复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第四章 解析延拓Γ函数和B函数 Analyticl extension, Gamma and Beta functions

Methods of Mathematical Physics(2016. 10) Ch Analyticl extension, Gamma and Beta functi YLMaa Phys FDU Chapter4解析延拓r函数和B函数 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 零点的定义 设f(z)在a点及其邻域内解析,如果f(a)=0,则称z=a为f(x)的零点。 设∫(=)=∑cn(=-a)",(z-a0),使在圆 内除z=a外,f()无其它零点[在多值非解析函数f()=(z-a)"()中, z=a虽然为零点,但是又是枝点]。 证明:设z=a为f(x)的m阶零点,则f(x)=(z-a)(=),其中叭()解析, 且(a)≠0.由()在z=a连续,即,任给E>0,存在p>0,使得当-d(a-E=a)>0 由此即证得f()在-d<内除z=a外无其它零点。 推论1:设f()在D:|-d<R内解析,若在D内存在f()的无穷多个零 点{=n},且m=n=a,但=n≠a,则f(=)在D内恒为0 证明:f()在D内连续,imf(=)=f(a).若取z→a的一个特殊序列, 即n},当然仍有,limf(n)=f(a).而f(=n)=0,故f(a)=0,即=a为f()

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 4 解析延拓  函数和  函数 一、 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 1. 零点的定义： 设 f (z) 在 a 点及其邻域内解析，如果 f (a)  0 ，则称 z  a 为 f (z) 的零点。 设   0 ( ) , n n n f z c z a      ( ), z a r   若 f (a)  0 ，则必有， c0  c1  cm1  0， 0. m c  此时，称 z  a 为 f (z) 的 m 阶零点。 相应地， ( ) ( ) ( ) 0 ( 1)       f a f a f a  m ， ( ) ( ) 0. m f a  零点的阶数都是确定的正整数——在函数的解析区域内，不可能有分数次的零点。 2. 零点的孤立性： 解析函数的零点孤立性定理：设 z  a 为 f (z) 的零点，若 f (z) 不恒等于 0 ， 且在包含 z  a 在内的区域内解析，则必能找到圆 z a      0 ，使在圆 内除 z  a 外， f (z) 无其它零点 [在多值非解析函数 ( )   ( ) 1/ f z z a z m    中， z  a 虽然为零点，但是又是枝点]。 证明：设 z  a 为 f (z) 的 m 阶零点，则 f (z) z a (z) m    ，其中 (z) 解析， 且 ( ) 0. a  由 (z) 在 z  a 连续，即，任给   0 ，存在   0 ，使得当 z  a   时，    ( ) ( ) . z a   不妨取   (a) 2 ，由于 (a)  (z)  (z) (a) ，则得， 1 ( ) ( ) ( ) 0. 2     z a a     由此即证得 f (z) 在 z  a   内除 z  a 外无其它零点。 推论 1：设 f (z) 在 D： z  a  R 内解析，若在 D 内存在 f (z) 的无穷多个零 点 zn  ，且 zn a n   lim ，但 z a n  ，则 f (z) 在 D 内恒为 0. 证明： f (z) 在 D 内连续， lim ( ) ( ). z a f z f a   若取 z  a 的一个特殊序列， 即 zn  ，当然仍有， lim ( ) ( ). n n f z f a   而 f (zn )  0 ，故 f (a)  0 ，即 z  a 为 f (z)

Methods of Mathematical Physics(2016. 10) Ch Analyticl extension, Gamma and Beta fund YLMaa Phys FDU 的零点,并且是f()的非孤立零点(即f()零点的极限点)。在f(a)的邻域中 总存在无穷多个f()的零点,根据零点的孤立性原理,必有f(=)=0 推论2:设f()在D:-a<R内解析,若在D内存在过a点的一段弧或 含a点的子区域g,在l上或g内f()=0,则在整个区域D内f()=0 这个推论是显然的,因为在|上或g内总能找到一个以z=a为极限点 的序列{n},且zn≠a 推论3:设∫()在D内解析,若在D内存在过a点的一段弧l或含a点的子 区域g,在/上或g内f(z)≡0,则在整个区域D内∫()=0 (做一些相互交叠的圆,即得)。 3.解析函数的唯一性: 解析函数的唯一性定理:设在区域D内有两个解析函数f()和f2(=),且在 D内存在一个序列{=n},f(=n)=f(=n)若{n}的一个极限点z=a(==n)也 落在D内,则在D内f()=f2(二) 证明:只需考虑g(二)=f(-)-f2(-),由上面的推论一,即可得g()≡0,即 推论1:设f()和f(=)都在区域D内解析,且在D内的一段弧或一个子区 域内相等,则在D内f()=f() 例如,sn2z,2 sIn z cos在全平面是解析的,又因为 sn2x=2 sIn x cos x,所以sin2z=2 SIn z cosz 推论2:设f()和f2()都在区域D内解析,且在D内某一点a满足 f(a)=f2(a),f(a)=/(a)(n=12,…),则在D内f()=f() 由上面的条件可知,至少在a的一个邻域内,f1(二)和f2(二)有相同的 Taylor级数表示 式,因此在a的这个邻域内,f(2)=f2(=).由推论1,在区域D内,f(=)=f()

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 2 的零点，并且是 f (z) 的非孤立零点（即 f (z) 零点的极限点）。在 f (a) 的邻域中 总存在无穷多个 f (z) 的零点，根据零点的孤立性原理，必有 f z( ) 0.  推论 2：设 f (z) 在 D： z  a  R 内解析，若在 D 内存在过 a 点的一段弧 l 或 含 a 点的子区域 g，在 l 上或 g 内 f (z)  0 ，则在整个区域 D 内 f z( ) 0.  这个推论是显然的，因为在 l 上或 g 内总能找到一个以 z  a 为极限点 的序列 zn  ，且 . n z a  推论 3：设 f (z) 在 D 内解析，若在 D 内存在过 a 点的一段弧 l 或含 a 点的子 区域 g，在 l 上或 g 内 f (z)  0 ，则在整个区域 D 内 f z( ) 0.  （做一些相互交叠的圆，即得）。 3. 解析函数的唯一性： 解析函数的唯一性定理：设在区域 D 内有两个解析函数 ( ) 1 f z 和 ( ) 2 f z ，且在 D 内存在一个序列 zn ， 1 2 ( ) ( ). n n f z f z  若 zn  的一个极限点   n z  a  z 也 落在 D 内，则在 D 内 1 2 f z f z ( ) ( ).  证明：只需考虑 ( ) ( ) ( ) 1 2 g z  f z  f z ，由上面的推论一，即可得 g(z)  0 ，即 1 2 f z f z ( ) ( ).  推论 1：设 ( ) 1 f z 和 ( ) 2 f z 都在区域 D 内解析，且在 D 内的一段弧或一个子区 域内相等，则在 D 内 1 2 f z f z ( ) ( ).  例如， sin 2z ，2sin z cos z 在全平面是解析的，又因为 sin 2x  2sin x cos x ，所以 sin 2 2sin cos . z z z  推论 2：设 ( ) 1 f z 和 ( ) 2 f z 都在区域 D 内解析，且在 D 内某一点 a 满足 ( ) ( ) f 1 a  f 2 a ， ( ) ( )  1,2,  ( ) ( ) 1 2 f a  f a n  n n ，则在 D 内 1 2 f z f z ( ) ( ).  由上面的条件可知，至少在 a 的一个邻域内， ( ) 1 f z 和 ( ) 2 f z 有相同的 Taylor 级数表示 式，因此在 a 的这个邻域内， 1 2 f z f z ( ) ( ).  由推论 1，在区域 D 内， 1 2 f z f z ( ) ( ). 

