《固体物理学》课程教学资源（讲义）第四章 能带理论（4.4）势方法

圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 §44势方法 近自由电子模型中假定周期性势场的起伏很小,可以将其看作是微扰,对一些金属计算得到的 能带结果和实验结果是相符的。 但在实际的固体中,在原子核附近,库仑吸引作用使周期性势场偏离平均值很远,在离子实內 部势场对电子波函数影响很大,其波函数变化剧烈。显然势场不能被看作是起伏很小的微扰势场。 样的矛盾必须用赝势来解决 在离子实的内部用假想的势能取代真实的势能,在求解薛定谔方程时,若不改变能量本征值和 离子实之间区域的波函数,则这个假想的势能就叫做赝势。由赝势求岀的波函数叫赝波函数,在离 子实之间的区域真实的势和赝势给出同样的波函数。 晶体中价电子的波函数:vA(F)=∑Cx(k,F) x(,)和内层电子波函数>=∑e6q(-R)必须正交 正交化平面波:x(1)=k+G>-∑1> 9:(r-R), ①+G.> 正交化波函数又可以表示为:x(k,)=k+G>-∑>①+G> 其中投影算符:P=∑k> 晶体中价电子的波函数:()=∑C(1-P+G>,()=(1-P∑C+G 令=∑Ck+G REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 §4.4 赝势方法 —— 近自由电子模型中假定周期性势场的起伏很小，可以将其看作是微扰，对一些金属计算得到的 能带结果和实验结果是相符的。 —— 但在实际的固体中，在原子核附近，库仑吸引作用使周期性势场偏离平均值很远，在离子实内 部势场对电子波函数影响很大，其波函数变化剧烈。显然势场不能被看作是起伏很小的微扰势场。 —— 这样的矛盾必须用赝势来解决 —— 在离子实的内部用假想的势能取代真实的势能，在求解薛定谔方程时，若不改变能量本征值和 离子实之间区域的波函数，则这个假想的势能就叫做赝势。由赝势求出的波函数叫赝波函数，在离 子实之间的区域真实的势和赝势给出同样的波函数。 晶体中价电子的波函数： = ∑ i k i i (r) C (k , r) K K K ψ χ (k , r) i K K χ 和内层电子波函数 ( ) 1 l at j l ik R jk e r R N l K K K K >= ∑ − ⋅ Φ ϕ 必须正交 正交化平面波： ∑= = + > − > M j i Gi ij jk k r k 1 χ ( , ) µ Φ K K K K i k G r i i e N k G K K K K K + ⋅ + > = 1 ( ) Ω ， ( ) 1 l at j l ik R jk e r R N l K K K K >= ∑ − ⋅ Φ ϕ ， ij = K K µ Φ 正交化波函数又可以表示为： ∑= = + > − > M j i i jk jk Gi k r k G k 1 ( , ) K K K K K K χ Φ Φ 其中投影算符： = ∑ Φ > K K K K )ˆ χ ( , ) (1 晶体中价电子的波函数： = ∑ − + > i k i Gi r C P k K K K )ˆ ψ ( ) (1 ， = − ∑ + > i k i Gi r P C k K K K )ˆ ψ ( ) (1 令 = ∑ + > i i Gi C k K K ϕ REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH

圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 价电子波函数:vk(F)=(1-P),将波函数代入薛定谔方程得到 Vo+V(ro--oV+VIPo+ EP= eo n 令W=V()-[-V2+V()P+EP 21 Real Potential Vr) 赝势方程 Vo+W(o= Eo ryy 2 赝波函数:=∑Ck+G> Electron wave functioin y(r) 赝势:W=(F)-[-y2+r(F)P+EP Pseudo-wave functioin p(r) XCH004020 因为-[-V2+V(PP+EP=(E H)P (E-)P=(E-B∑× √Ng 赝波函数=∑Ck+G>是光滑的;赝势W必定比较小 2)赝势方程中W=(F)+∑(E-E,>0 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 价电子波函数：ψ k (r) = (1− Pˆ)ϕ K ，将波函数代入薛定谔方程得到： ϕ ϕ V r Pϕ EPϕ Eϕ m V r m − ∇ + − − ∇ + ( )] ˆ + ˆ = 2 ( ) [ 2 2 2 2 2 = K = K 令 V r P EP m W V r ˆ ˆ ( )] 2 ( ) [ 2 2 = − − ∇ + + K = K 赝势方程： ϕ W r ϕ Eϕ m − ∇ + ( ) = 2 2 2 = K 赝波函数： = ∑ + > i i Gi C k K K ϕ 赝势： V r P EP m W V r ˆ ˆ ( )] 2 ( ) [ 2 2 = − − ∇ + + K = K 因为 V r P EP E H P m ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ( )] 2 [ 2 2 − − ∇ + + = − = K − = − ∑ > = 1 ( ) Ω 赝波函数 = ∑ + > i i Gi C k K K ϕ 是光滑的；赝势W 必定比较小； 2） 赝势方程中 = + ∑ − > 0 REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH

圉体物理学_黄晃苇四章能带论20050406 因此∑(E-E,|><为排斥项,从而削弱了赝势的真实吸引势能(F),因而计算结果接 近于近自由电子模型的计算结果。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH

固体物理学_黄昆_第四章 能带理论_20050406 因此 ∑ − > < j E E j Φ jk Φ jk ( ) 为排斥项，从而削弱了赝势的真实吸引势能V (r) K ，因而计算结果接 近于近自由电子模型的计算结果。 REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH