河北工业大学：《离散数学》课程PPT教学课件（讲稿）第四章 函数的概念

4-1函数的概念 定义:设X和Y是任何两个集合,而f是X到 Y的一个关系,如果对于每一个X∈X,有 唯一的y∈Y,使得∈f,称关系f为 函数,记作: f:XY或X-Y 假如∈f,则x称为自变元,y称为 在作用下x的象,∈协亦可记作 y=(x),且记f(X)={f(x)|x∈X}。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 4－1 函数的概念 定义：设X和Y是任何两个集合，而f是X到 Y的一个关系，如果对于每一个xX，有 唯一的yY，使得f，称关系f为 函数，记作： f：X→Y或X→Y 假如f，则x称为自变元，y称为 在f作用下x的象，f亦可记作 y=f(x)，且记f(X)={ f(x) | xX }

函数的概念 函数与关系的区别: 1)函数的定义域是X,而不是X的某个真 子集。 2)一个x∈X只能对应于唯一的一个y。即 如果f(x)=y且f(x)=z,那么y=z。从X 到Y的函数往往也叫做从X到Y的映射 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 函数的概念 函数与关系的区别： 1）函数的定义域是X，而不是X的某个真 子集。 2）一个xX只能对应于唯一的一个y。即 如果f(x)=y且f(x)=z，那么y=z。从X 到Y的函数往往也叫做从X到Y的映射

函数的概念 从定义知,函数确是一种特殊的关系, 它与一般关系比较具备如下差别: 1)A×B的任何一个子集,都是A到B的二元关系, 因此,从A到B的不同的关系有2AxB个;但从 A到B的不同的函数却仅有B||个。 2)每一个函数中序偶的第一个元素一定是互不相 同的 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 函数的概念 从定义知，函数确是一种特殊的关系， 它与一般关系比较具备如下差别： 1) A×B的任何一个子集，都是A到B的二元关系， 因此，从A到B的不同的关系有2 |A||B|个；但从 A到B的不同的函数却仅有|B||A|个。 2) 每一个函数中序偶的第一个元素一定是互不相 同的

函数的概念 设A={ab},B={1 A×B{,},此时从A 到B的不同的关系有24=16个。分别如下 R0=;R1={};R2={};R3={}; R4={};R5={,};R6={,}; R7={};R8={}; R9={};R10={,} R11={,};R12={,}; R13={,};R14={,,}; R15={,,}。 从A到B的不同的函数仅有22=4个。分别如下: f1={};f={,}; f3={,};升={,}。 常将从A到B的一切函数构成的集合记为BA:BA={ff:A→B} Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 函数的概念 设A＝{a,b}，B＝{1,2}，A×B＝{,,,}，此时从A 到B的不同的关系有24＝16个。分别如下： R0＝Φ R1＝{} R2＝{} R3＝{} R4＝{}；R5＝{,} R6＝{,} R7＝{,} R8＝{,} R9＝{,} R10＝{,} R11＝{,,} R12＝{,,} R13＝{,,} R14＝{,,}； R15＝{,,,}。 从A到B的不同的函数仅有22＝4个。分别如下： f1＝{,} f2＝{,}； f3＝{,} f4＝{,}。 常将从A到B的一切函数构成的集合记为B A： B A ＝｛f|f：A→B}

函数的概念 ∈f中,f的前域是函数y=f(×)的定 义域记为domf=X,f的值域 iran f cr, 有时也记为R,即 R={y(X)(X∈X)∧(y=f(X)},集合Y称 为f的共域,ranf亦称为函数的象集合 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 函数的概念 f中，f的前域是函数y=f(x)的定 义域记为dom f =X，f的值域ran f Y， 有时也记为Rf，即 Rf={y|(x)(xX)∧(y=f(x))}，集合Y称 为f的共域，ran f亦称为函数的象集合

函数的概念 例:设X={1,5,p,张明},Y={2,q,79G} f={,} 即f(1)=2,f(5)=q,f(p)=7,f(张明)=G 所以,domf=X,R={2,q7G} Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 函数的概念 例：设X={1,5,p,张明}，Y={2,q,7,9,G} f={,,,} 即f(1)=2，f(5)=q，f(p)=7，f(张明)=G 所以，dom f=X，Rf={2,q,7,G}

函数的概念 例:判断下列关系中哪个能构成函数 1)f={|X1X2∈N,且x1+×2y1y2∈R,且y2=y1 3)f={x1,X2∈N,X2为小于x1的素数个 数} Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 函数的概念 例：判断下列关系中哪个能构成函数 1）f={|x1 ,x2 N，且x1＋x2|y1 ,y2 R，且y2 2=y1} 3）f={|x1 ,x2 N，x2为小于x1的素数个 数}

函数的概念 判断如下图所示的关系是否是函数 d 5 6 6 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 函数的概念 判断如下图所示的关系是否是函数：

函数的概念 定义:设函数f:A→>B,g:C→>D,如果 A=C,B=D,且对于所有的X∈A和X∈C有 f(x)=g(x),则称函数f和g相等,记作f=g。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 函数的概念 定义：设函数f：A→B，g：C→D，如果 A=C，B=D，且对于所有的xA和xC有 f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记作f=g

函数的概念 函数的几种特殊情况 1)满射 2)入射 3)双射 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 函数的概念 函数的几种特殊情况 1）满射 2）入射 3）双射