人民邮电出版社：高等学校计算机专业教材《离散数学》课程教学资源（PPT课件）第二章 二元关系

第二章二元关系M 蠢￥关Q通的 笨态 把 的性庋 较合联索家热统 6a算 大茶的舊重包;理解映 础′ 草为第 返回首页 2021/1/21

2021/1/21 1 第二章 二元关系 本章讨论的关系是我们通常的诸 如大小关系、整除关系、上下级 等关系的共同的数学模型，掌握 关系运算极其关系运算的性质、 实际意义.深入理解关系、关系图、 关系矩阵之间的联系，熟练地掌 握两类特殊的关系—等价关系与 偏序关系；熟练地用Warshall算 法求关系的传递闭包；理解映射 的意义，本章为第三、六、七章 的基础. 返回首页

第一节 序偶与笛卡尔积 ●本节是通过n元有序组的概念来定义序 偶与笛卡尔积的概念,主要讨论两个集 合的笛卡尔积,它是讨论二元关系的基 础得出笛卡尔积的一些最基本的结论. 返回本章首页 2021/1/21

2021/1/21 2 第一节 序偶与笛卡尔积 ⚫ 本节是通过n元有序组的概念来定义序 偶与笛卡尔积的概念，主要讨论两个集 合的笛卡尔积，它是讨论二元关系的基 础.得出笛卡尔积的一些最基本的结论. 返回本章首页

第二节关系的概念 本节在頜卡尔积的基础上给出二元关系定义并 堆广成元关系不过我们以讨论二元关系为主 主要内容为 1一些特殊的关系如空关系、恒等关系、全关 系 2关系的运算如关系的并、交、补、差、对称 差极其运算规律; 3有限集合上的二元关系的两种表示方法即关 系矩阵与关系图), 4为了用关系矩阵来研究关系我们定义了布尔 矩阵的穗念及布尔矩阵的三种运算即布尔非 布尔与、布尔或) 3 返回本章首页 2021/1/21

2021/1/21 3 第二节 关系的概念 本节在笛卡尔积的基础上给出二元关系定义,并 推广成n元关系,不过我们以讨论二元关系为主. 主要内容为: 1.一些特殊的关系,如空关系、恒等关系、全关 系; 2.关系的运算,如关系的并、交、补、差、对称 差极其运算规律; 3.有限集合上的二元关系的两种表示方法(即关 系矩阵与关系图), 4.为了用关系矩阵来研究关系,我们定义了布尔 矩阵的概念及布尔矩阵的三种运算(即布尔非、 布尔与、布尔或). 返回本章首页

第三节复合关系与逆关系 ●本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质芏要考虑了下列问题 1关系的复合是否满足交换律、结合亻 关系的复合对于集合的并(交)是杏有 配律; 2关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应 3关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律. 返回本章首页 2021/1/21

2021/1/21 4 第三节 复合关系与逆关系 ⚫ 本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题: ⚫ 1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律; ⚫ 2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应; ⚫ 3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律. 返回本章首页

第四节 关系的性质 ●本节我们讨论关系的一些常见性质,主要内 容是: 1给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性的定义; 2给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性等在关系矩阵及关系图上的反应,其 中用关系矩阵及关系图来判断传递性较为困 难; 3讨论了关系的各种运算对上述特性的影响 5 返回本章首页 2021/1/21

2021/1/21 5 第四节 关系的性质 ⚫ 本节我们讨论关系的一些常见性质，主要内 容是: 1.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性的定义; 2.给出了关系的自反性、对称性、反对称性、 传递性等在关系矩阵及关系图上的反应，其 中用关系矩阵及关系图来判断传递性较为困 难; 3.讨论了关系的各种运算对上述特性的影响. 返回本章首页

第五节关系的闭包(1) 我们希望某个关系县有比较好的性质、,比如我 希缠它具有自反性对称性传递性徂如 果该关系又不具有上述性质那么我们就要对 歪进 素得到个新的关系使这个新关系 自有我们需要的性庋,同时新关系与原来的 系不要楫 这样就要求我们添加的元 素既要便新天态满定要求又要尽可的地少添址 元素通过适 机元素来扩充原关态使得到 的具有我们需要的性质的新关系称为原天系的 团包,我们通常考虑天系的三种闭包,即百反 闭包,对称闭包,传递闭包 6 返回本章首页 2021/1/21

