复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第二章 复变函数积分

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaa Phys FDU Chapter2复变函数积分 Abstract: Derivation the Cauchy theorem and Cauchy formula based on the properties of the integrals of complex variable functions 复变函数积分( ntegrals of complex variable functions) 1.定义:设l是复平面C上的一条可求长的有向曲线,函数f()在l上有定 义,沿1取分点二0=a,-1,2,…n1,=n=b,从1→的一小段上 任取一点5k,作和数∑/()(=-k-)=∑f(),如果当弧段 1(k=12,…,n)的最大长度→0时,此和数的极限存在,且 与z和5的选取无关,那么这个极限值称为f(x)沿曲线l的积分, 记作∫()=-m∑/( *)一个复变函数积分实际是两个实变线积分的有序组合 f/ed==juiv)d(x+ y)=(udr-ydy+ilovdx+udy 因此,根据实变函数线积分的知识,可以知道,如果l是分段光滑的, f(z)在l上连续,复变函数积分一定存在。 )可以把f(z)沿曲线l的积分化为关于参数t的积分 参数方程:==y(0),即∫(k=「no(d 其中(a,B)由曲线端点(a,b)的参数值确定。 2.性质: ()若1=4+42+…+2,则/(=S()d )/()=J(d,其中厂表示l的逆向

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 2 复变函数积分 Abstract: Derivation the Cauchy theorem and Cauchy formula based on the properties of the integrals of complex variable functions. 一、 复变函数积分(Integrals of complex variable functions) 1．定义：设 l 是复平面 C 上的一条可求长的有向曲线，函数 f (z) 在 l 上有定 义，沿 l 取分点 z0 = a,z1 ,z2 ,  ,zn−1 ,zn = b ，从 k k z → z −1 的一小段上 任取一点  k ，作和数  ( )( )  ( ) = = − − =  n k k k n k k k k f z z f z 1 1  1  ，如果当弧段 k k 1 z z − （ k = 1,2,  , n ）的最大长度  →0 时，此和数的极限存在，且 与 k z 和  k 的选取无关，那么这个极限值称为 f (z) 沿曲线 l 的积分， 记作  ( )  =  →   n k k k l z f z z f z k 1 max 0 ( )d lim  . *) 一个复变函数积分实际是两个实变线积分的有序组合     = + + = − + + l l l l f (z)dz (u iv)d(x iy) (udx vdy) i (vdx udy) . 因此，根据实变函数线积分的知识，可以知道，如果 l 是分段光滑的， f (z) 在 l 上连续，复变函数积分一定存在。 **) 可以把 f (z) 沿曲线 l 的积分化为关于参数 t 的积分 [参数方程： z =  (t) ]，即 ( )d [ ( )] '( )d , l f z z f t t t   =     其中 ( , )   由曲线端点 ( , ) a b 的参数值确定。 2．性质： (1) 若 n l = l + l ++ l 1 2 ，则   = = n k l l k f z z f z z 1 ( )d ( )d . (2)   = − − l l f (z)dz f (z)dz ，其中 − l 表示 l 的逆向

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaa Phys FDU (3)()+c/(小=c(x+e d)/(ds(=址=/(=)≤AMD,其中M是()的上界 L是曲线的长。 例1.求[Rezd,1为:(沿实轴由0→1,再平行于虚轴1→1+2i;(i)沿 虚轴由0→2i,再平行于实轴2→1+2i;(i)沿直线由0→1+2i 解:令z=x+,则 Re:=x=u(,y), v(x,y)=0, dz=dx +idy 对于0,R=d+=真d+(1=2+ 对于,j+=40d+xd= 对于(i),y=2x J Re zd==l xdx+iL xdy=l rdr+ o.dy=+i 虽然积分的起末点相同,但三种结果不同,这是由于f()=x不是解析函数。 例2.,其中1以=0=-1为起点,=1为终点,路径为:直线段 (i)上半单位圆周;(i)下半单位圆周。(练习) 解:()1的参数方程为:=x,x∈[-1,所以d=dx,则 =x=2dx=1 (i)的参数方程为:z=e",θ∈[0,z],所以d=e"dO,则 Jld==lleie'ode= ie de=eo=2 i)l的参数方程为:z=",O∈[z],所以d=l"d,则 dz de=ieda=el 2

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 2 (3)      + = + l l l c f (z) c f (z) dz c f (z)dz c f (z)dz 1 1 2 2 1 1 2 2 . (4)     =  l l l f (z)dz f (z) dz f (z) dl ML ，其中 M 是 f (z) 的上界， L 是曲线 l 的长。 例 1．求 l Re zdz，l 为：(i)沿实轴由 0 →1 ，再平行于虚轴 1→1+ 2i ；(ii) 沿 虚轴由 0 →2i ，再平行于实轴 2i →1+ 2i ；(iii)沿直线由 0→1+ 2i . 解：令 z = x + iy ，则 Re z = x = u(x, y)，v(x, y) = 0 ，dz = dx + idy . 对于(i)， z z x x i x y x x i y i l l l 2 2 1 Re d d d d 1 d 2 0 1 1 2 0 = + = +  = +      . 对于(ii)， 2 1 Re d d d 0 d d 1 0 2 3 4 0 = + =  +  =      z z i x y x x i y x x l l l . 对于(iii)， y = 2x , y i y z z x x i x y x x i l l l = + = +  = +      2 1 d 2 Re d d d d 2 0 1 5 5 0 . 虽然积分的起末点相同，但三种结果不同，这是由于 f z x ( ) = 不是解析函数。 例 2．l z dz ，其中 l 以 z0 = −1 为起点， z1 =1 为终点，路径为：(i)直线段； (ii)上半单位圆周；(iii)下半单位圆周。（练习） 解：(i) l 的参数方程为： z = x， x−1,1 ，所以 dz = dx ，则 d d 2 d 1 1 0 1 1 = = =  −  z z x x x x l . (ii) l 的参数方程为： i z = e ， 0,  ，所以   d d i z = ie ，则 d i d i d 2 0 0 0 = = = =             i i i i l z z e e e e . (iii) l 的参数方程为： i z = e ， −,0 ，所以   d d i z = ie ，则 d i d i d 2 0 0 0 = = = =  − − −         i i i i l z z e e e e

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaa Phys FDU 例3.计算积分=三d,其中1为实圆环151≤2的上半部分的边界, 方向为环形区域的正方向(靠右行) 解: =[-d dz 咋看起来∫(x)=二=e在D内解析,应该有 ∮f()=0 其实不然,∫=cos2+isin20,仅仅依赖于θ而非依赖于ρ 0=n≠一V=三COS20,0=v≠一l==sin26→非解析 例4.计算积分=∮ d,(n=1,2,…),其中C是以点a为圆心 r为半径的圆,积分方向为逆时针方向。 解:曲线C的参数方程为:z-a=re(0≤q≤2) dz 0 n 这个积分与半径r及常点a的位置无关,并且必须在复平面上,其实 1=∮。=m=-a)=2x是个纯虚数 二、科希定理( Cauchy Theorem) 上节讲述的是一般复变函数积分(主要是例子)。一般来说,它们的值 不仅与积分曲线段起点和终点的位置有关,还与该曲线段的具体形状有关。 在复变函数中是否能找到一类满足某些条件的f()能使积分[f()d 与曲线段的具体形状无关一一这正是解析函数。 Cauchy定理正是研究这类

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 3 例 3．计算积分  = l z z z I d ，其中 l 为实圆环 1 z  2 的上半部分的边界， 方向为环形区域的正方向(靠右行)。 解： ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 0 2 2 1 0 3 3 d d 2 d d d 2 d 2 1 2 1 1 1 1 3 3 4 . 3 l l c l c i i i i i i i i z z I z z z z x e x e x ie x ie x e x e e e             − − − − = = + + + = + + + = + − + + − =          咋看起来 2 ( ) z i f z e z  = = 在 D 内解析，应该有 ( )d 0 C f z z =  . 其实不然， f i = + cos 2 sin 2   ，仅仅依赖于  而非依赖于  ： 1 2 0 cos 2 u v      =  = ， 1 2 0 sin 2 v u      =  − =  非解析。 例 4．计算积分 ( ) 1 d n n C I z z a = −  ，（ n = 1,2, ) ，其中 C 是以点 a 为圆心， r 为半径的圆，积分方向为逆时针方向。 解：曲线 C 的参数方程为： i z − a = re (0    2 ) . ( ) ( 1) 2 2 1 0 0 1 1 i 2 n 1 d d d 0 n 2,3 i n i n n n in n C e i I z ire z a r e r         − − −  = = = = =  −  =    , 这个积分与半径 r 及常点 a 的位置无关，并且必须在复平面上，其实 1 d ln( ) | 2 c c z I z a i z a = = − =  −  是个纯虚数。 二、 科希定理（Cauchy Theorem） 上节讲述的是一般复变函数积分（主要是例子）。一般来说，它们的值 不仅与积分曲线段起点和终点的位置有关，还与该曲线段的具体形状有关。 在复变函数中是否能找到一类满足某些条件的 f (z) 能使积分 l f (z)dz 与曲线段 l 的具体形状无关——这正是解析函数。Cauchy 定理正是研究这类

