《电路分析基础》课程教学资源（PPT课件讲稿）练习题6

复变函数的积分 复变函数积分的概念与性质 柯西一古萨定理 原函数与不定积分 四、柯西积分公式 五、解析函数的高阶导数 六、解析函数与调和函数

复变函数的积分 ⚫ 一、复变函数积分的概念与性质 ⚫ 二、柯西—古萨定理 ⚫ 三、原函数与不定积分 ⚫ 四、柯西积分公式 ⚫ 五、解析函数的高阶导数 ⚫ 六、解析函数与调和函数

柯西—古萨定理:如果函数fx)在 单连通域处处解析,那么fx沿B 内的任一条封闭曲线C的积分为0即 ∮。f(z)dk=0

（一）定理 ⚫ 柯西—古萨定理：如果函数 f( z )在 单连通域B内处处解析，那么 f( z )沿B 内的任一条封闭曲线C 的积分为0,即 ( ) 0 c  f z dz =

手Eih:1 定义:如果有 简单闭曲线全被一条简 单闭曲线包含在内,这 些内部的闭曲线互不包 含,也不相交,则说它 们组成一条复合闭路。 闭路正向:指沿此方向前进时区域总在 左手边的那个方向。复合闭路的外圈为反 时针,内中的圈为顺时针 0 十c,十C,+十C

（二）复合闭路 ⚫ 定义：如果有一些 简单闭曲线全被一条简 单闭曲线包含在内，这 些内部的闭曲线互不包 含，也不相交，则说它 们组成一条复合闭路。 闭路正向：指沿此方向前进时区域总在 左手边的那个方向。复合闭路的外圈为反 时针，内中的圈为顺时针. co cn c2 c1 0 1 2 n c c c c − − −  = + + + +

复合闭路定理:如果f(x)在D内解析=c+c +c2+…+Cn所围的区域全属于D,则∫f(z)dz=0 或∮f(z)d=∑f(z)d(c及c都取正向) k=1

定理的推广 1 ( ) ( ) ( ) k n c C k k f z dz f z dz c c = 或 及 都取正向   =  - 1 - - 2 : ( ) ( ) 0. n f z D c c c c D f z dz   = + + + + =  复合闭路定理 如果 在 内解析, 所围的区域全属于 ,则

∮f()k=0,| F 2 AEBBEAA B ∮f(z)k=0 AAFB'BFA E ∮f(z)+∮f(z)d+∫f(x)+∫f(z)l AA A'A +∫f(z)l+∫f(z)dz=0 B'B BB ∮f(z)/+∮f(z)d=0.→f(x)=∮f(z)

( ) 0, AEBB EA A f z dz    = ( ) 0. AA F B BFA f z dz     = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. c c AA A A B B BB f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz −     + + + + + =       1 ( ) ( ) 0. c c f z dz f z dz −  + =   上两式相加得 1 ( ) ( ) . c c  =   f z dz f z dz c1 c2 A E F B A  B  F  E  D

例1计算∮—2;d,c是圆周|z|=2的正向 解在|z=2内, 92 除z=土1外都解析 DY=圍业圍图cc d-3 0 + 中-中-1+11-中 S!--·!=0

2 1 1 , | | 2 . c 1 dz c z z = − 例 计算 是圆周 的正向  2 1 | | 2 , 1 . 1 z z z = =  − 解 在 内 除 外都解析 1 2 以 为圆心作圆周 z c c = 1 , . 1 2 2 2 2 ccc 1 1 1 dz dz dz z z z  = + − − −    1 1 2 2 1 1 [ ] [ ] 2 1 1 2 1 1 c c c c dz dz dz dz z z z z = − + − − + − +     1 1 2 2 0 2 2 =  −  =   i i 0 x y -1 1 c2 c1

2计算∮—2 +1 1)c={lz=2,2)c={z-i|=1} 解1)原式=∮2+∮2 +1 z2+1 da ∮一:dxl 元 +1 2i q12+D 2i ∮2,d= 2Ti +1 ∮,dzl 2i Z+L 2i dz=0 dz=兀 +1 x2+1

2 1 2 , 1 1) { | | 2}, 2) { | | 1}. c dz z c z z c z z i + = = = − = 计算  - i c 2 i c 1 0 x y 2 1 2 2 2 1 1 1) c c 1 1 dz dz z z = + + + 解 原式   1 1 1 2 1 1 1 1 [ ] c c c 1 2 dz dz dz z i z i z i = − + − +    22 ii = =  2 2 2 2 1 1 1 1 [ ] c c c 1 2 dz dz dz z i z i z i = − + − +    22 i i  − = = − 21 0 c 1 dz z  = +  21 2) . c 1 dz z =  + 

3证明:若c是任意且不经过点an的简单闭路,n是整数 0,n≠-1; 则∫(z-ayk={2n,n=-1,点在n; 2zi,n=-1,点a在c外 证1)若n<0,且n≠-1,点a在c内,则在内部作以p中 心的圆:|z-a|=r ∫(z-a)"k= 2I n in0 riede= ir n+1r2z,i(n+1)0 d6=0 0 当点a在c外,(z-a)在一个包含c的单连通域内解析 ∫(z-a)"d=0

3 : , . 0, 1 ; ( ) 2 , 1, ; 2 , 1, n c c a n n z a dz i n a c i n a c     −  − = = −    = −  证明 若 是任意且不经过点 的简单闭路 是整数 则 点 在 内 点 在 外. 1) 0, 1, , : 证 若 且 点 在 内 则在 内部作以 中 n n a c c a  − 心的圆 2 0 ( )n n in i c z a dz r e rie d     − =     1 ( 1) 2 0 0 n i n ir e d    + + = =  | | . z a r − = ( ) 0 n c  − =  z a dz ,( )n 当点 在 外 在一个包含 的单连通域内解析. a c z a c −

2)若n=-1,点a在c内,则在c内部作圆:|z-a=r 2z tre d6=2丌i i6 re 3)若n=-1,点a在c外,则f(z) 在包含c的单 2- 连通域内解析 dz=0 c(Z-a)

2) 1, , :| | . 若 点 在 内 则在 内部作圆 n a c c z a r =− − = 2 0 1 2 ( ) i i c ire dz d i z a re     = =   −   1 3) 1, , ( ) n a c f z c z a =− = − 若 点 在 外 则 在包含 的单 连通域内解析 1 0. c ( ) dz z a  = − 

复变函数的积分 复变函数积分的概念与性 质 二、柯西一古萨定理 原函数与不定积分 四、柯西积分公式 五、解析函数的高阶导数 六、解析函数与调和函数

复变函数的积分 ⚫ 一、复变函数积分的概念与性 质 ⚫ 二、柯西—古萨定理 ⚫ 三、原函数与不定积分 ⚫ 四、柯西积分公式 ⚫ 五、解析函数的高阶导数 ⚫ 六、解析函数与调和函数