安徽理工大学：《试验设计与分析》课程教学课件（讲义）06 试验结果的分析-方差分析

试验设计与分析 试验结果分析 第四章试验结果的分析 方差分析

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试验设计与分析 试验结果分析 4.2试验结果的方差分析 1.方差分析的基本原理 Ronald Fisher 由英国统计学家R.A.Fisher首创， 为纪念Fisher以F命名，故方差 分析又称F检验(F test)。 用于推断多个总体均值有无差异。 方差分析法是将因素水平（或 交互作用)的变化所引起的试验结 果间的差异与误差波动所引起的试 验结果间的差异区分开来的一种数 学方法

试验设计与分析 试验结果分析 1. 方差分析的基本原理 由英国统计学家R.A.Fisher首创， 为纪念Fisher以F命名，故方差 分析又称 F 检验 （F test）。 用于推断多个总体均值有无差异。 方差分析法是将因素水平（或 交互作用）的变化所引起的试验结 果间的差异与误差波动所引起的试 验结果间的差异区分开来的一种数 学方法

试验设计与分析 试验结果分析 1、单因素方差分析原理 单因素方差分析是固定其它因素只考虑某一因素A对试验指 标的影响。为此将因素A以外的条件保持不变，取因素A的 个水平A1,A2,..,A,对水平Aj(i=1,2,.,r)重 复做n,次试验，得到试验指标的观察值列于下表。 单因素方差分析试验指标观察值。 水平 2 … Ale X11e X12e … Xin A2 X21 X22 …e X2n2 e e e … e Ar XHe 2 … Xm e e e … e Ar Xrle Xr2 …p Ym

试验设计与分析 试验结果分析 1、单因素方差分析原理 单因素方差分析是固定其它因素只考虑某一因素A对试验指 标的影响。为此将因素A以外的条件保持不变，取因素A的r 个水平A1，A2，…，Ar，对水平Ai（i=1，2，…，r）重 复做ni次试验，得到试验指标的观察值列于下表

试验设计与分析 试验结果分析 我们假定在各个水平A:(1,2,…,x)下的样本为x,xa,…,X,它们来自具 有相同方差σ2，均值分别为4：的正态总体X:~N(4,02),其中4，σ2均为未知，并且 不同水平A:下的样本之间相互独立。 我们取下面的线性统计模型 x8=4:+8i eg~N(0,o23) 其中8为随机误差；=1,2，…，x;1,2,…,: 设 1 ∑n4 为总平均值，其中n=∑：

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试验设计与分析 试验结果分析 令 6:=4:-u 为第1个水平A的效应， ∑nd:=0,则有 x8=u+可：+88 e~N0,o2) 其中=1,2，…，x;≠1,2，…，no 方差分析的任务就是检验线性统计模型中x个总体N(以，σ2)中的各4：的相等性，即有 原假设品：1=42=…=4，， 对立假设A:4:4与至少有一对这样的，， 也就是下面的等价假设： A:61=63=…=6,=0 :6:≠0 至少有一个

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试验设计与分析 试验结果分析 检验这种假设的适当程序就是方差分析。 具体过程如下： 1、总离差平方和的分解 记水平A:下的样本均值（试验结果平均值）为 =1 n:分 样本数据的总平均值为 n分 总离差平方和为 S=∑∑(xy- 将s,改写并分解得 Sr=∑∑[x:-)+(xg-x] =2(-2+2x-x)2+22G-x-x) 1 11 上面展开式中的第三项为0。 因为

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试验设计与分析 试验结果分析 22--动=2空-24-动 2 =2空G-2-)=0 若记 9-22- 则有 S,=S4+S。 这里S表示全部试验数据与总平均值之间的差异，又叫总变差平方和。S4表示在A水平下 的试验数据平均值与总平均值之间的差异，叫因素A效应平方和，又叫组间差，它主要是 由试验条件改变引起的。S。表示在A水平下试验数据与该水平下试验数据平均值间的差异， 它是由随机误差引起的，叫误差平方和，又叫组内差

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试验设计与分析 试验结果分析 2、统计分析 由于 xg~N(4,o2) 将5改写为下面的形式 -含4-可-9 这里S是样本方差，即 -1台分 考虑到 S.(n-D) --x2(n-1), 从这里知道5的自由度为(r1)。 将S改写为下面的形式 8,=224-02-24:-09 这里S:是在A:水平下的样本方差，即 -1 (x-x)2 n:-1分 因为 (rn1)Sx(n-D 再由分布的可加性知

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试验设计与分析 试验结果分析 是-2s-xa-训 o 即 由此可知，S的自由度为(-），并且有 =n-r) 即有 E(Sg)=(n-r)o2 5-会2-习-2%-0， 展开后可化成 -2 由相关式和之间的独立性可知 x~N(4. ni

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试验设计与分析 试验结果分析 D(X)=E(x2)-E2(X) -M4g, 所以)=4，)=g,=4,同- 再由E)=rG)+E(),)=r丙+E日，得 E(SA)=EInE()-nE() =o2+2n(+)2-g2-m =0-g+22+2空m6+2m好-m2。 由于空%=”，三mA=0,所以得出 E(S4)=(-10o2+Zn,6 在：6：=0成立的条件下， E(S4)=(r-1)a2

试验设计与分析 试验结果分析 D(x)=E(x2)-E2(x)