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions LMacPhys FDU 函数的有力工具(是基础,非目标) 单连通区域:对于区域D,如果D内的任何闭曲线在收缩为一点的过程中, 曲线上的所有点都在D内,则称D为单通区域。 复连通区域:在单通区域内挖去所有奇点(可以是几个 点、几条线、几个区域)而组成的区域。 境界线走向:沿境界线行走,区域总在左边的走向规定 (定义)为正向。 1.单连通区域的 Cauchy定理:如果f()在闭单连通域D 中解析,则沿D中任何一个分段光滑的闭曲线,有5/(:=0 证明:为简单起见,下面在更强的条件下证明这个定理。附加条件是 f(z)在D中连续(其实,后面会看到,只要∫()在D中解析, 即f(x)存在,则∫(z)也存在,因而f(z)连续),即四个偏导 数盒每 连续。在此条件下可以应用 Green公式(*) p(2 ddy于复变函数积分,有 f()d=(+m)x+y) (udx-wdy)+i (vdx+udy) 根据 Cauchy-Riemann条件,马上得到{f(=)d=0 注意(*): ∫「pay=∫dr∫a,pa=IPxy2(x)-P(x,y(x)x P(x,y,(xdx- P(x, y2(xdr=-df, P(x,y))dx 由于Gren公式的要求,这里所说的单连通区域只能是一个有界 域,即,不能是包含∞点在内的(无界)域。以后我们会看到

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 4 函数的有力工具（是基础，非目标）。 单连通区域：对于区域 D，如果 D 内的任何闭曲线在收缩为一点的过程中， 曲线上的所有点都在D内，则称D为单通区域。 复连通区域：在单通区域内挖去所有奇点（可以是几个 点、几条线、几个区域）而组成的区域。 境界线走向：沿境界线行走，区域总在左边的走向规定 （定义）为正向。 1. 单连通区域的 Cauchy 定理：如果 f (z) 在闭单连通域 D 中解析，则沿 D 中任何一个分段光滑的闭曲线 l，有 ( )d = 0 l f z z . 证明：为简单起见，下面在更强的条件下证明这个定理。附加条件是 f (z) 在 D 中连续（其实，后面会看到，只要 f (z) 在 D 中解析， 即 f (z) 存在，则 f (z) 也存在，因而 f (z) 连续），即四个偏导 数 y v x v y u x u         , , , 连续。在此条件下可以应用 Green 公式（*）               −   + = l S x y y P x Q P(x, y)dx Q(x, y)dy d d 于复变函数积分，有 ( )d ( )d( ) ( d d ) ( d d ) d d d d . l l l l S S f z z u iv x iy u x v y i v x u y v u u v x y i x y x y x y = + + = − + +         = − + + −                   根据 Cauchy-Riemann 条件，马上得到 ( )d = 0 l f z z . 注意（*）： 2 1 ( ) 2 1 ( ) 1 2 d d d d [ ( , ( ) ( , ( ))]d ( , ( )d ( , ( )d ( , )d . b b y x y y S a y x a b a l a b P x y x P y P x y x P x y x x P x y x x P x y x x P x y x  =  = − = − − = −        由于 Green 公式的要求，这里所说的单连通区域只能是一个有界 域，即，不能是包含  点在内的（无界）域。以后我们会看到

