《解析几何》 第三章 平面与空间直线

第三章平面与空间直线 主要内容 平面的方程 2平面点的相关位 3米两平面的相关位置 空间真线的方程 6直线与平面的相关位置 6空间两直线的相关位置 一不空间直线与点的相关位 8c平面束

第三章 平面与空间直线 主要内容 1、平面的方程 2、平面与点的相关位置 3、两平面的相关位置 4、空间直线的方程 5、直线与平面的相关位置 6、空间两直线的相关位置 7、空间直线与点的相关位置 8、平面束

第一节平面及其方程 、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程 方向矢量 在空间给定一个点M与两个不共线的矢量ab,则 通过点M且与ab平行的平面π就被唯一确定。矢量a, b称为平面π的方向矢量。 显然,任何一对与平面元平行的不共线矢量都可作 为平面π的方向矢量

第一节 平面及其方程 一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程 1、方向矢量 在空间给定一个点M0与两个不共线的矢量a,b，则 通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。矢量a, b称为平面的方向矢量。 显然，任何一对与平面平行的不共线矢量都可作 为平面的方向矢量

2、平面的矢量式参数方程 在空间,取标架{O;e1e2ye3},并设点M的径矢 OM=r平面π上的任意一点M的径矢为OM=r,显然 点M在平面π上的充要条件为矢量MM与ab,面, 因为ab不共线,所以这个共面的条件可写成: o=ua+vb 又因为MM= 所以rr。=ua+vb 即rn+ua+b(1) 方程(1)称为平面π的矢量式参数方程

2、平面的矢量式参数方程 在空间，取标架{O；e1,e2,e3},并设点M0的径矢 OM0=r0 ,平面上的任意一点M的径矢为OM=r， M0M=ua+vb 又因为 M0M=r-r0 所以 r-r0= ua+vb 即 r=r0+ ua+vb （1） 方程（1）称为平面的矢量式参数方程。 b x y z M0 a M O r0 r 显然 点M在平面上的充要条件为矢量M0M与a,b,面， 因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：

3、平面的坐标式参数方程[rn+ua+vb(1) 若设M,M的坐标分别为(x02y02Z0)、x2y2z.则 ro xo, yo, Zo, rx,y, z) 并设a={X,Y1Z1b={X2Y2Z2} 则由(1)可得 x=x+Xu+Xy y=y0+Y1+Y2y(2) 2=20+Z1+22 2)式称为平面π的坐标式参数方程

3、平面的坐标式参数方程 若设M0，M的坐标分别为(x0 ,y0 ,z0 ),(x,y,z),则 r0={x0 ,y0 ,z0},r={x,y,z} 并设 a={X1 ,Y1 ,Z1},b={X2 ,Y2,Z2} 则由（1）可得 (2) 0 1 2 0 1 2 0 1 2      = + + = + + = + + z z Z u Z v y y Y u Y v x x X u X v （2）式称为平面的坐标式参数方程。 r=r0+ ua+vb （1）

例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M43(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。 解:设M(x,yz)是平面上任意一点,已知点为M的 径矢为r=0M,则可取方向矢量为 r21=M1M2={x2X12y2-y1,z2-z1} r3-1=M1M3={x3-x12y3y12z3-z1}, 因此,平面的矢量式参数方程为 rr1+u(r2r1)+v(r3-r1)(3) 坐标式参数方程为 x=x1+(x2-x1)+v(x3-x1) y=y1+(02-y)+vy-y)(4) z=21+l(2-=1)+v(=3-21)

例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。 解： r2 -r1=M1M2={x2 -x1 ,y2 -y1 ,z2 -z1}, 因此，平面的矢量式参数方程为 r=r1+u(r2 -r1 )+v(r3 -r1 ) (3) 坐标式参数方程为 (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1      = + − + − = + − + − = + − + − z z u z z v z z y y u y y v y y x x u x x v x x 设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的 径矢为ri=OMi，则可取方向矢量为 r3 -r1=M1M3={x3 -x1 ,y3 -y1 ,z3 -z1}

从(3),(4)中分别消去参数u可得 (r-rir2-rigr3-r1=0 (5) x-x x2-x1 x3-XI 与卩y-yy2-yy3-y|=0(6) 或 =0(7) (5)(6)(7)都有叫做平面的三点式方程

从（3），（4）中分别消去参数u,v可得： （r-r1 ,r2-r1 ,r3-r1 )=0 （5） 与 0 (6) 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 = − − − − − − − − − z z z z z z y y y y y y x x x x x x 或 0 (7) 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 = x y z x y z x y z x y z （5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程

特别地,若平面与三坐标轴的交点分别为M1(a0,0 M2(O,b0)M3O.0,c)其中ab≠0,则平面的方程为 x y +,+-=1(8) b 称为平面的截距式方程。 其中ab,c分别称为平面在 三坐标轴上的截距

特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1 (a,0,0) M2 (0,b,0),M3 (0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为 + + =1 (8) c z b y a x 称为平面的截距式方程。 其中a,b,c分别称为平面在 三坐标轴上的截距。 x z M y 1 M2 M3 o

二、平面的点法式方程 1.法向量 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法线向量 法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 注:1°对平面,法向量n不唯 2°平面Ⅱ的法向量n与Ⅱ上任一向量垂直

x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． n  二、平面的点法式方程 1. 法向量: 注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直

2.平面的点法式方程 设平面时过定点Mx02y02=0,且有法向量n={A,B,C} 对于平面上任一点M(x,y,z) 向量MM与n垂直 n·MoM=0 M 而MM={x-x0,y-y,z-20}, 得 A(x-x)+B(y-y)+C(z-=0)=0(1) 称方程(1)为平面的点法式方程

2. 平面的点法式方程 设平面过定点 M0 (x0 , y0 , z0 ), 且有法向量n={A,B, C}. 对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直. y x z M0 M n O n  M0 M = 0 而M0 M ={x − x0 , y − y0 , z − z0}, 得: A(x − x0 ) +B( y − y0 ) +C( z − z0 ) = 0 称方程(1) 为平面的点法式方程. (1)

例1:求过点(2,-3,0)且以n={1,-2,3}为法向量 的平面的方程 解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为 1·(x-2)-2·(y+3)+3.(x-0)=0 x-2y+3z-8=0

例1: 求过点(2, −3, 0)且以 n = {1, −2, 3}为法向量 的平面的方程. 解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1  (x − 2) − 2  (y + 3) + 3  (z − 0) = 0 即: x − 2y + 3z − 8 = 0