成都信工学院：《微分方程数值解》第二章 抛物型方程的差分格式

微分方程数值解 计算科学系杨韧 抛物型方程的古疼显俗式

抛物型方程的古典显格式 微分方程数值解 计算科学系 杨韧

第二章抛物型方程的差分格式 模型长度为L的绝缘杆上的一维热流 X=0 X=L u(0,t)=C1 杆 2 抛物型方程的古典显格式

抛物型方程的古典显格式 第二章 抛物型方程的差分格式 模型 长度为 L 的绝缘杆上的一维热流 x = 0 u(0 , t)=c1 x =L x u(L , t)=c2 杆 绝缘体

热传导方程在时间t和位置x处的温度u(x,t 表示为 认(x9=opat 区无法显示该图片 Ou(r, t) 0<x<L.,0≮t<∞ 2 初始靠度分布为uv(x0)=0(x,0≤xsL. 杆端点的边界值为 l(0,t)=c1,0≤t≤w l(,t) 2 0<t 其中k是导热率系数,o是热量,p是杆的密度。 抛物型方程的方浆显格式

抛物型方程的古典显格式 热传导方程在时间 t 和位置 x 处的温度 u (x , t) 表示为 初始温度分布为 杆端点的边界值为 其中 k 是导热率系数，σ是热量，ρ是杆的密度。        =   x L t t u x t x u x t k 0 ,0 ( , ) ( , ) 2 2   u(x,0) = (x), 0  x  L. =    =    u L t c t u t c t ( , ) , 0 (0, ) , 0 2 1

§2.1差分格式建立的基础 网格 将求解区域9分割成MN个小矩形,长宽分 别为 ∠x=h ∠t=k k XM X 抛物型方程的古典显格式

抛物型方程的古典显格式 §2.1 差分格式建立的基础 一、网格 将求解区域Ω分割成M∙N个小矩形，长宽分 别为 ⊿x=h ⊿t=k k h 0 x0 x1 … xM x t tN ┆ t0

二、差商 阶偏导数 的向前、向后、中心差商为 n m+1 h 2h 2 n 二阶偏导数 的中心差商为 21+ m+1 h 抛物型方程的古典显格式

抛物型方程的古典显格式 二、差商 一阶偏导数 的向前、向后、中心差商为 二阶偏导数 的中心差商为 n m x u         h u u h u u h u u n m n m n m n m n m n m 2 , , +1 − − −1 +1 − −1 n m x u           2 2 2 1 1 2 h u u u n m n m n m− − + +

用(Xm,t)处的一阶向前差商近似代替微商u, 无法显示该图片 m+1 (2.5) h 考虑u(x,t的 Taylor展式 n h2(suha u( m+1 m2n 1!(ax 2!( ax 2/+ 3!(Ox h2a h'a'2 u(m-l,tny=u(m, tn) ax)2!(0x x 抛物型方程的方浆显格式

抛物型方程的古典显格式 用(xm , tn )处的一阶向前差商近似代替微商ux， 即 考虑 u(x , t) 的 Taylor 展式 (2.5) 1 h u u x u n m n m n m −          +   +         +           +           + = + n m n m n m m n m n x h u x h u x h u u x t u x t 3 3 3 2 2 2 1 1! 2! 3! ( , ) ( , )   +         −           +           − = − n m n m n m m n m n x h u x h u x h u u x t u x t 3 3 3 2 2 2 1 1! 2! 3! ( , ) ( , )

截断误差 E +1 ox)m n au h au hlau hlau + ax ax !Ox)m 3!(ax h o2u h2/a 0x2)3(ax3 h (Im <x<xmiI 2!(x 抛物型方程的古典显格式

抛物型方程的古典显格式 截断误差 ( ) 2! 2! 3! 1! 2! 3! 2 1 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 2 2 1  + +             = − −           −           = −         + −           +           +           − +           = − −           =  m m t x n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m x x x x h u x h u x h u u h x h u x h u x h u u x u h u u x u E n  

用(Xm,t)处的一阶中心差商近似代替微商u,即 +1 ax (2.7) ch 截断误差为 ou m+1 X 2h h ou h+ ou ha 3!(ax 5!(ax 3!(Ox 抛物型方程的古典显格式

抛物型方程的古典显格式 用(xm , tn )处的一阶中心差商近似代替微商ux， 即 截断误差为 (2.7) 2 1 1 h u u x u n m n m n m + − −          n t x n m n m n m n m n m n m x h u x h u x h u h u u x u E            =           +           = − −           = + − 3 2 3 5 4 5 3 2 3 1 1 3! 5! 3! 2 

、算子 为x方向偏导数算子 ax T为x方向位移算子 T +15 T u u、为x方向平均算子 μx2lm= 2 抛物型方程的古典显格式

抛物型方程的古典显格式 三、算子 为 x 方向偏导数算子 Tx为 x 方向位移算子 μx 为 x 方向平均算子 x Dx   = n m n x m n m n x m T u u T u u 1 1 1 , − − = + = ( ) n m n m n x um u u 2 1 2 1 2 1 + −  = +

x方向差分算子 前差算子△x,△lm=m+1-=lm 后差算子V,V,Lm=m-lm 中心差算子δ,8,un=ln1-ln1 m+ h1(n)h2(a2n)”h u+ l!{: 2 2!(0)m 3!(Ox 3 =|1+,D+h2 u m=exp(hD,) 2! (I为恒等算子) 抛物型方程的古典显格式

抛物型方程的古典显格式 x 方向差分算子 前差算子 后差算子 中心差算子 （I为恒等算子） n m n m n x , x um = u +1 −u n m n m n x x um u u 1 ,   = − − n m n m n x x um u u 2 1 2 , 1 + −   = − n x m n x x m n m n m n m n m n m D u hD u h D h I x h u x h u x h u u u exp( ) 1! 2! 1! 2! 3! 2 2 3 3 3 2 2 2 1  =      = + + + +           +           +           + = +  