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaa Phys FDU 即使f(z)在∞点解析,它绕∞点一周的积分也可以并不为0 推论一:如果f()在闭单连通域D中解析,则复变积分(与路径 无关。或者说,只要保持两端点固定,积分曲线可以在区域内连 续变形而积分值不变。 2.复连通区域的 Cauchy定理:如果∫(z)是闭复连通域D中的单值解析函数 (需要做手脚!),则有∑ff(d=0,其中l(k=12,…m)是 D的全部境界线(正方向)。 证明:(略) 推论二:对于闭复连通域上的单值解析函数,沿外境界线逆时针方向的 积分等于各内境界线逆时针方向的积分之和。 ∫(=)dz ∫(=)dz 推论三:设∫(z)是闭区域(单连通或复连通)D上的解析函数,对于 D内的一条闭曲线,当它在D内连续变形时积分值』/(始 终保持不变(但是奇点区不能穿过,也只能绕过一次!)。 一个常用结果: n=-1 其中,a在曲线C内。 othe 当n=0.1,2,…,(z-a)”在全平面解析,由 Cauchy Theorem,ln=0 对于n=-1-2,…,(z-a)”在z=a点不解析,由推论三,我们总可 以把围绕a的任一闭曲线C变为以a为圆 心的圆周,然后利用前面例题的结果

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 5 即使 f (z) 在  点解析，它绕  点一周的积分也可以并不为 0。 推论一：如果 f (z) 在闭单连通域 D 中解析，则复变积分 l f (z)dz 与路径 无关。或者说，只要保持两端点固定，积分曲线可以在区域内连 续变形而积分值不变。 2. 复连通区域的 Cauchy 定理：如果 f (z) 是闭复连通域 D 中的单值解析函数 （需要做手脚！），则有 ( )d 0 1  =  = n k l k f z z ，其中 l (k 1,2, , n) k =  是 D 的全部境界线（正方向）。 证明：（略） 推论二：对于闭复连通域上的单值解析函数，沿外境界线逆时针方向的 积分等于各内境界线逆时针方向的积分之和。 1 ( )d ( )d . k n l l k f z z f z z + − =   =  推论三：设 f (z) 是闭区域（单连通或复连通） D 上的解析函数，对于 D 内的一条闭曲线 l ，当它在 D 内连续变形时积分值 l f (z)dz 始 终保持不变（但是奇点区不能穿过，也只能绕过一次！）。 一个常用结果： ( ) 2 1 d 0 otherwise n n C i n I z a z   = − = − =    ，其中， a 在曲线 C 内。 当 n = 0,1,2, ， n (z − a) 在全平面解析，由 Cauchy Theorem， 0 n I = ， 对于 n = −1,−2, ， n (z − a) 在 z = a 点不解析，由推论三，我们总可 以把围绕 a 的任一闭曲线 C 变为以 a 为圆 心的圆周，然后利用前面例题的结果

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions LMacPhys FDU 例1.如果函数∫()在0≮-a0,存在>0,使得-d<d时, 有K(-a)f()-4<6.(解析函数一致性定理!)所以 /(-2x45N=-a)/()-4d<27→0 因此,/(=2m只要m()=A/(=-a 例2(X).设C为不经过α与-a的正向简单闭路,a为不等于零的任 何复数,试就C与a,-a的位置关系,计算 dz 解: a2 2a(=-a 2+ 因为C不经过a与-a,故C与a,-a的位置关系有四种可能: (1)a与-a同时位于C的外部,I=0; (2)a位于C的内部,-a位于C的外部, 正-f (2 2-C (3)-a位于C的内部,a位于C的外部, 6

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 6 例1． 如果函数 f (z) 在 0  z − a  R 环 域 内解析，且 z a f z A z a − = → lim ( ) ( ) (这个数值类似于、但不是留数,Residue)，则 f (z) z iA C d = 2  ，曲线 C 为 D 内绕 a 点的闭曲线。 证明： z i C z a d 2 1 = −  . ( ) ( ) 2 0 2 0 d 2 d d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d . C z a r C z a r z a r A f z z iA f z z z z a z a f z A z z a z a f z A z z a z a f z A r r z a f z A      − = − = − = − = − − − − = − − −  − − − = = − −        z a f z A z a − = → lim ( ) ( ) ，即，任给   0 ，存在   0 ，使得 z − a   时， 有 (z − a) f (z) − A   . （解析函数一致性定理！）所以 ( ) 2 0 d 2 ( ) ( ) d 2 0 C f z z iA z a f z A  −  − −  →      . 因此， f (z) z iA C d = 2  . 只要 lim ( ) / ( ). z a f z A z a → = − 例 2（X）．设 C 为不经过  与− 的正向简单闭路，  为不等于零的任 何复数，试就 C 与  ，− 的位置关系，计算  − = C z z I 2 2 d  . 解：       + − − = z −  z  z  1 1 2 1 1 2 2 . 因为 C 不经过  与− ，故 C 与  ，− 的位置关系有四种可能： （1）  与− 同时位于 C 的外部， I = 0 ； （2）  位于 C 的内部，− 位于 C 的外部， ( )         i i z z z z z z I C C C  = − =      + − − = − =    2 0 2 d d 1 2 d 1 2 2 ; （3）− 位于 C 的内部，  位于 C 的外部