Mathematical Physics(2016. 10) Ch Analyticl extension, Gamma and Beta fund YLMaa Phys FDU 、解析延拓 1.定义:设函数f(=)在区域D内解析,函数/(=)在区域D2内解析,而在 D与D2的公共区D∩D2内,f()=f2(=),则称f2(=)为f(-)在 D2内的解析延拓;反之,f()为∫2(-)在D内的解析延拓。 2.用 Taylor级数进行解析延拓 设(2)=∑=,1D:< 在D内一点,如=,我们有 (n=0,12, 再构造f(x)=∑ 显然它的解析区域D2 √ 在D∩D2,由推论2,有f()=f2(=),因此它们互为解析延拓 f(=)=∈D f(二)= f2(-)∈ ,这样f(z)的定义域就扩大为D∪D2 事实上,∑=。1 +二 即f1()和f2(=)只不过是同一个函数,在不同区域的表达式 求出无穷级数的和函数是一种最直截了当的方法 解析延拓并非总能进行。如f()=1+∑=2,<1, 它在=1的圆周上处处是奇点

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 3 二、解析延拓 1．定义：设函数 ( ) 1 f z 在区域 D1 内解析，函数 ( ) 2 f z 在区域 D2 内解析，而在 D1 与 D2 的公共区 D1  D2 内， ( ) ( ) 1 2 f z  f z ，则称 ( ) 2 f z 为 ( ) 1 f z 在 D2 内的解析延拓；反之， ( ) 1 f z 为 ( ) 2 f z 在 D1 内的解析延拓。 2．用 Taylor 级数进行解析延拓 设 1 0 1 ( ) . 1 k k f z z z       D1： z 1; 在 D1 内一点，如 2 i z  ，我们有 1 ( ) 1 2 1 ! 2                n n i i n f n  0,1,2, . 再构造   1 2 1 0 0 2 1 ( ) . ! 2 2 1 2 n n n n n n i f i i f z z z n i                                    显然它的解析区域 D2： 5 1 . 2 2 2 i i z     在 D1  D2 ，由推论 2，有 ( ) ( ) 1 2 f z  f z ，因此它们互为解析延拓。       2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) f z z D f z z D f z ，这样 f (z) 的定义域就扩大为 1 2 D D  . 事实上， 0 1 , 1 k k z z      z i z n i n n                     1 1 2 2 1 1 0 1 ， 即 ( ) 1 f z 和 ( ) 2 f z 只不过是同一个函数 1 z 1 在不同区域的表达式。 求出无穷级数的和函数是一种最直截了当的方法。 * 解析延拓并非总能进行。如      1 2 ( ) 1 n n f z z ， z 1， 它在 z 1 的圆周上处处是奇点

Methods of Mathematical Physics(2016. 10) Ch Analyticl extension, Gamma and Beta fund YLMaa Phys FDU 3.用函数关系式进行解析延拓-r函数 r(x)=Ce7r"d(x>0),r函数,或称第二类 Euler积分。 当n=0,1,2,…时,r(n+1)=n(分部积分可得,高等数学知识)。 定义复变量z的r函数 r()=e"r-d(Re=>0,因为被积函数可能是多值的,约定正实轴上: argt=0.可证,r(x)在右半平面是解析的,下面我们进行解析延拓。 因为,r(x+1)=Jcrd=-e+xJcd=xr(x)(x>0) 又因为r(=)在Re〓>0解析,那么r(x+1)和zI(x)在Rez>0也解析。 所以,I(+1)=()(Rez>0),或I()= 注意到(=+D 在Re(z+1)>0,(z≠0)是解析的,可定义 I()=(=+1) 10解析延拓到Rez>-1(≠0). This is also a rr 类似的,可将其延拓到整个复平面。一般地,定义 r(二)≡ r(二+1)T(二+n+1) (n+1)0y>0)得 B(9)=-0-yd(aep>0Req>0)且约定正实轴上:agt=0

