《固体物理学》课程教学资源（讲义）第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动（5.2）恒定电场作用下电子的运动

圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 §52恒定电场作用下电子的运 一维紧束缚近似下,晶体中电子在恒定电场作用下的运动规律 一维紧束缚近似下:E(k)=E1-J0-2J1 cos ka--第i个能带 电子的速度:v(k)=1dE(k) v(k) sink 有效质量:m+(k)=h4E o)--- m*(k)=h(2Ja coska 简约布里渊区能带、电子的速度和有效质量的图示如图CH005_003所示。 XCHO0S.003E(R 在能带底部k=0和能带顶部k=±一速度为零。 在能带底部k=0:有效质量为正:∥(, 在能带顶部k=±x:有效质量为负:m*(k) h2 2J, 在外加电场作用下电子的运动 设电场力F=-qE(E沿k的负方向)沿k轴的正方向 根据h =F-一电子在k空间做匀速运动 dt 从E(k)=E1-J0-21c0ska可以看到电子的运动永远保持在同一个能带内,能量为周期性变化 REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 §5.2 恒定电场作用下电子的运动 一维紧束缚近似下，晶体中电子在恒定电场作用下的运动规律 一维紧束缚近似下： E k i J J ka —— 第 i 个能带 i ( ) 2 cos = − 0 − 1 ε 电子的速度： dk dE k v k 1 ( ) ( ) = = ， ka J a v k sin 2 ( ) 1 = = 有效质量： 1 2 2 2 *( ) ( ) − = dk d E m k = —— 2 1 1 2 *( ) (2 cos ) − m k = = J a ka 简约布里渊区能带、电子的速度和有效质量的图示如图 XCH005_003 所示。 在能带底部 k = 0 和能带顶部 a k π = ± 速度为零。 在能带底部 k = 0 ：有效质量为正： 2 1 2 2 * ( ) J a m k = = 在能带顶部 a k π = ± ：有效质量为负： 2 1 2 2 *( ) J a m k = = − —— 在外加电场作用下电子的运动 设电场力 F = −qE （E 沿 k 的负方向）沿 k 轴的正方向 根据 F dt dk = = ——电子在 k 空间做匀速运动。 从 E k i J J ka 可以看到电子的运动永远保持在同一个能带内，能量为周期性变化。 i ( ) 2 cos = − 0 − 1 ε REVISED TIME: 05-4-28 - 1 - CREATED BY XCH

圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 k空间电子的运动用扩展布里渊区表示,如图ⅹCH005004所示 k空间电子的运动用简约(约化)布里渊区表示:电子运动到布里渊区边界k=x,由于k=x与 k=z相差倒格矢k=2z,代表同一状态,所以电子从布里渊区边界k=移动出去,同时从 k=-移动进来,电子在k空间做循环运动。 速度随时间的振荡 从电子的速度v(k) Sin ka可以看出,在k空间电子做循环运动,速度随时间做振荡变化。 hdk F,k=Ft, v(k)=-sina-Ft dt h 假设t=0时电子在能带底部k=0,m*>0,外力作用使电子加速,速度v(k)增大; a 到达k=7时,m*(k)=h(2Ja2 costa),m(k)→∞,vk)=h 一最大 当k>x时,m+(k)0,p(k)不断减小,直到k=0,v(k)=0 ▲电子运动在实空间中的描述 电子速度的振荡意味着电子在实空间中运动的振荡。 REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 k 空间电子的运动用扩展布里渊区表示，如图 XCH005_004 所示。 k 空间电子的运动用简约（约化）布里渊区表示：电子运动到布里渊区边界 a k π = ，由于 a k π = 与 a k π = − 相差倒格矢 a k 2π = ，代表同一状态，所以电子从布里渊区边界 a k π = 移动出去，同时从 a k π = − 移动进来，电子在 k 空间做循环运动。 V 速度随时间的振荡 从电子的速度 ka J a v k sin 2 ( ) 1 = = 可以看出，在 k 空间电子做循环运动，速度随时间做振荡变化。 因为 F dt dk = = ， k Ft = 1 = ， a Ft J a v k = = 1 sin 2 ( ) 1 = 假设t = 0 时电子在能带底部 k = 0 ， m* > 0 ，外力作用使电子加速，速度 v(k)增大； 到达 a k 2 π = 时， ， 2 1 1 2 *( ) (2 cos ) − m k = = J a ka m * (k) ⇒ ∞， = J a v k 2 1 ( ) = ——最大 当 a k 2 π > 时， m * (k) 0， v(k) 不断减小，直到 k = 0 ， v(k) = 0 V 电子运动在实空间中的描述 电子速度的振荡意味着电子在实空间中运动的振荡。 REVISED TIME: 05-4-28 - 2 - CREATED BY XCH

圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 ▲能带的倾斜 外电场对电子能量本征值附加的能量 XCH005005 E E AE=-q(E沿-x方向) V= Ex, AE=-gEx 如图XCH005005所示。 ▲电子运动的振荡 t=0电子由较低能带的带底A点经过 b Electron movement with the electric field in the real space 点到达C点,对应于电子从k=0到 k=的运动。在C点电子遇到带隙,相 对于存在一个位垒,电子将被全部反射回 来,电子由C点经过B点回到A点,对 应于电子从k=-到k=0的运动。图xcm0506 XCH005006表示了两个能带的情形中,电子在实空间的运动振荡 电子在运动的过程中,由于受到声子、杂质和缺陷的散射(碰撞),相邻两次散射之间的平均 之间间隔为电子的平均自由运动时间:τ。如果τ很小,电子来不及完成振荡运动就背散射破坏了。 观察电子运动振荡的条件:ωτ>>1,o振荡圆频率 k空间电子的振荡圆频率:O --7≈(2r/a) 2丌 v(k) tane =gE k空间电子的速率:v(k)==qE/h 2r/a 振荡圆频率:0=2丌( 如果a≈0.3mm,r≈10s,则E>2×10V/m XCH005007 对于E=2×107V/m:在金属中无法实现,对于绝缘体早已被击穿。因此很难观察到电子的振荡, 在k空间电子只是发生了一个小位移,而无法实现振荡。 REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 V 能带的倾斜 外电场对电子能量本征值附加的能量： ∆E = −qV （E 沿－x 方向） V = Ex ， ∆E = −qEx 如图 XCH005_005 所示。 V 电子运动的振荡 t = 0电子由较低能带的带底 A 点经过 B 点到达 C 点，对应于电子从 k = 0 到 a k π = 的运动。在 C 点电子遇到带隙，相 对于存在一个位垒，电子将被全部反射回 来，电子由 C 点经过 B 点回到 A 点，对 应于电子从 a k 到 的运动。图 XCH005_006 表示了两个能带的情形中，电子在实空间的运动振荡。 π = − k = 0 —— 电子在运动的过程中，由于受到声子、杂质和缺陷的散射（碰撞），相邻两次散射之间的平均 之间间隔为电子的平均自由运动时间：τ 。如果τ 很小，电子来不及完成振荡运动就背散射破坏了。 —— 观察电子运动振荡的条件：ωτ >> 1，ω 振荡圆频率 k 空间电子的振荡圆频率： 2 T π ω = —— (2 / ) ( ) a T v k π = k 空间电子的速率： ( ) / dk v k qE dt = = = 振荡圆频率： 2 / 1 2 ( ) / a qE π ω π − = = 如果 a nm s ，则 13 0.3 , 10− ≈ τ ≈ E 2 10 V /m 7 > × 对于 ：在金属中无法实现，对于绝缘体早已被击穿。因此很难观察到电子的振荡， 在 k 空间电子只是发生了一个小位移，而无法实现振荡。 E 2 10 V /m 7 = × REVISED TIME: 05-4-28 - 3 - CREATED BY XCH

圉体特理学黄尾苇五章品体中电子在电场和磺场中的近动20050406 按照量子理论,电子可以发生势垒贯穿效应,即隧道效应。 穿透位垒的几率取决于位垒的高度和宽度,如图XCH005007所示 位垒的宽度d Ex是带隙宽度 gE 2mE。E 穿透几率∝Eexp 隧道效应 当电场足够强时,如果下面的能带被电子填充满,或者接近填充满,上面的能带是 空带可以接纳电子,此时电子有一定的几率从价带穿透带隙进入导带。 REVISED TIME: 05-4-28 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动_20050406 —— 按照量子理论，电子可以发生势垒贯穿效应，即隧道效应。 —— 穿透位垒的几率取决于位垒的高度和宽度，如图 XCH005_007 所示。 位垒的宽度 qE E d g = —— Eg 是带隙宽度 穿透几率 2 2 exp[ ( )] mEg E g E qE π ∝ − = 隧道效应 —— 当电场足够强时，如果下面的能带被电子填充满，或者接近填充满，上面的能带是 空带可以接纳电子，此时电子有一定的几率从价带穿透带隙进入导带。 REVISED TIME: 05-4-28 - 4 - CREATED BY XCH