上海交通大学：《工程力学实验》课程教学资源（实验讲义）4.5.6 弦振动的振型

4.5.6 弦振动的振型 实验现象 图4.5.6-1所示，对两端固定且张紧的钢丝弦利用单 点稳态正弦激励装置，对其进行稳态正弦扫频激励，当激 功率放大器 激振器 励频率等于钢丝弦连续几阶固有频率时，钢丝弦发生相应 的连续各阶共振，其振动呈现出各阶主振型。系统的前三 信号发生器 阶的主振型如图4.5.6-2所示。 图4.5.6-1 πa 第一阶主振型=二三言0 9(x)= 1 第二阶主振型≥≤二二三≥02= 2πa 4(x)=2mx 1 第三阶主振型长>三≥<>03= 3πa ,(x)= 3πx 1 1 图4.5.6-2 二，原理分析 图4.5.6-3所示，两端固定且张紧的弦，在 9。sin@t 一点处受简谐激扰力作用的受迫振动问题在数 1 学上可表示为下列波动方程的定解问题 图4.5.6-3 (D+q) 812 0=八a=0 (4.5.6-1) oy =0 T 这里， 为弹性横波沿弦向的传播速度，T为弦的张力，P为弦的线密度， qx,)=go sin1δ(x-d)为集中激扰力。 弦振动系统的固有频率和主振型可从式(4.5.6-1)q(x,)=0所对应的齐次方程解出， 固有频率：0，=4(1=1,2.3) (4.5.6-2a) 1 主振型：中，(x)=sin i弧(i=1,2,3…) (4.5.6-2b) 系统的受迫振动响应可表示为各阶主振型的线性组合，即 66

66 4.5.6 弦振动的振型 一．实验现象 图 4.5.6-1 所示，对两端固定且张紧的钢丝弦利用单 点稳态正弦激励装置，对其进行稳态正弦扫频激励，当激 励频率等于钢丝弦连续几阶固有频率时，钢丝弦发生相应 的连续各阶共振，其振动呈现出各阶主振型。系统的前三 阶的主振型如图 4.5.6-2 所示。 二．原理分析 图 4.5.6-3 所示，两端固定且张紧的弦，在 一点处受简谐激扰力作用的受迫振动问题在数 学上可表示为下列波动方程的定解问题                          0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 1 0 0 0 2 2 2 2 2 t t x x l t y y y y q x t x y x t a t y x t  （4.5.6-1） 这里，  T a  为弹性横波沿弦向的传播速度，T 为弦的张力，  为弦的线密度， ( , ) sin ( ) 0 q x t  q t x  d 为集中激扰力。 弦振动系统的固有频率和主振型可从式（4.5.6-1）q(x,t)  0所对应的齐次方程解出， 固有频率： i i a l    （i  1,2,3） （4.5.6-2a) 主振型： l i x x i   ( )  sin （i  1,2,3） （4.5.6-2b) 系统的受迫振动响应可表示为各阶主振型的线性组合，即 信号发生器 功率放大器 激振器 图 4.5.6-1 1 a l    ， l x x  1 ( )  3 3 a l    ， l x x   3 ) （3  2 2 a l    ， l x x   2 ) （2  第一阶主振型 第二阶主振型 第三阶主振型 图 4.5.6-2 x y q t o sin l d 图 4.5.6-3

x0-2H(0sn匹 (4.5.6-3) 其中H,(t)（i=1,2,3…)称为主坐标，它表示系统各相应阶主振型对响应的贡献。 将式(4.5.6-3)代入式(4.5.6-1)，根据数理方程的求解方法，可求得 H,0=-24sinπd 1 0sino,l-o,sin@t) (4.5.6-4) pl 10,(o2-2) 由式(4.5.6-4)知当0=0，即激励频率等于第i阶固有频率时，第i阶主坐标H,(t)将 随时间t无限增大（利用洛比达法则判定），其余各阶主坐标H,(t)(s=1,2…;且s≠)为有 限。因此，(4.5.6-3)式可表示为 x,)-∑H,(0)sin匹≈H,(0sin匹 1 (4.5.6-5) 1 这表明发生第i阶共振时，其共振振型与第i阶主振型一致。因此可利用稳态正弦激励 获得系统的各阶主振型。 三.应用实例 在钢琴、提琴等器乐演奏中，弦振动是一种音源，弦不同的主振动具有不同的音频和主 振型，最低阶的音频称为基频，其整数倍的音频称为谐频，发出的声音称为泛音。弦被激励 后发声，其中基频振动起主要作用，并拌有一些谐振动。我们所听到的声音，则是基音和泛 音迭加后产生的结果。泛音越丰富，所听到的声音就越优美。 四.思考题 1.振动的固有频率与什么因素有关？ 2.如何从实验观察中判断振型的阶次？ 3.为什么利用稳态正弦激励可获得系统的各阶主振型？ 67

67 l i x y x t H t i i  ( , ) ( )sin 1     （4.5.6-3） 其中 H (t) i （i  1,2,3）称为主坐标，它表示系统各相应阶主振型对响应的贡献。 将式（4.5.6-3）代入式（4.5.6-1），根据数理方程的求解方法，可求得 0 2 2 2 1 ( ) sin ( ( ) i i i q i d H t l l        sin sin ) i i     t t  （4.5.6-4） 由式（4.5.6-4）知当  i ，即激励频率等于第i 阶固有频率时，第i 阶主坐标H (t) i 将 随时间t 无限增大（利用洛比达法则判定），其余各阶主坐标 H (t)(s  1,2; s 且 s  i)为有 限。因此，（4.5.6-3）式可表示为 l i x y x t H t i i  ( , ) ( )sin 1     l i x H t i   ( )sin （4.5.6-5） 这表明发生第i 阶共振时，其共振振型与第i 阶主振型一致。因此可利用稳态正弦激励 获得系统的各阶主振型。 三．应用实例 在钢琴、提琴等器乐演奏中，弦振动是一种音源，弦不同的主振动具有不同的音频和主 振型，最低阶的音频称为基频，其整数倍的音频称为谐频，发出的声音称为泛音。弦被激励 后发声，其中基频振动起主要作用，并拌有一些谐振动。我们所听到的声音，则是基音和泛 音迭加后产生的结果。泛音越丰富，所听到的声音就越优美。 四．思考题 1．振动的固有频率与什么因素有关？ 2．如何从实验观察中判断振型的阶次？ 3．为什么利用稳态正弦激励可获得系统的各阶主振型？