上海交通大学：《工程力学实验》课程教学资源（实验讲义）4.5.3 惯性主轴

4.5.3 惯性主轴 一，实验现象 图示转子系统，转子质量相对转轴分别为对称分布（图4.5.3-1），偏心分布（图4.5.3-2） 和偏角分布（图4.5.3-3）。当转子以匀角速度0绕：轴转动时，图4.5.3-1系统转轴保持直线 状，转子平稳运转，图4.5.3-2系统与图4.53-3系统转轴发生挠曲变形，弹性转轴绕原几何 轴线作弓状回转。转子系统发生振动。 二.原理分析 图4.5.3-1系统，转子对称质量m1=m2=m绕z轴 A张一NA 转动，0=cons1，惯性力F=F=mo2r。因惯性 m r m 4- 力自成平衡力系，转轴保持铅真状态，轴承A、B处 无附加动反力。可见，当转轴为对称轴且过转子质心时， B→Ng 不引起轴承处附加动反力。这样的轴称为中心惯性主 轴。z轴是该双质点转子的惯性主轴，且为中心惯性主 图4.5.3-1 轴。 图4.5.3-2系统，转子偏心质量m绕z轴转 动，0=cons1,不平衡惯性力F=mo2r使转轴发生 -→* 弯曲变形，轴承A、B处出现附加动反力。z轴垂直 于转子对称面，所以z轴是该单质点转子在0点的惯性 NB←B 主轴，但不是中心惯性主轴。 图4.5.3-2 图4.5.3-3系统，转子偏角质量 m m=m2=m绕 z轴转动，0=const,惯性力 1 E=F,=mo1sin9组成惯性力 偶使转轴发生挠曲 B→NB 变形，轴承A、B存在附加动反 力。二轴过转子质 图4.5.3-3 心，但不垂直于转子对称面，所以2 轴不是该双质点转 子的惯性主轴，更不是中心惯性主轴。 60

60 4.5.3 惯性主轴 一．实验现象 图示转子系统，转子质量相对转轴分别为对称分布（图 4.5.3-1），偏心分布（图 4.5.3-2） 和偏角分布（图 4.5.3-3）。当转子以匀角速度 绕 z 轴转动时，图 4.5.3-1 系统转轴保持直线 状，转子平稳运转，图 4.5.3-2 系统与图 4.5.3-3 系统转轴发生挠曲变形，弹性转轴绕原几何 轴线作弓状回转。转子系统发生振动。 二．原理分析 图 4.5.3-1 系统，转子对称质量m1  m2  m 绕 z 轴 转动,   const ，惯性力 * * 2 F F m r 1 2    。因惯性 力自成平衡力系，转轴保持铅直状态，轴承 A 、 B 处 无附加动反力。可见，当转轴为对称轴且过转子质心时， 不引起轴承处附加动反力。这样的轴称为中心惯性主 轴。 z 轴是该双质点转子的惯性主轴，且为中心惯性主 轴。 图 4.5.3-2 系 统 ， 转 子 偏 心 质 量 m 绕 z 轴 转 动,  const , 不平衡惯性力 F m r * 2   使转轴发生 弯曲变形，轴承 A 、 B 处出现附加动反力。 z 轴垂直 于转子对称面，所以 z 轴是该单质点转子在o 点的惯性 主轴，但不是中心惯性主轴。 图 4.5.3-3 系统，转子偏角质量 m1  m2  m 绕 z 轴 转 动 ，   const , 惯 性 力 * * 2 1 2 F F m l     sin 组成惯性力 偶使转轴发生挠曲 变形，轴承 A 、 B 存在附加动反 力。 z 轴过转子质 心，但不垂直于转子对称面，所以 z 轴不是该双质点转 子的惯性主轴，更不是中心惯性主轴。 z * F2  NB  NA  m1 m2 B A  r r 图 4.5.3-1 * F1  * F o  NA  z r A B  m NB  图 4.5.3-2 * F2  m2 m1 图 4.5.3-3 NA  z l l   A B * F2  NB 

三，应用实例 当转子质量偏心分布或和偏角分布时，惯性力不能自成平衡力系，从而使轴承出现附加 动反力。轴承附加动反力随转轴转动而呈周期性变化，引起转子系统振动，这将使轴承和转 子部件受损。为避免出现轴承附加动反力，控制振动，工程上通常要对旋转机械的高速转子 在使用前进行静平衡和动平衡试验，使其转轴成为中心惯性主轴。 四.思考题 1.如何判断转轴是惯性主轴或中心惯性主轴？ 2.轴承处不出现附加动反力的条件是什么？ 五.附录：惯性主轴理论简介 1.惯性积 如图4.5.3-4所示，一个刚体对给定的直角坐标系Oz具 有三个惯性积，可分别表示为 J==∑ Jx=∑max Jy=∑my 可以看到，惯性积与转动惯量一样，也是表示刚体的质量对直 角坐标系Oxz分布的几何性质的物理量。 2.惯性主轴和中心惯性主轴 图4.5.3-4 若刚体对于通过某点的坐标轴的惯性积为零，则此坐标轴 称为刚体在该点的惯性主轴。例如在直角坐标系Oz中，J=Jx=0,则z轴就是刚体 在O点的惯性主轴。通过刚体上任一点，都有三个互相垂直的惯性主轴。 通过质心的惯性主轴，称为中心惯性主轴。利用刚体的某些对称性可以方便地确定刚体 在某点的惯性主轴。(1)若刚体有质量对称面，则垂直于该平面的任何轴都是惯性主轴。因 为刚体内有一坐标为(x,y,z)的质点，必有质量相同坐标为 (x,y,-)的质点与它对应，则J-∑m2=0, Jy=0 J=0 Jx=∑mx=0,所以垂直于该平面的任何轴都是惯性主轴。 M (2)若刚体有质量对称轴，则该轴必为中心惯性主轴。设Oz 轴为对称轴，因为刚体内有一质点，坐标为(x,y,z),必有相同 质量另一质点，坐标为(-x,-,)与其对应，则 J:=∑z=0,Jx=∑mx=0,所以Oz轴是惯性主轴， 图4.5.3-5 61

61 三．应用实例 当转子质量偏心分布或和偏角分布时，惯性力不能自成平衡力系，从而使轴承出现附加 动反力。轴承附加动反力随转轴转动而呈周期性变化，引起转子系统振动，这将使轴承和转 子部件受损。为避免出现轴承附加动反力，控制振动，工程上通常要对旋转机械的高速转子 在使用前进行静平衡和动平衡试验,使其转轴成为中心惯性主轴。 四．思考题 1． 如何判断转轴是惯性主轴或中心惯性主轴？ 2． 轴承处不出现附加动反力的条件是什么？ 五．附录：惯性主轴理论简介 1. 惯性积 如图 4.5.3-4 所示，一个刚体对给定的直角坐标系 Oxyz 具 有三个惯性积，可分别表示为 J  myz yz J  mzx zx J  mxy xy 可以看到，惯性积与转动惯量一样，也是表示刚体的质量对直 角坐标系 Oxyz 分布的几何性质的物理量。 2. 惯性主轴和中心惯性主轴 若刚体对于通过某点的坐标轴的惯性积为零，则此坐标轴 称为刚体在该点的惯性主轴。例如在直角坐标系 Oxyz 中，J yz  J zx  0 ，则 z 轴就是刚体 在 O 点的惯性主轴。通过刚体上任一点，都有三个互相垂直的惯性主轴。 通过质心的惯性主轴，称为中心惯性主轴。利用刚体的某些对称性可以方便地确定刚体 在某点的惯性主轴。（1）若刚体有质量对称面，则垂直于该平面的任何轴都是惯性主轴。因 为刚体内有一坐标为 (x, y,z) 的质点，必有质量相同坐标为 (x, y,z) 的 质 点 与 它 对 应 ， 则 J yz  myz  0 ， J zx  mzx  0 ，所以垂直于该平面的任何轴都是惯性主轴。 （2）若刚体有质量对称轴，则该轴必为中心惯性主轴。设 Oz 轴为对称轴，因为刚体内有一质点，坐标为(x, y,z)，必有相同 质 量 另 一 质 点 ， 坐 标 为 (x,y,z) 与 其 对 应 ， 则 J yz  myz  0，J zx  mzx  0 ，所以 Oz 轴是惯性主轴， z y x mi i x i y i z 图 4.5.3-4 O o(c)  x  y z * M z  J yz  0  0 zx J 图 4.5.3-5

