e, pap( ap) pa 0,(0≤p≤b) ls=f(9)周期性和自然边界条件见后 设l(p,)=R()A(),代入方程并分离变量,得 d-or(pl d"(q) 三 R(p)d, 由此得到两个方程 d()+dp(q)=0, P R(P)+PR(P)-AR(P)=0 其中,极角方向的方程Φ(φ)+A(o)=0与周期性边界条件构成本征值问题。这 是因为,一般来说,场量u(,)是单值的,应当满足,1(0,+2x)=l(0,9).因 此Φ(q+2丌)=Φ(q).所以ΦX2)=Φ(0)和Φ(2z)=Φ(0)(这些边界条件不同于 界面衔接条件).这一本征值问题的本征值和本征函数分别为 A=Am=m, o()=o()=A cos m+B sin mo,(m=0, 1, 2, .. 现在解分离变量以后的径向方程p2R(p)+pR()-AR()=0( Euler型方 程),其特点是,n阶导数的各项又乘以自变量的n次方(n=0,1.2)解法如下: 令R=p,代入方程后得关于k的代数方程,解出k可得方程的特解 k(k-1)p+kp-m2p2=0,消去p,得 k(k-1)+k-m2=0 解得k2=土m,从而得方程的两个特解,{p,pm}.当k=k2=m=0时,则 两个特解为{p,plm}={lnp)(好比Jm(x)和N(x)当=列=m=0时 R(p)=R(P)=Co+ Do In p=Co 1+Do In p) 当A=m=m2≠0时,RP)=R(P)=CmD"+DmDm=Cm(p"+DnD-")

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 8 三、圆形区域内 Laplace 方程的定解问题 例 1. 利用分离变量法求解定解问题(2+0D)   2 2 2 2 1 1 ( , ) 0, 0 ( ), b u u u b u f                                    周期性和自然边界条件见后。 设 u(,)  R()() ,代入方程并分离变量,得 d ( ) [ ( )] . ( ) d ( ) R R               由此得到两个方程: ()  ()  0, ( ) ( ) ( ) 0 2  R   R   R   , 其中,极角方向的方程 ()  ()  0 与周期性边界条件构成本征值问题。这 是因为,一般来说,场量 u( , )   是单值的,应当满足, u(,  2)  u(,). 因 此     ( 2 ) ( ).    所以 (2)  (0) 和 (2)  (0) (这些边界条件不同于 界面衔接条件). 这一本征值问题的本征值和本征函数分别为 2    m  m ,()  m ()  Am cos m  Bm sin m ,( m  0,1,2,  ). 现在解分离变量以后的径向方程 ( ) ( ) ( ) 0 2  R   R   R   (Euler 型方 程),其特点是,n 阶导数的各项又乘以自变量的 n 次方( n =0,1,2). 解法如下: 令 k R   ,代入方程后得关于 k 的代数方程,解出 k 可得方程的特解。 ( 1) 0 2     k k k k k  k m  ,消去 k  ,得 ( 1) 0 2 k k   k  m  . 解得 k1,2  m ,从而得方程的两个特解,   m m  ,  . 当 1 2 k k m    0 时,则 两个特解为    1 1 , ln 1,ln } k k      .(好比 ( ) m J x 和 ( ) N x m )当 0      m 0 时, () () ln  1 ln  R R0 C0 D0 C0  D0        . 当 0 2    m  m  时, ( ) ( )   m m m m R R C D C D       m m m m m          

Chapter 12 Separation of variables in 则一般解为 (p,q)=∑R(p)n(9) Ao(1+Do In p)+2(A, cos mo +Bn sin mp)(p"+Dmp-m) 对于本题定解问题的圆内问题(0≤p≤5b,有自然边界条件团≠可,因此, D=0,Dn=0(m=12,…)这时,一般解为, u(p, )=A+2(A cosmo+Bm sin mo)p" 其中An,Bn由边界条件给出,它们是: 偶函数部分:4=2- 2丌 f(0)de,Am= f(e)cos mae 奇函数部分:B=1 f(e)sin mede **对于下面例题的圆外问题(b≤ρ≤∞),上述一般解也适用,但需要增加 边界条件:叫2,有界,或是具体问题需要具体确定 例2.在电场强度为E0的均匀电场中,放入一个半径为b的无限长导体圆柱,其 轴线垂直于E0,单位长度的带电量为Q.求导体圆柱外的电势分布 解:分析:以圆柱的轴线为z轴,显然这是平面问题,因 为这个问题本身与z无关(2+0D).以E0方向为x轴方 向取极坐标系,电势(p,q)所满足的定解问题是 V-u(e, 0,(p>b) ap n=0.2n1-Epcs9-2lp(p>b见下) 这里我们选取导体表面p=b为电势零点。第二个边界条件的右端第一项u0 是待定常数;第二项是均匀电场E0的电势-E0x=- Eop cos第三项是单独一个 带电导体在远处所产生的电势,记为a2当L→∞时,无穷多个点电荷在ρ处产

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 9 则一般解为      0 0 0 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ln cos sin . m m m m m m m m m u R A D A m B m D                        *对于本题定解问题的圆内问题 0    b,有自然边界条件   0 u ,因此, D0  0, Dm  0 ( m 1,2,  ). 这时,一般解为,        1 0 ( , ) cos sin m m u   A Am m Bm m  , 其中 Am Bm , 由边界条件给出,它们是: 偶函数部分:       2 0 0 ( )d 2 1 A f ,        2 0 ( ) cos d 1 f m a Am m , 奇函数部分: 2 0 1 ( )sin d . m m B f m a        **对于下面例题的圆外问题 b      ,上述一般解也适用,但需要增加 边界条件:  u 有界,或是具体问题需要具体确定。 例 2. 在电场强度为 E0 的均匀电场中,放入一个半径为 b 的无限长导体圆柱,其 轴线垂直于 E0 ,单位长度的带电量为 Q . 求导体圆柱外的电势分布。 解:分析:以圆柱的轴线为 z 轴,显然这是平面问题,因 为这个问题本身与 z 无关(2+0D). 以 E0 方向为 x 轴方 向取极坐标系,电势 u(,) 所满足的定解问题是     2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( , ) 0, 0; cos ln , . 2 a u u u b Q u u u E b                                             见下 这里我们选取导体表面   b 为电势零点。第二个边界条件的右端第一项 0 u 是待定常数;第二项是均匀电场 E0 的电势 0 0    E x E   cos ; 第三项是单独一个 带电导体在远处所产生的电势,记为 2 u . 当 L  时,无穷多个点电荷在  处产

12 Separation of variables in 生的电势(需要将电势零点位移,即定义ρ=∞为零电势) L/2+√Z/4+p △(p)= 0-L/2 L/2+√2/4+p L 4zs0-L/2+(L/2)1+(2p/L)2/2] OL2 L L OIn(L/p) (对数发散)。虽然新物理量△)=△()=2∠再发散,但是将 gnL→m吸收到2中,即2()=4)-Qm12h.物理上2D 的对数发散,见 Chapter14 用分离变量法,可得此定解问题的一般解为(Note:m=0,,2,…) u(p,p)=2R(P)dm(p)=A(1+Do In p)+2(A, cos mp+Bm sin mp)(p"+Dp-m) 由lmb=0B1+Dlnb=0 可得,D0= Dn=-b(m=1,2,…) 1b"+Dmb-m=0 Note:各m是相互独立的。于是, (p、、A(nb-lnp)+∑( A coS m+ B sin mg)-/63) In b 再利用,u≈46-0p02r5 -29hp(p>a时),有 h6(nb-l)+∑(4c0sm0+ B sin mp))p=-5og、Qmp 比较各个m(m是相互独立的,这个方法等价于用正交性积分来确定系数)关 于(p9)的系数得,A=Qmhb,Am=10m=2yn=0(m=12…)以 ∫-En、m=1) 及4=4=lnb.这就是信息通过边界传到体内!从而,本定解问题的物理

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 10 生的电势(需要将电势零点位移,即定义   为零电势): / 2 2 2 2 2 2 2 0 0 / 2 2 0 2 0 0 1 / 2 / 4 ( ) ln 4 4 / 2 / 4 ln 4 / 2 ( / 2)[1 (2 / ) / 2] ln( ) ln ( , 4 2 ) L L Q z Q L L V z L L Q L L L L Q L Q L L                                 d (对数发散)。虽然新物理量 0 1 ln( / ) ( ) ( ) 2 Q L v V L L         不再发散,但是将 0 ln 2 Q L    吸收到 2 u 中, 即 2 0 0 ( ) ( ) ln ln . 2 2 Q Q u V L           物理上 2D 的对数发散, 见 Chapter. 14. 用分离变量法,可得此定解问题的一般解为(Note: m  0,1,2, ) 0 0      0 1 ( , ) ( ) ( ) 1 ln cos sin . m m m m m m m m m u R A D A m B m D                        由 0 b u    即 0 1 ln 0 0 m m m D b b D b        可得, 0 1 ln D b   , 2m D b m   ( m 1,2,  ). Note: 各 m 是相互独立的。于是,     2 0 1 ( , ) ln ln cos sin ln m m m m m A b u b A m B m b                              . 再利用, 当 a时 Q u  u  E         ln 2 cos 0 0 0 ,有     0 0 0 1 0 ln ln cos sin cos ln . ln 2 m m m m A Q b A m B m u E b                  比较各个 m ( m 是相互独立的,这个方法等价于用正交性积分来确定系数)关 于  ,  的系数得, 0 0 ln 2 Q A b   , 0 , ( 1) 0, ( 2,3, ) m E m A m       Bm  0 ( m 1,2,  ), 以 及 0 0 0 ln . 2 Q u A b    这就是信息通过边界传到体内!从而,本定解问题的物理

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