电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第三章 分离变量法（3/4）

数理方程与特殊函激 第三章分离变量法（三） 主讲：杨春

第三章 分离变量法(三) 主讲：杨春

主要内容 一、傅里叶级数法求解非齐次定解问题 二、齐次化原理求解非齐次定解问题

主要内容 二、齐次化原理求解非齐次定解问题 一、傅里叶级数法求解非齐次定解问题

一、傅里叶级数法求解非齐次定解问题 (一)、波动方程情形 un=a'uss+f(x,t)(t>0,0<x<L) u(t,0)=u(t,L)=0 u(0,x)=p(x),u,(0,x)=w(x) 定解问题特点：方程非齐次！ 如何求解？采用傅里叶待定级数法求解

(一)、波动方程情形 一、傅里叶级数法求解非齐次定解问题 2 ( , )( 0,0 ) ( ,0) ( , ) 0 (0, ) ( ), (0, ) ( ) tt xx t u a u f x t t x L u t u t L u x x u x x                 定解问题特点：方程非齐次！ 如何求解？ 采用傅里叶待定级数法求解

1、求出对应的齐次方程定解问题的固有值和 4=aux+f(x,t)(t>0,00,0<x<L) (0,x)=p(x),4,(0,x)=yw(x) u(t,0)=u(t,L)=0 u(0,x)=p(x),4,(0,x)=y(x) X,=sx nπ n=1,2,… 2、原定解问题一般解的级数假定：(x,)=∑X,(x)T,0 对应于本同题为：)-艺了0sn 4

4 2 ( , )( 0,0 ) ( ,0) ( , ) 0 (0, ) ( ), (0, ) ( ) tt xx t u a u f x t t x L u t u t L u x x u x x                 1、求出对应的齐次方程定解问题的固有值和 固有函数： 2 ( 0,0 ) ( ,0) ( , ) 0 (0, ) ( ), (0, ) ( ) tt xx t u a u t x L u t u t L u x x u x x                2 n n L          n ( ) sin n X x x L   n 1,2, 2、原定解问题一般解的级数假定： ( , ) ( ) ( ) n n n u x t X x T t  对应于本问题为： 1 ( , ) ( )sin n n n u x t T t x L    

3、建立时间微分方程初值问题： 4=aux+f(x,t)(t>0,0<x<L) (t,0)=u(t,L)=0 )1()sin (0,x)=p(x),4,(0,x)=yw(x) m= fx-2f0sm2x→ n=1 un a'ug +f(x,t) 7=1 7=1 +-0a=2 关*：0=2fx0sn"受n=l2 5

5 2 ( , )( 0,0 ) ( ,0) ( , ) 0 (0, ) ( ), (0, ) ( ) tt xx t u a u f x t t x L u t u t L u x x u x x                 3、建立时间微分方程初值问题： 其中： 1 ( , ) ( )sin n n n u x t T t x L     2 ( , ) u a u f x t tt xx   1 ( , ) ( )sin n n n f x t f t x L     2 2 1 1 1 n n n ( )sin ( )sin ( )sin n n n n n n n T t x a T t x f t x L L L L                        2 2 ( ),( 1,2, ) n n n n T a T f t n L            0 2 ( ) ( , )sin ( 1,2, ) L n n x f t f x t dx n L L    

4n=a'u.+f(x,t0t>0,0<x<L) (t,0)=u(t,L)=0 u(x,0)=∑I,(0)sin 十0 (0,x)=p(x),4,(0,x)=W(x) n= L u(0,x)=p(x) 2.o0sno)→z@=2x)sn受x .)()sin → 0sn=w(国→1o)=2)sn： +c0 4,(0,x)=yW(x) n=1 6

6 2 ( , )( 0,0 ) ( ,0) ( , ) 0 (0, ) ( ), (0, ) ( ) tt xx t u a u f x t t x L u t u t L u x x u x x                 1 ( , ) ( )sin n n n u x t T t x L     u x x (0, ) ( )  1 (0)sin = ( ) n n n T x x L      0 2 (0) ( )sin L n n T x x L L     1 ( , ) ( )sin n n n u x t T t x L     (0, ) ( ) u x x t  1 (0)sin ( ) n n n T x x L        0 2 (0) ( )sin L n n T x x L L    