又因刚体质量关于该轴对称分布，该轴一定过质心，所以该轴又为中心惯性主轴。 3.轴承附加动反力为零的条件 转子轴承附加动反力是惯性力引起的，避免出现转子轴承附加动反力在工程上具有重 要意义，要使轴承附加动反力等于零必须使惯性力系主矢等于零，惯性力系对与转轴：垂直 的x轴和y轴的矩等于零，即 F*=-Ma。=0 M=J-J-02=0 My=Jxa+J@2=0 要使惯性力系主矢等于零，必须有a。=0,这相当于转轴过质心（见图4.5.3-5），要使惯性 力系对x轴、y轴的矩等于零，必须有对转轴2的惯性积J=Jx=0,这相当于转轴是 刚体的惯性主轴（见图4.5.3-2)。因此刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动反力的条件 是：刚体的转轴是中心惯性主轴。 4.静平衡和动平衡 转子质心在转轴轴线上的情况称为静平衡，实现了静平衡的转子其惯性力系的主矢为 零。 当刚体绕任一中心惯性主轴作匀速转动时其惯性力自成平衡力系，这种现象称为动平 衡。实现了动平衡的转子，其惯性力系的主矢和主矩均为零。轴承无附加动反力，因此静平 衡是动平衡的必要条件，但能够静平衡的转子，不一定能实现动平衡。可以看到转动刚体动 平衡的要求与刚体转轴为中心惯性主轴的条件是一致的。因此，转动刚体实现动平衡的过程 也就是刚体转轴成为中心惯性主轴的过程。 62

62 又因刚体质量关于该轴对称分布，该轴一定过质心，所以该轴又为中心惯性主轴。 3. 轴承附加动反力为零的条件 转子轴承附加动反力是惯性力引起的，避免出现转子轴承附加动反力在工程上具有重 要意义，要使轴承附加动反力等于零必须使惯性力系主矢等于零，惯性力系对与转轴 z 垂直 的 x 轴和 y 轴的矩等于零，即 0 * F  M ac    0 * 2 M x  J zx  J yz  0 * 2 M y  J yz  J zx  要使惯性力系主矢等于零，必须有  0 c a ，这相当于转轴过质心(见图 4.5.3-5），要使惯性 力系对 x 轴、y 轴的矩等于零，必须有对转轴 z 的惯性积 J yz  J zx  0 ，这相当于转轴是 刚体的惯性主轴（见图 4.5.3-2）。因此刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动反力的条件 是：刚体的转轴是中心惯性主轴。 4. 静平衡和动平衡 转子质心在转轴轴线上的情况称为静平衡，实现了静平衡的转子其惯性力系的主矢为 零。 当刚体绕任一中心惯性主轴作匀速转动时其惯性力自成平衡力系，这种现象称为动平 衡。实现了动平衡的转子，其惯性力系的主矢和主矩均为零。轴承无附加动反力，因此静平 衡是动平衡的必要条件，但能够静平衡的转子，不一定能实现动平衡。可以看到转动刚体动 平衡的要求与刚体转轴为中心惯性主轴的条件是一致的。因此，转动刚体实现动平衡的过程 也就是刚体转轴成为中心惯性主轴的过程