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaa Phys FDU z+a)2 (4)a与-a同时位于C的内部,由推论二,有 dz dz 5==5=2n+5 dz 、(X)解析函数不定积分( Undefine integrals) 定理:设f(=)是单连通域D内的解析函数,是D内的一个定点,在D 内定义函数,F()=「(5)d,则F()也是D内的解析函数,且 F(=)=f(x),同时,对D内的任意两点x1和二2,有 f(d5=F(=2)-F(=1) 证明:为了证明F()是解析的,只需要直接 求出它的导数就可以了。设z是D内 一点,z+A是它的邻点,则 F(-)=f(5)d5 F(+A)=f(d,因为积分与 路径无关,所以 AFF(+△)-F()1r+ =1广“rA5,由此可得, △F f() f()d5-f(-) 由于∫(z)是解析的,它一定连续,即,对于任给E>0,存在δ>0, 使得当-<6时,f(5)-f(-)<6,[只要A<,同时5点落在 以点为中心,A=为半径的圆内,就有(5)-f()<E]所以 A4-f()EA=E,即得F()=s(2) △F 这就证明了F(x)在D内处处可导,是D内的解析函数,并且

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 7 ( )         i i z z z z z z I C C C  = − = −      + − − = − =    0 2 2 d d 1 2 d 1 2 2 ; （4）  与− 同时位于 C 的内部，由推论二，有 0 d d d 2 2 2 2 2 2 = − = − + − = − =    −          i i z z z z z z I C C C . 三、 （X）解析函数不定积分 (Indefine integrals) 定理：设 f (z) 是单连通域 D 内的解析函数， 0 z 是 D 内的一个定点，在 D 内定义函数，   z z F z f 0 ( ) ( )d ，则 F(z) 也是 D 内的解析函数，且 F(z) = f (z) ，同时，对 D 内的任意两点 1 z 和 2 z ， 有 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 f F z F z z z = −    . 证明：为了证明 F(z) 是解析的，只需要直接 求出它的导数就可以了。设 z 是 D 内 一点, z + z 是它的邻点，则  = z z F z f 0 ( ) ( )d ，  + +  = z z z F z z f 0 ( ) ( )d ，因为积分与 路径无关，所以，  +  =  +  − =   z z z f z z F z z F z z F ( )d ( ) ( ) 1 ，由此可得，   1 ( ) ( )d ( ) 1 1 ( ) ( ) d ( ) ( ) d . z z z z z z z z z F f z f f z z z f f z f f z z z       +  + +  − = −   = −  −       由于 f (z) 是解析的，它一定连续，即，对于任给   0 ，存在   0， 使得当  − z   时， f () − f (z)   ，[只要   z  ，同时  点落在 以 z 点为中心， z 为半径的圆内，就有 f () − f (z)   ] 所以    =   −    z z f z z F 1 ( ) ，即得 ( ) lim ( ) 0 f z z F F z z =    =  → . 这就证明了 F(z) 在 D 内处处可导，是 D 内的解析函数，并且

