西南财经大学：《经济数学基础（微积分）》课程教学资源（PPT课件）第五章 不定积分 第2节 基本积分表

§5.2基本积分表 导数公式表 积分公式表 (kx)=k 「kdx=kx+C Odx=C (x)y=(a+1 ∫x 1+a nx dx=InIx+C x (a)=a Ina dx +c e dx=e+c

1 §5.2 基本积分表 (kx )  k 1 (x ) ( 1)x        导数公式表 积分公式表 kdx  kx  C  C  0 0dx  C  1 1 ( 1 1 x dx x C            1 (ln x ) x   1 dx ln x C x    ( ) ln x x a   a a 1 ln x x a dx a C a    ( ) x x e   e x x e dx  e  C 

导数公式表 积分公式表 COS X cos xdx= sinx+c (cos x)=sin x sin xdx coSx +C (tan x)'=sec x sec xdx= tanx +C (cot x)=-cSC'x csc ax cotx +c sec x secx tan x secx tan xdx = secx +C (esc x)=-csc x cot x csc x cot xdx=-cscx+C arcsin x arcsinx+c (arctan x) arctanx +C 1+x 以上基本积分公式是求不定积分的基础,必须记牢!

2 导数公式表 积分公式表 (sin x)  cos x (cos x)   sin x cos xdx  sin x  C  2 (cot x)   csc x (sec x)  sec x tan x 2 (tan x)  sec x sin xdx   cos x  C  2 sec xdx  tan x  C  2 csc xdx   cot x  C  sec x tan xdx  sec x  C  (csc x)   csc x cot x csc x cot xdx   csc x  C  2 1 (arcsin ) 1 x x    2 arcsin 1 dx x C x     2 1 (arctan ) 1 x x    2 arctan 1 dx x C x     以上基本积分公式是求不定积分的基础, 必须记牢！

例4求下列不定积分 解 dx xdx x-+ x√x 解∫x√x=xd +c 解 x dx == 3+c (4)|2e'ax解「2eax=」(2e)h=(2e)y In 2e

3 例4 求下列不定积分 3 (3) dx x x  2 (2 ) . x x x e dx  e dx 解   3 (1) dx x  -3 3 dx x dx x  解   2 (2) x xdx  5 2 2 x xdx  x dx 解   1 -2 2   x  C 7 7 2 2 1 2 5 7 1 2  x C  x C  (4) 2 x x e dx  4 3 3 dx x dx x x   解   1 3 3x C     (2 ) ln 2 x e C e  

直接积分法 利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接 积分法用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分 例5求下列不定积分 解∫ 4x+4 dx dx-4--dx+4dx In

4 直接积分法 利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接 积分法.用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分. 例5 求下列不定积分 2 3 ( 2) (1) x dx x  2 2 3 3 (x 2) x 4x 4 dx dx x x     解   2 3 1 1 1 dx 4 dx 4 dx x x x       2 4 2 ln x C x x    

+2 +1 +2 +2x2+1-1 解 x2+1 +1 ∫(x2+1)k-「 x'+x-arctanx+C () cos dx 解∫∞32=+xk=1(+im+C

5 4 2 2 2 (2) 1 x x dx x    4 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x dx dx x x        解   2 2 2 ( 1) 1 1 x dx x      2 2 1 ( 1) 1 x dx dx x       1 3 arctan 3  x  x  x  C 2 (3) cos 2 xdx  2 1 cos cos 2 2 x x dx dx   解   1 ( sin ) 2  x  x  C

cOS 2X sinx+ cosx 解 cOS 2X cos x-sin x sinx+cos x sinx+ cosx Jccosx-sinx)dx=sinx+ cosx+C 例6一种流感病毒每天以(240-32)人/秒的速率增加,其 中t是首次爆发后的天数,如果第一天有50个病人,试问在 第10天有多少个人被感染? 解设在第t天有Q()个人被感染,则 Q()=「(240-32)=240mh-3[th=1202-2+C

6  (cos x  sin x)dx   sin x  cos x  C. 例6 一种流感病毒每天以 的速率增加, 其 中t是首次爆发后的天数, 如果第一天有50个病人, 试问在 第10天有多少个人被感染？ 2 (240  3t )人 /秒 解 设在第t天有Q(t)个人被感染, 则 2 Q(t)  (240  3t )dt  2  240 tdt  3 t dt   2 3  120t  t  C. cos 2 (4) . sin cos x dx x  x  2 2 cos 2 cos sin . sin cos sin cos x x x dx dx x x x x     解  

由题意知当t=1时,Q()=50 代入上式可解出C=-69,则 Q()=1202-t3-69()0=10931 即在第10天有10931个人被感染 2x+1x1时,有∫(x0(2+2k=3+2x+C 由原函数的定义知原函数在x=1处可导且连续

7 由题意知当 t = 1时, Q(t) = 50. 代入上式可解出 C = –69 , 则 2 3 Q(t)  120t  t  69 10 ( ) 10931 Q t t   即在第10天有10931个人被感染. 例7 已知 2 2 1 1 ( ) , ( ) . 2 1 x x f x f x dx x x         求  解 当 x 1时, 有 3 2 2 ( ) ( 2) 2 . 3 x f x dx  x  dx   x  C   由原函数的定义知原函数在 x = 1处可导且连续

从而有 lim(-+2x+C,)=lim(x+x+Cu x+x+C ∫f >1

8 3 2 x 1 lim ( 2 ) 3 x x C      2 1 x 1 lim ( x x C )     1 2 1 3 C  C  2 3 1 ( ) 1 2 1 3 3 x x C x f x dx x x C x               从而有