2021/1/21 6 第五节 关系的闭包(1) 我们希望某个关系具有比较好的性质，比如我 们希望它具有自反性，对称性，传递性.但如 果该关系又不具有上述性质，那么我们就要对 该关系进行适当的改造，即在该关系中适当添 加一些元素得到一个新的关系，使这个新关系 具有我们需要的性质，同时新关系与原来的关 系不要相差得太多，这样就要求我们添加的元 素既要使新关系满足要求又要尽可能地少添加 元素.通过适当添加元素来扩充原关系,使得到 的具有我们需要的性质的新关系称为原关系的 闭包，我们通常考虑关系的三种闭包，即自反 闭包，对称闭包，传递闭包. 返回本章首页

第五节关系的闭包(2) 本节的内容较丰富,主要有 1给出了关系的自反闭包、对称闭包、传递 闭包的定义; 从理论上证明了自反闭包、对称闭包、传 增团的在在性,中传递闭包较为复杂 3给出了上述三种闭包的具体计算公式 4 Warsha算法是求有限集合上的二元关系 的传递闭包的有效算法; 5考虑了关系的闭包与关系的其它运算的联 系 返回本章首页 2021/1/21

2021/1/21 7 第五节 关系的闭包(2) ⚫ 本节的内容较丰富,主要有: 1.给出了关系的自反闭包、对称闭包、传递 闭包的定义; 2.从理论上证明了自反闭包、对称闭包、传 递闭包的存在性，其中传递闭包较为复杂， 是本节重点; 3.给出了上述三种闭包的具体计算公式; 4.Warshall算法是求有限集合上的二元关系 的传递闭包的有效算法; 5.考虑了关系的闭包与关系的其它运算的联 系. 返回本章首页

第六节等价关系 ●等价关系是一类最为重要的关系,因为 等价关系与集合的分类密切相关内容有 1以同余关系为例给出等价关系的定义 2给出了商集的概念 3主要结论是等价关系与集合的分类相互 惟一确定; 返回本章首页 8 2021/1/21

2021/1/21 8 第六节 等价关系 ⚫ 等价关系是一类最为重要的关系，因为 等价关系与集合的分类密切相关,内容有 1.以同余关系为例给出等价关系的定义; 2.给出了商集的概念 3.主要结论是:等价关系与集合的分类相互 惟一确定; 返回本章首页

第七节偏序关系 数的大尘集盒中元泰的排烈次序,计机程 蔚的热行顺旁等都牵到次多关系这些在数 学上都表现为序关系的研究本节主要丙容有: 1县有自反性、反对称性、传递性的关系称为偏 序关系 2偏序关系的简化关系图_哈斯图哈斯图与原 图的关系是种压缩与解压编的关系 3由两个偏序关系构造新的偏序关系方法(如书 中定理2.7.1); 4偏序集中的些特殊元素如最大、最小元极 大、极小元,上界、下界等; 5.—些特殊的偏序关系如全序关系良序关系等。 返回本章首页 2021/1/21

2021/1/21 9 第七节 偏序关系 ⚫ 数的大小，集合中元素的排列次序，计算机程 序的执行顺序等都牵涉到次序关系，这些在数 学上都表现为序关系的研究,本节主要内容有: 1.具有自反性、反对称性、传递性的关系称为偏 序关系; 2.偏序关系的简化关系图—哈斯图,哈斯图与原 图的关系是一种压缩与解压缩的关系; 3.由两个偏序关系构造新的偏序关系方法(如书 中定理2.7.1); 4.偏序集中的一些特殊元素,如最大、最小元,极 大、极小元,上界、下界等; 5.一些特殊的偏序关系,如全序关系,良序关系等. 返回本章首页

第八节 映射 ●映射是高等数学中所研究的单值函数的 推广,因此映射也称为函数,这里我 把映射视为一种特殊的二元关系内容有 1映射的定义、象与原象、定义域与值 域、映射的相等、映射的限制与扩充; 2.—些特殊的映射如满射、单射、双射. 返回本章首页 2021/1/21

2021/1/21 10 第八节 映射 ⚫ 映射是高等数学中所研究的单值函数的 推广，因此映射也称为函数，这里我们 把映射视为一种特殊的二元关系,内容有: 1.映射的定义、象与原象、定义域与值 域、映射的相等、映射的限制与扩充; 2.一些特殊的映射,如满射、单射、双射. 返回本章首页