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaa Phys FDU F'(=)=f(=) 根据原函数的定义:如果Φ(二)=f(),则Φ(二)称为f()的 原函数。可见F()是f()的一个原函数。对于给定的一个函数f() 来讲,原函数不是唯一的。任意两个原函数之间只相差一个常数 这是因为,如果Φ1(z)与Φ2()都是f(-)的原函数,则 d(=)=f(-),Φ2(=)=f(-).所以 b(2)-2(=()-b2(=)=f(=)-f()=0,即 Φ1(=)-Φ2(=)=C 现在证明∫(A5=F(2)-F(=)设)也是()的一个 原函数,那么,)=F()+C=「fA+C,显然(a)=C, 于是上式又可写为: f(5)d5=Φ()-(二0)=F()-F(=0).因而 f(5)d5=F(=2)-F(=1) f(=)的原函数的集合称为f()的不定积分,记为∫(55 四、科希积分公式( Cauchy integral formula) Cauchy定理最直接、最重要的结果是 Cauchy公式。对于区域D上的解 析函数,这一公式建立了边界和区域内各点的关系,即,它在边界上的值决 定了它在D内任意一点的值。 1.有界区域的 Cauchy积分公式:设f()是闭单连通区域D上的解析函数, f 为区域境界线,则对区域内任一点z,有f(-y2715-2,其中 积分路线沿l的正方向 证明:因为f()=f(=) f(=) d5,所以只要证明

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 8 F(z) = f (z). 根据原函数的定义：如果 (z) = f (z) ，则 (z) 称为 f (z) 的 原函数。可见 F(z) 是 f (z) 的一个原函数。对于给定的一个函数 f (z) 来讲，原函数不是唯一的。任意两个原函数之间只相差一个常数。 这是因为，如果 ( ) 1  z 与 ( ) 2  z 都是 f (z) 的原函数，则 ( ) ( ) 1  z = f z ， ( ) ( ) 2  z = f z . 所以  1 ( ) 2 ( ) = 1 ( ) −  2 ( ) = ( ) − ( ) = 0   z −  z z z f z f z ，即 1 (z) −2 (z) = C. 现在证明 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 f F z F z z z = −    . 设 (z) 也是 f (z) 的一个 原函数，那么， z F z C f C z z  = + = +  0 ( ) ( ) ( )d ，显然 (z0 ) = C ， 于是上式又可写为： ( )d ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z z F z F z z z =  −  = −    . 因而， ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 f F z F z z z = −    . f (z) 的原函数的集合称为 f (z) 的不定积分，记为  z f ( )d . 四、科希积分公式 (Cauchy integral formula) Cauchy 定理最直接、最重要的结果是 Cauchy 公式。对于区域 D 上的解 析函数，这一公式建立了边界和区域内各点的关系，即，它在边界上的值决 定了它在 D 内任意一点的值。 1．有界区域的 Cauchy 积分公式：设 f (z) 是闭单连通区域 D 上的解析函数， l 为区域境界线，则对区域内任一点 z ，有  − = l z f i f z     d ( ) 2 1 ( ) ，其中 积分路线沿 l 的正方向。 证明：因为   − = − =  l l z f z i z i f z f z       d ( ) 2 1 d 1 2 1 ( ) ( ) ，所以只要证明

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions LMacPhys FDU ∫(5) d5-f(=) 1cf(5)-f(-) d5=0即可 2m15 在D内做圆-=p,根据 Cauchy定理推论三(回 路变形,f(52-1(=ag=1 ∫(5)-f(=) 2m1-5 因为 ∫(5)-∫( f(5)-f(-) -+p =V()-f(=)d 为f()在点连续,即任给E>0,存在δ>0,使得当-<8时, f(5)-f(-)<E.因此,只要上面的p<δ,就有 ∫(5)-f(=) d≤2xa→0.所以有f(=)= I rf(s 注意:*此证明亦说明,在-<P内(≠5),虽然一一的原函数(对数 函数)是多值函数,或者一做回路积分时,转一圈位相变化2r(明显地,5=z 是1-的奇点),但是(-(是解析函数;只不过是当二→5时, f(=)→∫(5).这样就解析延拓了:二从占离开一点点p,f(二)可由∫(5)完全决 定,再离开一点点,仍然如此,—一解析函数的一致性定理。 (5)→f(=) i)l和v由CR条件以微分形式相互联系,而非独立: ⅱ)解析函数是一种平面标量场,而平面场的边界条件决定了区域内部的场。这种物理 意义是以复变函数的积分形式关联 **对于复连通区域上的单值解析函数f(z),只要将积分路线l理 解为该区域的全部境界线(都取正方向),则 Cauchy公式仍然有效

