《解析几何》 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 主要内容 1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 主要内容 1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面

第一节柱面 定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L 所形成的曲面称为柱面 这条定曲线C叫柱面的准线,动直线L叫 柱面的母线 F1(x,y,z)=0 设柱面的准线为F2(x,y,z)=0() 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1y1z1)为准线 上一点,则过点M1的母线方程为 Y

第一节 柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. C L 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. 设柱面的准线为 (1) ( , , ) 0 ( , , ) 0 2 1    = = F x y z F x y z 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1 (x1 ,y1 ,z1 )为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 (2) 1 1 1 Z z z Y y y X x x − = − = −

且有 F1(x12y1,z1)=0,F2(x12y1,z1)=0 从(2)(3)中消去x1y1z得 F(x2y,z)=0 这就是以(1)为准线,母线的方向数为X,Y,Z的 柱面的方程

且有 F1 (x1 ,y1 ,z1 )=0,F2 (x1 ,y1 ,z1 )=0 (3) 从（2）（3）中消去x1 ,y1 ,z1得 F(x,y,z)=0 这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程

柱面举例 y2=2x 平面 =x 抛物柱面

柱面举例 x o z y x o z y y 2x 2 = 抛物柱面 y = x 平面

从柱面方程看柱面的特征: 只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0,在 空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱 面,其准线为xoy面上曲线C.(其他类推) 实 y 3 十 椭圆柱面母线∥x 例 b 轴 2 b 2=1双曲柱面母线∥轴 x2=2pz抛物柱面母线∥y轴

从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 实 例 1 2 2 2 2 + = c z b y 椭圆柱面 母线// 轴 x 1 2 2 2 2 − = b y a x 双曲柱面母线// z 轴 x 2 pz 2 = 抛物柱面母线// y 轴 只含 x, y而缺 z的方程 F( x, y) = 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为xoy面上曲线C

例1、柱面的准线方程为 ∫x2+y2+z2=1 12x2+2 2 2 y 2 而母线的方向数为-1,0,1,求这柱面的方程 例2、已知圆柱面的轴为 x y 1z+1 点(1,-2,1)在此圆柱面上,求这个柱面的方程

例1、柱面的准线方程为     + + = + + = 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。 例2、已知圆柱面的轴为 2 1 2 1 1 − + = − − = x y z 点（1,-2,1)在此圆柱面上，求这个柱面的方程

第二节锥面 锥面 1、定义在空间,通过一定点且与定曲线相交的一族 直线所产生的曲面称为锥面,这些直线都称为锥面的 母线,定点称为锥面的顶点,定曲线称为锥面的准线。 2、锥面的方程 F1(x,y,z)=0 设锥面的准线为 F2(x,y,=)=0 顶点为A(x02y0,a),如果M1(x12y1,z)为准线上任一点, 则锥面过点M1的母线为: X-x 0-0 XI-xo yI-yo 0

第二节 锥面 (1) ( , , ) 0 ( , , ) 0 2 1    = = F x y z F x y z 一、锥面 1、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族 直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的 母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。 2、锥面的方程 设锥面的准线为 顶点为A(x0 ,y0 ,z0 )，如果M1 (x1 ,y1 ,z1 )为准线上任一点， 则锥面过点M1的母线为： (2) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 z z z z y y y y x x x x − − = − − = − −

且有F1(x1yY1z)=0F2(x12y1,z)=0 (3) 从(2)(3)中消去参数x12y1,得三元方程 F(x,y, 2=0 这就是以(1)为准线,以A为顶点的锥面方程。 例1、求顶点在原点,准线为 的锥面的方程。22 答 Q3×、D 0(二次锥面) b

且有 F1 (x1 ,y1 ,z1 )=0 F2 (x1 ,y1 ,z1 )=0 （3） 从（2）（3）中消去参数x1 ,y1 ,z1得三元方程 F(x,y,z)=0 这就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面方程。 例1、求顶点在原点，准线为      = + = z c b y a x 1 2 2 2 2 的锥面的方程。 答： 0 2 2 2 2 2 2 + − = c z b y a x （二次锥面）

齐次方程: 设A为实数,对于函数f(x,y,z),如果有 f(tx, ty, tz=tf(,y, 2 则称f(x,y,2)为入的齐次函数,f(x,yz)=0称为齐次 方程 定理一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标 原点的锥面。 例如,方程x2+y2-2=0圆锥面 又如,方程x2+y22=0原点(虚锥面)

定理 一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标 原点的锥面。 齐次方程： 设λ为实数，对于函数f(x,y,z)，如果有 f(tx,ty,tz)=tλ f(x,y,z) 则称f(x,y,z)为λ的齐次函数，f(x,y,z)=0称为齐次 方程。 例如，方程 x 2+y2-z 2=0 圆锥面 又如，方程 x 2+y2+z2=0 原点（虚锥面）

第三节旋转曲面 旋转曲面 1、定义:以一条平面曲线C绕其平面上的 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 转曲面,这条定直线叫旋转曲面的 轴 曲线C称为放置曲面的母线 纬线 经线

第三节 旋转曲面 一、. 旋转曲面 1、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 o C 纬线 经线