西南财经大学：《经济数学基础（微积分）》课程教学资源（PPT课件）第三章 函数的导数与微分 第4节 高阶导数

§34高阶导数 函数y=f(x)的导数f(x)仍x是的函数.若f(x)在 点x处仍可导,则称∫(x在x处的导数为函数y=f(x 在x处的二阶导数记为 y,∫"(x), dyd,巾、df dr dx d 同理二阶导数的导数称为三阶导数.记为 f"(x) dyd°f 三阶导数的导数称为四阶导数记为 d- dh

1 函数 y =ƒ(x) 的导数 f′(x) 仍 x 是的函数. 若f′(x) 在 点 x 处仍可导,则称 f′(x) 在 x 处的导数为函数 y =ƒ(x) 在 x 处的二阶导数 .记为 2 2 2 2 , ( ), ( ), . d y d dy d f y f x dx dx dx dx   = 三阶导数的导数称为四阶导数.记为 3 3 3 3 , ( ), , . d y d f y f x dx dx   4 4 (4) (4) 4 4 , ( ), , . d y d f y f x dx dx §3.4 高阶导数 同理二阶导数的导数称为三阶导数. 记为

定义5.一般地,定义函数y=f(x的n阶导数为其n-1 阶导数的导数,即 p=y(n"并记为y”,以<",d 注1:二阶和二阶以上的导数为高阶导数为了方便,记 f(x)=fo(x) 注2:求高阶导数就是逐阶求导数

2 ( ) ( 1) ( ) ( ) [ ] . , ( ), , . n n n n n n n n d y d f y y y f x dx dx − =  并记为 定义5. 一般地,定义函数y =ƒ(x)的n阶导数为其n–1 阶导数的导数,即 注2：求高阶导数就是逐阶求导数. (0) f x f x ( ) ( ) = 注1: 二阶和二阶以上的导数为高阶导数.为了方便,记

例12求下列函数的n阶导数 (1)y=x“(a∈R) (2=a(0<a≠1); 解(1)(x“)y=axa,x2)"=a(a-1)xa2 a(a-1)…(a-n+1)x 特别地(x")")=n!,(x")+=0 →多项式函数具有任意阶的连续导数 (a)=a Ina, (a) an a (a))=a In"a 特别地(e2))=e

3 例12.求下列函数的n阶导数 (1) ( ); (2) (0 1); x y x R y a a  =  =    1 2 (1) ( ) , ( ) ( 1) , , x x x x        − − 解   = = − 2 ( ) ln ,( ) ln , , x x x x a a a a a a   = = ( ) ( ) ( 1) ( 1) n n x n x      − = − − + ( ) ( 1) ( ) ! , ( ) 0 n n n n x n x + 特别地 = = 多项式函数具有任意阶的连续导数. ( ) ( ) ln . x n x n a a a = ( ) ( ) x n x 特别地 e e =

(3)y=In(1+x) 解设y=ln(1+x),则y、1 1+x 2! 3! (1+x)2(1+x) (1+x) 1(n-1) (1+x) 特别地(nx)"=(-1) n=1(n-1)! (4)y=sin x (5)y=cosx

4 ( ) 1 ( 1)! ( ) ( 1) . (1 ) n n n n y x − − = − + 1 ln(1 ), ' , 1 y x y x = + = + 解 设 则 (4) 2 3 4 1 2! 3! ' , " , , , (1 ) (1 ) (1 ) y y y x x x = − = = − + + + ( ) 1 ( 1)! (ln ) ( 1) n n n n x x − − 特别地 = − (4) sin (5) cos y x y x = = (3) ln(1 ) y x = +

14)(sin x )'=cos x= sin(x+ (sin x)=sin(x+ D—2π-2 DI= cos(x +=sin(x+2 2 (sin x)=sin(x+3.2 2 inx)}=sin(x+n·).同理可证(cosx))=cos(x+n 例13已知(x)存在,且(x)≠0,y=(x,求 d 解中f(x) d y f"(x)f(x)-f(x) dx f(x) d x2 f2(x)

5 (4) (sin ) cos sin( ) 2 x x x   = = + 例13 .已知 2 2 ( ) ( ) 0, ln[ ( )], . d y f x f x y f x dx  存 在，且  = 求 (sin ) sin( 3 ), 2 x x   = +  (sin ) [sin( )] cos( ) sin( 2 ) 2 2 2 x x x x      = + = + = +  ( ) (cos ) cos( ). 2 n x x n  同 理 可 证 = +  ( ) (sin ) sin( ). 2 n x x n  = +  ( ) ( ) dy f x dx f x 解 =  2 2 2 2 ( ) ( ) [ ( )] . ( ) d y f x f x f x dx f x   − =