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 9 d 0 ( ) ( ) 2 1 d ( ) ( ) 2 1 = − − − = − l l z f f z i f z z f i         即可。 在 D 内做圆  − z =  ，根据 Cauchy 定理推论三(回 路变形)，   − = − − = − −           l z z f f z z i f f z i d ( ) ( ) 2 1 d ( ) ( ) 2 1 . 因为 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) d , z z f f z f f z z z f f z              − = − = − −   − − = −     又因 为 f ( ) 在 z 点连续，即任给   0 ，存在   0 ，使得当  − z   时， f () − f (z)   . 因此，只要上面的    ，就有 d 2 0 ( ) ( )  → − −  − =       z  z f f z . 所以有  − = l z f i f z     d ( ) 2 1 ( ) . 注意：* 此证明亦说明，在   −  z 内（ z   ），虽然 1  − z 的原函数（对数 函数）是多值函数，或者 1  − z 做回路积分时，转一圈位相变化 2 （明显地，  = z 是 1  − z 的奇点），但是 f f z ( ) ( ) z   − − 是解析函数 ; 只不过是 当 z → 时 ， f z f ( ) ( ) →  . 这样就解析延拓了: z 从  离开一点点  ， f z( ) 可由 f ( )  完全决 定，再离开一点点，仍然如此,…——解析函数的一致性定理。 ** f f z ( ) ( ) :   ⅰ） u 和 v 由 C-R 条件以微分形式相互联系，而非独立； ⅱ）解析函数是一种平面标量场，而平面场的边界条件决定了区域内部的场。这种物理 意义是以复变函数的积分形式关联。 *** 对于复连通区域上的单值解析函数 f (z) ，只要将积分路线 l 理 解为该区域的全部境界线（都取正方向），则 Cauchy 公式仍然有效

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaa Phys FDU 「引理1(大圆弧引理川(*动机:定积分计算):如果f(=)在区域D: Rs-d∞时,(z-a)f(=)一致地趋于复常数K,这意 味着任给E>0,存在[与arg=-a)无关的]M()>0,使当=R>M时, (=-a)(2)-<6,所以[。f(-K(2-)≤(2-)→0即 lim f()ds=iK(e-0) 2.[无界区域的 Cauchy积分公式]:设∫(z)在闭曲线C及其外部的无界区域 上是解析的,且imf(z)=0,则有f(=) d5,其中积分路 线沿C的正方向(注意:现在正方向为顺时针方向)。 证明 在C外作一个以原点为圆心,R为半径的 大圆C2,这样,对于C和C所围的复连 通区域,根据有界域 Cauchy积分公式, f() 二) f() 2nic5-z

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 10 [引理 1 (大圆弧引理)]（*动机：定积分计算）：如果 f (z) 在区域 D： R  z − a  ， 1 2   arg(z − a)  上连续，且当 z z( D)  →  时， (z − a) f (z) 一 致地趋于一个复常数 K ，则 ( ) d 2 1 lim ( ) =  −  → f z z iK R CR ，其中 CR 是以 a 为圆心、 R 为半径、夹角为  2 −1 的圆弧， 1 2 z − a = R,  arg(z − a)  .（各向同性） 证明： lim ( ) / ( ). z f z K z a → = − 因为 ( ) 2 1 d =  − −  i z a z CR ，所以 ( ) ( ) 2 1 ( )d ( ) d d ( ) ( ) d ( ) ( ) . R R R R C C C C K f z z iK f z z z a z z a f z K z a z z a f z K z a     − − = −     − = − − −  − − −     由于当 1 2   arg(z − a)  ，z → 时， (z − a) f (z) 一致地趋于复常数 K，这意 味着任给   0 ，存在[与 arg(z − a) 无关的] M ( )  0 ，使当 z = R  M 时， (z − a) f (z) − K   ，所以 ( )d 0, ( 2 1 2 1 ) ( ) CR f z z iK − −  − →       即 ( ) d 2 1 lim ( ) =  −  → f z z iK R CR . 2．[无界区域的 Cauchy 积分公式]：设 f (z) 在闭曲线 C 及其外部的无界区域 上是解析的，且 lim ( ) = 0 → f z z ，则有  − = C z f i f z     d ( ) 2 1 ( ) ，其中积分路 线沿 C 的正方向（注意：现在正方向为顺时针方向）。 证明： 在 C 外作一个以原点为圆心， R 为半径的 大圆 CR ，这样，对于 C 和 CR 所围的复连 通区域，根据有界域 Cauchy 积分公式，   − + − = C C z f z i f i f z R         d ( ) 2 1 d ( ) 2 1 ( )