电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第三章 分离变量法（4/4）

数理方程与特殊函激 第三章分离变量法（四） 主讲：杨春

第三章 分离变量法(四) 主讲：杨春

主要内容 一、边界条件齐次化 二、第三章总结

主要内容 一、边界条件齐次化 二、第三章总结

一、边界条件齐次化 背景：对于波动方程定解问题、热传导方程定解问题以及矩形域上稳态方程来说， 如果边界条件非齐火，不能够构建出固有值问题条件。因此，遇到这种情况，必须 首先解决边界条件的齐次化问题。如： 2 +f00 u r2 ux=o=4(t),ux=L=42(t)） vi) 如何进行齐次化处理？

背景：对于波动方程定解问题、热传导方程定解问题以及矩形域上稳态方程来说， 如果边界条件非齐次，不能够构建出固有值问题条件。因此，遇到这种情况，必须 首先解决边界条件的齐次化问题。如： 2 2 2 2 2 0 1 2 0 0 ( , ),(0 , 0) ( ), ( ) ( ), ( ) x x L t t u u a f x t x L t t x u u t u u t u u x x t                            如何进行齐次化处理？ 一、边界条件齐次化

(一)、函数代换法 例题1将下面定解问题边界条件齐次化： a2u_202u 812 =a1 ⊙42 +f(x,),(00)…(I) ux=o=4(t),ux=L=4(t)…(2) 4o=风g1=ty-(6) 解：1、作函数代换 (x,t)=V(x,t)+W(x,t)…(4) 根据边界条件，选择恰当的函数W(x,t),使得函数V(x,t)的定解问题边界条件齐次

例题1 将下面定解问题边界条件齐次化： 2 2 2 2 2 0 1 2 0 0 ( , ),(0 , 0) (1) ( ), ( ) (2) ( ), ( ) (3) x x L t t u u a f x t x L t t x u u t u u t u u x x t                            解：1、作函数代换 (一)、函数代换法 u x t V x t W x t ( , ) ( , ) ( , ) (4)   根据边界条件，选择恰当的函数W(x, t)，使得函数V(x, t)的定解问题边界条件齐次

2、代入（将（④）代入原定解问题) (x,t)=(x,t)+W(x,t)…(4) u a ax+fx00)…0 Vi+Wr=aVs+a'Wg+f(x,t),(O0) 10+Wl0=4(0,V-+WlxL=4,(0 4xo=4(t),4x=L=42(t)…(2) 4r-o=p(x,9 =o-0 o.v 3、确定W(x,t) Vlx-o+Wlo=4(t) V川x-0=0 →W=40(④ Vx=L+W=L=4(t) Vl-1=0 W1=4,0)…(⑤)

2、代入(将(4)代入原定解问题) 2 2 2 2 2 0 1 2 0 0 ( , ),(0 , 0) (1) ( ), ( ) (2) ( ), ( ) (3) x x L t t u u a f x t x L t t x u u t u u t u u x x t                            u x t V x t W x t ( , ) ( , ) ( , ) (4)   2 2 0 0 1 2 0 0 0 0 ( , ),(0 , 0) ( ), ( ) ( ), ( ) tt tt xx xx x x x L x L t t t t V W a V a W f x t x L t V W u t V W u t V W V W x x t t                                     3、确定W(x, t) 0 0 1( ) V W u t x x     V x0  0 0 1( ) (4) W u t x  2 ( ) V W u t x L x L     V x L  0 2 ( ) (5) W u t x L 

令：W(x,t)=A(t)x+B(t)…(6) W0=4,(0…(4) →40)=7,0-40lB0=40 Wx=L=4(t)…(5) mx)=2a0-4x+40 于是得：=r+

令： 于是得到： 0 1( ) (4) W u t x  2 ( ) (5) W u t x L  W x t A t x B t ( , ) ( ) ( ) (6)    ( ) ( ), ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 1 u t u t B t u t L A t     2 1 1  1 W x t u t u t x u t ( , ) ( ) ( ) ( ) L    2 1 1 u u u V u x L          

o'v 8r2 Ox? +f(x,t),(00) 原定解问题变为： Vl=0=VxL=0 …(7) r1-ae背- 其中： 0=0ra00 9=-40+020y ea-am4

原定解问题变为： 2 2 2 2 2 1 0 0 1 0 1 ( , ),(0 , 0) 0 (7) ( ), ( ) x x L t t V V a f x t x L t t x V V V V x x t                            其中： 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) (0) (0) (0) ( ) ( ) (0) u t u t f x t f x t u t x L u u x x u x L u u x x u x L                                                  

例题2采用函数代换法求如下不同类型非齐次边界齐次化函数W(x,七)。 1、4x0=4,(0),4|x=L=() 2、4,x-0=4(t),4k=L=4()） 3、ux=0=4(t),4xx=-L=42(t) 4、u+0%,4x=0=4(),u+024x-L=42(t) 解：1、作代换：(x,t)=V(x,t)+W(x,t) →Wo=40,WL=4,() 1、4xo=4(0),4x=L=4,()） W(x,t)=A(t)x+B(t) >W(x,t)=u,(t)+u2(t)x

例题2 采用函数代换法求如下不同类型非齐次边界齐次化函数W(x, t)。 1 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x L   0 1 2   2 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x L   0 1 2   3 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x x L   0 1 2   4 ( ), ( ) 、u u u t u u u t       1 0 1 2 2 x x x x L   解：1、作代换： u(x,t) V(x,t) W(x,t) 0 1 2 1 ( ), ( ) x x x L u u t u u t 、     0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x L     W x t A t x B t ( , ) ( ) ( )   1 2 W x t u t u t x ( , ) ( ) ( )  

2、4x-o=40),4x=L=4(0) u(x,t)=V(x,t)+W(x,t) 3、4k-0=4),4=L=42(0 2、.x-0=4(),uk=L=4,()） →Wxo=4(),W|x-L=() W(x,t)=A(t)x+B(t) →W(x,t)=4()x+2(t)-42(t)L u(x,t)=V(x,t)+W(x,t) Wxo=4(),Wx-L=4() 3、4x=0=4(t),4x=L=4,(t)） W(x,t)=A(t)x2+B(t)x W(x,0=40)x+9-4@x2 2L

2 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x L   0 1 2   u(x,t) V(x,t) W(x,t) 3 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x x L   0 1 2   0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x L     W x t A t x B t ( , ) ( ) ( )   2 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x L   0 1 2   1 2 2 W x t u t x u t u t L ( , ) ( ) ( ) ( )    3 ( ), ( ) 、u u t u u t x x x x L   0 1 2   u(x,t) V(x,t) W(x,t) 0 1 2 ( ), ( ) W u t W u t x x x x L     2 W x t A t x B t x ( , ) ( ) ( )   2 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) 2 u t u t W x t u t x x L   

4、u+04x=o=4(),u+c24xk=L=42() u(x,t)=V(x,t)+W(x,t) 4、u+Q4x=0=4(0),u+a,4k=L=4() →W+aW0=4),W+a,W|-L=4() W(x,t)=A(t)x+B(t)x a x2 注：以上均采用多项式函数待定

u(x,t) V(x,t) W(x,t) 1 0 1 2 2 ( ), ( ) W W u t W W u t       x x x x L   2 W x t A t x B t x ( , ) ( ) ( )   4 ( ), ( ) 、u u u t u u u t       1 0 1 2 2 x x x x L   4 ( ), ( ) 、u u u t u u u t       1 0 1 2 2 x x x x L   2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( , ) ( ) u t u t u t W x t u t x x L         注：以上均采用多项式函数待定