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 4 3．用函数关系式进行解析延拓-- 函数       0 1 (x) e t dt t x x  0,  函数，或称第二类 Euler 积分。 当 n  0,1,2,  时， (n 1)  n! (分部积分可得，高等数学知识)。 定义复变量 z 的  函数:       0 1 (z) e t dt t z Re z  0, 因为被积函数可能是多值的，约定正实轴上： arg 0. t  可证， (z) 在右半平面是解析的，下面我们进行解析延拓。 因为， 1 0 0 0 ( 1) d d ( ), t x t x t x x e t t e t x e t t x x                  x  0 又因为 (z) 在 Re z  0 解析，那么 (z 1) 和 z(z) 在 Re z  0 也解析。 所以， (z 1)  z(z) Re z  0，或 z z z ( 1) ( )     Re z  0. 注意到 z (z 1) 在 Re( 1) 0,( 0) z z    是解析的，可定义 z z z ( 1) ( )     1 Re z  0,z  0. 这样， (z) 就从 Re z  0 解析延拓到 Re z  1z  0. This is also a RR. 类似的，可将其延拓到整个复平面。一般地，定义 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) z z z n z n z z z             (n 1)  Re z  n,z  0,1,  ,n. 这样定义的 (z) 在全平面除 z  0,1,2,  外处处解析， z  0,1,2,  是 它的单极点。在整个复平面满足        ( 1) ( ) ( 0, 1, 2, ). z z z z  函数的性质： 1). (1) 1 ; 2).          2 1 ; 3). z z z   sin ( )(1 )  z  整数 ; 4). 2 1 2 1 (2 ) ( ) . 2 z z z z              5). 2 . 2 1 2 2 1                     4． 函数（第一类 Euler 积分） 由         1 0 1 1 (x, y) t 1 t dt x y x  0, y  0 得         1 0 1 1 ( p, q) t 1 t dt p q Re p  0,Re q  0 且约定正实轴上：arg t  0

Mathematical Physics(2016. 10) Ch Analyticl extension, Gamma and Beta functi YLMaa Phys FDU arg(1-1)=0.可以证明B函数与r函数的关系见教材第四章p62式(424) 的证明]:B(P,q) t(pra r(p+g) (Re p>0,Req>0) 根据r函数的性质,上式在全平面成立(p≠0-1,-2,…,q≠0.-1-2,…) 22-1 下面证明r(x)r(1-x) (0<x<1)&T(2z) T(Er In 7x T(x)r(1-x)=et-dre's ds=e()-dsdt 非线性变换5=+1,n=2(0≤5<0,07)→s2+ a(S,) 1+n(1+n)5 (s, n)at at n 5 050m|1+n(1+n) e-is*()-dsdt=1e-in' I+n a(s n5(5,n) didn dedn=le"'n dsd e sd = 1+n SIn 7x 这里分离变量了,最后一步用了教案第五章p23的留数定理。由第二页的推论1 可知,当z≠整数时I()(1-)=-仍然成立。取z=得 考察(r() r(2) ∫-my-d=2-myd令1=1(-5)得 r(=)I(二) =22(1-5)2d5=22B(,)=2 r(=I(1/2) 利用=√z即得I(2)=r=r( Home work: 4.2

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 4 Analyticl extension, Gamma and Beta functions YLMa@Phys.FDU 5 arg 1 0.    t 可以证明  函数与  函数的关系[见教材第四章 p.62 式(4.24) 的证明]： p q p q p q       ( ) ( ) ( , ) Re p  0,Re q  0. 根据  函数的性质，上式在全平面成立（ p  0,1,2,  ,q  0,1,2,  ）. 下面证明 ( ) (1 ) sin x x x       (0 1)&  x 2 1 2 1 (2 ) ( ) . 2 z z z z              1 ( ) 0 0 0 0 1 ( ) (1 ) d d ( ) d d , t x s x s t x t x x e t t e s s e s t s t                   非线性变换: , (0 ,0 ) t s t s              , , 1 1 s t          2 2 2 1 , , ( , ) 1 (1 ) , ( , ) (1 ) , , 1 (1 ) s s s t t t                                   ( ) 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ( , ) ( ) d d d d ( , ) 1 1 d d d d (1 ) (1 ) d d d . 1 1 sin s t x x x x x x t s t e s t e s t e e e x                                                                         这里分离变量了，最后一步用了教案第五章 p.23 的留数定理。 由第二页的推论 1 可知，当 z 整数 时 z z z   sin ( )(1 )  仍然成立。取 2 1 z  得 . 2 1          考察           1/ 2 0 z-1 1 0 z-1 B( , ) [ (1 )] d 2 [ (1 )] d . (2 ) ( ) ( ) z z t t t t t t z z z 令 1 (1 ) 2 t    得 . ( 1/ 2) ( ) (1/ 2) ) 2 2 1 2 (1 ) d 2 B( , (2 ) ( ) ( ) 1-2 1-2 1 0 1-2 z-1 -1/2             z z z z z z z z z    利用          2 1 即得 2 1 2 1 (2 ) ( ) . 2 z z z z              Home work: 4.2