成都信工学院：《微分方程数值解》第三章（3-4） 非矩形区域

微分方程数值解 计算科学系杨韧 Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程

Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程 微分方程数值解 计算科学系 杨韧

s3.4非矩形区域 考虑邻接边界的内部结点1,m+s h S,h m m +s1,m h S m-S 解u在结点(l,m)上的 Taylor展开式 人 Poisson方程、一般一阶线性椭厦型方程

Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程 §3.4 非矩形区域 考虑邻接边界的内部结点 解 u 在结点(l , m )上的Taylor展开式 l–s3 , m l , m l+s1 , m l , m–s4 l , m+s2  s2h  s4h  s3h  s1h

02t 1+s1m u+s,h Ou Lis h2+o(h') ax 2 au 1 2 11-s3,m h Ox 2 2 +O(h3) ox Ln u SAX u Lm+s u +sh-+-sah 2 Ov2tOch') au 1 × h +一S h +O(2) l, 人 Poisson方程、一般一阶线性椭厦型方程

Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程 l m l s m O h x u s h x u u u s h , 3 2 2 2 2 , 1 1 ( ) 2 1 1       +   +   + = + l m l m s O h y u s h y u u u s h , 3 2 2 2 2 , 2 2 ( ) 2 1 2       +   +   + = + l m l s m O h x u s h x u u u s h , 3 2 2 2 2 , 3 3 ( ) 2 1 3       +   +   − = − l m l m s O h y u s h y u u u s h , 3 2 2 2 2 , 4 4 ( ) 2 1 4       +   +   − = − s3× s1× s4× s2×

3(7+s1,m -1l1)+S1( ax h s,S (s,+S3) +O(h) 4(l,m+s2 L1…)+S,(L g m g m-S Lm 2 h S,S(S+S 24 +O(h) 人 Poisson方程、一般一阶线性椭厦型方程

Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程   ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 3 1 3 2 3 , , 1 , , , 2 2 1 3 O h h s s s s s u u s u u x u l s m l m l s m l m l m + + − + − =   + −   ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 4 2 4 2 4 , , 2 , , , 2 2 2 4 O h h s s s s s u u s u u y u l m s l m l m s l m l m + + − + − =   + −

Laplace方程的五点差分格式为326) U1+s.m+阝 21,m+s2 +β 301-s3,m +B Uims. -BoUIm)=0 其中阝1= 2 β2 S1+S2)S1 2+S4)S 4 S,+S S 33 2 +s 4少4 β=β1+B2+β3+B4 当S1=S2=S3=S4=1时,为五点差分格式(36)。 人 Poisson方程、一般一阶线性椭厦型方程

Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程 Laplace方程的五点差分格式为(3.26) 其中 当 时，为五点差分格式（3.6）。 ( ) 0 1 2 1 , 2 , 3 , 4 , 0 , 1 2 3 4  Ul+s m + Ul m+s + Ul−s m + Ul m−s − Ul m = h 2 4 4 4 1 3 3 3 ( ) 2 ( ) 2 s s s s + s s  = +  = 2 4 2 2 1 3 1 1 ( ) 2 ( ) 2 s s s s + s s  = +  = 0 = 1 +2 +3 +4 s1 = s2 = s3 = s4 =1

836矩形区域上的 Poisson方程的五点 差分逼近的敛速分析 Poisson方程的第一边值问题 「a2na2n Ox2+2=-(x,y)(x,y)e u(r,y=g(, y) (x,y)∈ 其中9为矩形域。 人 Poisson方程、一般一阶线性椭厦型方程

Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程 §3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点 差分逼近的敛速分析 Poisson方程的第一边值问题 其中Ω为矩形域。      =  = −    +     ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 u x y g x y x y f x y x y y u x u

Poisson方程的五点差分格式为 2(1m+Um+Um+1m1-401m)=-f (,m)∈ (3.32) U,m=g.m(l,m)∈2(333 人 Poisson方程、一般一阶线性椭厦型方程

Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程 Poisson方程的五点差分格式为 （3.32） （3.33） (l,m) Ul,m = gl,m (l,m) ( ) l m l m l m l m l m l m U U U U U f h 2 1, 1, , 1 , 1 , , 4 1 + + − + + + − − = −

定理33若 Poisson方程的第一边值问题的解 (xy)C(g),则五点差分格式(332)的解 一致收敛到u(xy),且有敛速估计 mx(x,yn)-Um≤1M2 其中M 4=max max ax max 人 Poisson方程、一般一阶线性椭厦型方程

Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程 定理3.3 若Poisson方程的第一边值问题的解 ，则五点差分格式（3.32）的解 一致收敛到u(x,y)，且有敛速估计 其中 ( , ) ( ) 4,4 u x y C  2 , 4 12 1 max u(x , y ) U M h l m l m h −             = 4 4 4 4 4 max max , max y u x u M  

例1用五点差分格式求解Poon方程 OX 在区域g2={x1y)|-1<x<1-1<y<l 内的近似解,齐次边界条件为 (x,-1)=0,(x,1)=0,-1≤x≤1 l(-1,y)=0,u(1,y)=0,-1<y<1 取h=△x=△y=0.5。 人 Poisson方程、一般一阶线性椭厦型方程

Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程 例1 用五点差分格式求解 Poisson方程 在区域 内的近似解，齐次边界条件为： 取 。 1 2 2 2 2 = −   +   y u x u  = (x, y)| −1 x 1,−1 y 1 u(−1, y) = 0,u(1, y) = 0,−1 y 1 u(x,−1) = 0,u(x,1) = 0,−1 x 1 h = x = y = 0.5

解五点差分格式为 U, +1,m -1m ,m+1 U1mn1+4Um=h2(l2m=12,3) 1n=0(1=0或4时m=0,2,34;m=0或4时1=1,2,3) 00000 0 人 Poisson方程、一般一阶线性椭厦型方程

Poisson方程、一般二阶线性椭圆型方程 解 五点差分格式为    = = = = = − + − − − + − − + = = 0 ( 0 4 0,1,2,3,4; 0 4 1,2,3) 4 ( , 1,2,3) , 2 1, 1, , 1 , 1 , U l m m l U U U U U h l m l m l m l m l m l m l m 或 时 或 时 U7 U8 U9 U4 U5 U6 U1 U2 U3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0