成都信工学院：《微分方程数值解》第三章（3-8） 椭圆型差分方程的迭代法

微分方程数值解 计算科学系杨韧

微分方程数值解 计算科学系 杨韧

838椭圆型差分方程的迭代法 迭代法的基本理论 1、迭代公式 线性方程组Ax=b (3.45) 其中A是N阶非奇异矩阵,x,b均为N维列向量。 将方程组改写为x=Ox+C 的迭代公式x+)=Gx()+cn=01…(3.47) P椭圆型差分方程的送代送

椭圆型差分方程的迭代法 §3.8 椭圆型差分方程的迭代法 一、迭代法的基本理论 1、迭代公式 线性方程组 （3.45） 其中A是N阶非奇异矩阵，x，b均为N维列向量。 将方程组改写为 的迭代公式 （3.47） x = Gx+c x (n+1) = Gx(n) + c n = 0,1,  Ax = b

2、迭代的收敛性判断 定理34解方程组(345)的迭代格式(347) 对任意右端c及任意初始向量X(0)收敛的充分必 要条件为 p(G)=mx4|<1 推论1迭代格式(347)收敛的充分条件为 G‖<1 P椭圆型差分方程的送代送

椭圆型差分方程的迭代法 2、迭代的收敛性判断 定理3.4 解方程组（3.45）的迭代格式（3.47） 对任意右端 c 及任意初始向量 X（0） 收敛的充分必 要条件为 推论1 迭代格式（3.47）收敛的充分条件为 ( ) = max i 1 i  G  G 1

3、收敛速度 迭代公式 (n+1) Gxn)+c n=o1 准确解满足x*=Gx+C 记解的误差向量am)二y(m)二y* xn=0,1,… (n+ 误差向量满足 Ge n=01 e()一初始误差向量 P椭圆型差分方程的送代送

椭圆型差分方程的迭代法 3、收敛速度 迭代公式 准确解满足 记解的误差向量 误差向量满足 x (n+1) = Gx(n) + c n = 0,1,  x = Gx + c   e (n) = x (n) − x  n = 0,1,     = = + (0) —初始误差向量 ( 1) ( ) 0,1, e e Ge n n n 

设迭代矩阵G有N个线性无关的特征向量v;分别 对应于特征值λi且 ≥入 由c=2 得c"=Ge=∑cG=∑c入 e)=Ge=∑cGn=2c2n P椭圆型差分方程的送代送

椭圆型差分方程的迭代法 设迭代矩阵G 有 N 个线性无关的特征向量 vi，分别 对应于特征值λi，且 由 得 1  2  N = = N i i i e c v 1 (0)   = = = = =  N i i i i N i i i e G e c G v c v 1 1 (1) (0)   = = = =  =  N i i i i N i i i i e G e c G v c v 1 2 1 (2) (1)

e"=Ge""=∑cGv=∑c2v =1|cv+ C2V2+…+ nn 对于相当大的n,有 m)≈~C11 (n+1) ≈n+1 (n+1) 则 入1|=p(G) P椭圆型差分方程的送代送

椭圆型差分方程的迭代法 对于相当大的n ，有 则                 + +         = + = =  =  = = − − n n n n n n N i i n i i N i i n i i n n c v c v c v e G e c G v c v 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) 1         1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( ) e c v e c v n n n+ n+     ( ) ( ) 1 ( 1) G e e n i n i   =  +

(n+1 entp (n+p-1) 2,(n+P-2)≈.≈/1e (n+p) =(p(G) 要求从第n步迭代到第(n+p)步的误差减少为e(n) 的10-q,即要求 =(p(G)2≤109 P椭圆型差分方程的送代送

椭圆型差分方程的迭代法 要求从第 n 步迭代到第（n+p）步的误差减少为 e（n） 的10–q ，即要求 ( ) 1 2 ( 2) 1 ( 1) 1 (n p) n p n p p n e   e   e    e + + − + −  ( ) 1 (n 1) n e   e + p p n i n p i G e e ( ( )) ( ) 1 ( )   =  + p p q G − 1 = (( )) 10

两边去对数得 lg P(G)(g(G)<0) 或 ≥h10 10 -hP(G (p( p(G)越小,-hnp(G)越大,称 R(G=-hnp(G) 为迭代法的渐近收敛速度。 P椭圆型差分方程的送代送

椭圆型差分方程的迭代法 两边去对数得 或 越小， 越大，称 为迭代法的渐近收敛速度。 plg (G)  −q (lg( ) 0) lg ( )  −    G G q p ln ( ) ln 10 G q p −   10–q 0 x p ((G)) y (G) − ln (G) R(G) = −ln (G)

二、 Jacobi迭代和 Gauss-Seidel迭代 方程组Ax=b A=D--R n D A 12 R n-In 0 P椭圆型差分方程的送代送

椭圆型差分方程的迭代法 二、Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代 方程组 A = D – L – R Ax = b           = n nn n a a a a A     1 11 1             = n n a a a D  22 11             = − − 0 0 1 1 21 n n n a a a L                 = − − 0 0 1 1 2 1 n n n a a a R    

方程组写成(D-L-R)x=b Dx=(l+r)x+b 若an≠0(i=1,2,…,N), Jacobi迭代格式为 D(m+1) =(L+R)x)+b 或x)=D(L+R)x)+Db 即、n+1) ∑a1xm+(=12,…,N J≠l P椭圆型差分方程的送代送

椭圆型差分方程的迭代法 方程组写成 若 ，Jacobi 迭代格式为 或 即 (D − L − R)x = b Dx = (L + R)x +b a 0 (i 1,2, ,N) ii  =  x D L R x D b (n 1) 1 (n) 1 ( ) + − − = + + Dx L R x b n n = + + ( +1) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 1 1 ( 1) ( ) i N a b a x a x i i i N j i j n i j j i i n i = −  + =   = +