4.=a2u+fx,t0t>0,0<x<L） → T”+,a2Tn=fn0 (t,0)=u(t,L)=0 T(O)=aT;(0)=b ,n=1,2, (0,x)=p(x),4,(0,x)=yw(x) 其中： .T.()()sin))sin 4、求解时间微分方程初值问题： T”+,a2T,=fn() T,(0)=a T (0)=b ,n=1,2, 7

7 2 ( , )( 0,0 ) ( ,0) ( , ) 0 (0, ) ( ), (0, ) ( ) tt xx t u a u f x t t x L u t u t L u x x u x x                 2 ( ) ,( 1,2, ) (0) , (0) n n n n n n n n T a T f t n T a T b             0 2 (0) ( )sin L n n n a T x x L L      0 2 (0) ( )sin L n n n b T x x L L      其中： 4、求解时间微分方程初值问题： 2 ( ) ,( 1,2, ) (0) , (0) n n n n n n n n T a T f t n T a T b            

级数法求解总结： u,=a'u+f(x,t)(t>0,00,00,0<x<L) u(t,0)=u(t,L)=0 1nπ 1nπ u(x,0)=p(x) X,(x)=sin 1、求出对应的齐次方程定解问题的固有值和 固有函数： n=1,2,… 8

8 级数法求解总结： 4、求解时间微分方程初值问题。 1、求出对应的齐次方程定解问题的固有值和 固有函数； 2、原定解问题一般解的级数假定； 3、建立时间微分方程初值问题； (二)、热传导方程情形 2 ( , )( 0,0 ) ( ,0) ( , ) 0 ( ,0) ( ) u a u f x t t x L t xx u t u t L u x x               1、求出对应的齐次方程定解问题的固有值和 固有函数： 2 ( 0,0 ) ( ,0) ( , ) 0 ( ,0) ( ) u a u t x L t xx u t u t L u x x              2 n n L          n ( ) sin n X x x L   n 1,2, 2 ( , )( 0,0 ) ( ,0) ( , ) 0 ( ,0) ( ) u a u f x t t x L t xx u t u t L u x x              

u,=a2u.+f(x,t0t>0,0<x<L) 2、原定解问题一般解的级数假定： (t,0)=u(t,L)=0 (x,0)=p(x) u(x,t)=∑Xn(x)T,(t) 3、建立时间微分方程初值问题： 40-2.0sn2: fx0=21.0sn2: n=] 4,=au.+f(x,t) 十0 9

9 2、原定解问题一般解的级数假定： ( , ) ( ) ( ) n n n u x t X x T t  3、建立时间微分方程初值问题： 2 ( , )( 0,0 ) ( ,0) ( , ) 0 ( ,0) ( ) u a u f x t t x L t xx u t u t L u x x               1 ( , ) ( )sin n n n u x t T t x L     1 ( , ) ( )sin n n n f x t f t x L     2 ( , ) u a u f x t t xx   2 2 1 1 1 n n n ( )sin ( )sin ( )sin n n n n n n n T t x a T t x f t x L L L L                       

4,=a2.+fx,t0t>0,0<x<L) →0r7=oa=l2 (t,0)=u(t,L)=0 (x,0)=p(x) x0-20sn受 n=1 u(x,0)=p(x) → )sin) →x,0=2p(xsm o+jz=f0a=l2z0=sm受=a T,(0)=a 10

10 2 ( , )( 0,0 ) ( ,0) ( , ) 0 ( ,0) ( ) u a u f x t t x L t xx u t u t L u x x               2 2 ( ) ( ),( 1,2, ) n n n n T t a T f t n L            1 ( , ) ( )sin n n n u x t T t x L     u x x ( ,0) ( )  0 2 (0) ( )sin L n n T x x L L     1 (0)sin = ( ) n n n T x x L      2 2 ( ) ( ),( 1,2, ) (0) n n n n n n T t a T f t L n T a                  0 2 (0) ( )sin L n n n T x x a L L     