《计算机图形学》课程教学资源：第5章 曲线和曲面

第5章曲线和曲面

第5章 曲线和曲面

第5章曲线和曲面 5.1参数表示曲线和曲面的基础知识 51.1曲线和曲面的表示方法 1.显式表示 显式表示是将曲线上各点的坐标表示成方程的形式, 且一个坐标变量能够用其余的坐标变量显式的表示出来 2.隐式表示 隐式表示不要求坐标变量之间一一对应,它只是规定 了各坐标变量必须满足的关系。 3.参数表示 参数表示是将曲线上各点的坐标表示成参数方程的形 式。假定用t表示参数,参数t在[O,1]区间内变化,当 t=0时,对应曲线段的起点,当t=1时,对应曲线段的终 点

第5章 曲线和曲面 5.1 参数表示曲线和曲面的基础知识 5.1.1 曲线和曲面的表示方法 1．显式表示 显式表示是将曲线上各点的坐标表示成方程的形式， 且一个坐标变量能够用其余的坐标变量显式的表示出来。 2．隐式表示 隐式表示不要求坐标变量之间一一对应，它只是规定 了各坐标变量必须满足的关系。 3．参数表示 参数表示是将曲线上各点的坐标表示成参数方程的形 式。假定用t表示参数，参数t在[0，1]区间内变化，当 t=0时，对应曲线段的起点，当t=1时，对应曲线段的终 点

第5章曲线和曲面 与显式、隐式方程相比,用参数方程表示曲线 和曲面更为通用,其优越性主要体现在以下几个 方面: (1)曲线的边界容易确定。 (2)点动成线。 (3)具有几何不变性。 (4)易于变换。 (5)易于处理斜率为无穷大的情形。 (6)表示能力强

第5章 曲线和曲面 与显式、隐式方程相比，用参数方程表示曲线 和曲面更为通用，其优越性主要体现在以下几个 方面： （1）曲线的边界容易确定。 （2）点动成线。 （3）具有几何不变性。 （4）易于变换。 （5）易于处理斜率为无穷大的情形。 （6）表示能力强

第5章曲线和曲面 51.2位置矢量、切矢量、法矢量、曲率与 挠率 1.位置矢量 P(t)=[x(),y(t)2z()t∈[0, 2.切矢量 dP T(=p(t)dt[x'(t y()2(tI 3.法矢量 主法矢量、副法矢量 法平面、密切平面、副法平面

第5章 曲线和曲面 5.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率与 挠率 1．位置矢量 2．切矢量 3．法矢量 主法矢量 、副法矢量 法平面、密切平面 、副法平面 P(t) = [x(t), y(t), z(t)] t [0,1] ( ) '( ) [x'(t) y'(t) z'(t)] dt dP T t = P t = =

第5章曲线和曲面 4.曲率和挠率 k(t)=lim Ac0△c I(t=lim △c>0△c

第5章 曲线和曲面 4．曲率和挠率 c k t c   =  →  0 ( ) lim c t c   =  →   0 ( ) lim

第5章曲线和曲面 51.3样条表示 1.插值、逼近和拟合 给定一组称为控制点的有序坐标点,通过这些控制点, 可以构造出一条样条曲线: 如果样条曲线顺序通过每一个控制点,称为对这些控 制点进行插值,所构造的曲线称为插值样条曲线 如果样条曲线在某种意义下最接近这些控制点(不 定通过每个控制点),称为对这些控制点进行逼近,所构 造的曲线为逼近样条曲线; 插值和逼近统称为拟合

第5章 曲线和曲面 5.1.3 样条表示 1．插值、逼近和拟合 给定一组称为控制点的有序坐标点，通过这些控制点， 可以构造出一条样条曲线： 如果样条曲线顺序通过每一个控制点，称为对这些控 制点进行插值，所构造的曲线称为插值样条曲线； 如果样条曲线在某种意义下最接近这些控制点（不一 定通过每个控制点），称为对这些控制点进行逼近，所构 造的曲线为逼近样条曲线； 插值和逼近统称为拟合

第5章曲线和曲面 2.曲线的连续性 (1)参数连续性 >0阶参数连续性 >1阶参数连续性 2阶参数连续性 (2)几何连续性 >0阶几何连续性 1阶几何连续性 2阶几何连续性

第 5 章 曲线和曲面 2 ．曲线的连续性 （1）参数连续性 ➢0阶参数连续性 ➢1阶参数连续性 ➢2阶参数连续性 （2）几何连续性 ➢0阶几何连续性 ➢1阶几何连续性 ➢2阶几何连续性

第5章曲线和曲面 5.2 Hermite曲线 521n次参数多项式曲线 给定n+1个控制点,可以得到如下n次参数多 项式曲线p(t): ()=()y(0)z()小=p T.Ct∈[O,1 经过分解,上式可改写为如下形式: p(t)=T·M·Gt∈[0,1] 通常,将T·M矩阵称为n次参数多项式曲线的 基函数(或称调和函数、混合函数)

第5章 曲线和曲面 5.2 Hermite曲线 5.2.1 n次参数多项式曲线 给定n+1个控制点，可以得到如下n次参数多 项式曲线p(t)： 经过分解，上式可改写为如下形式： 通常，将T·M矩阵称为n次参数多项式曲线的 基函数（或称调和函数、混合函数）。 ( )  ( ) ( ) ( )  1 t [0,1] 0 0 0 1 1 1 =                 = =  T C a b c a b c a b c p t x t y t z t t t x y z x y z xn yn z n n     p(t) = T M G t [0,1]

第5章曲线和曲面 52.2三次 Hermite曲线的定义 如果给定一段三次参数样条曲线的两个端点的位置矢量 为p(O)、p(1),切矢量为p'(O)、p(1),则三次 Hermite 曲线的矩阵表示为 (t=TMN t∈[0,1] 00 0‖p(0 通常,将T称为矢量矩阵,将M称为通用变换矩阵,将 G称为 Hermite系数,将TMh称为 Hermite基函数

第5章 曲线和曲面 5.2.2 三次Hermite曲线的定义 如果给定一段三次参数样条曲线的两个端点的位置矢量 为p(0)、p(1)，切矢量为p’(0)、p’(1)，则三次Hermite 曲线的矩阵表示为： 通常，将T称为矢量矩阵，将Mh称为通用变换矩阵，将 Gh称为Hermite系数，将T•Mh称为Hermite基函数。   t [0,1] (1) (0) (1) (0) 1 0 0 0 0 0 1 0 3 3 2 1 2 2 1 1 1 ( ) ' ' 3 2                          − − − − =  =   p p p p t t t p t T Mh Gh

第5章曲线和曲面 5.3 Bezier曲线 531 Bezier曲线的定义 在空间给定n+1个控制点,其位置矢量表示 为P(=0,1,…,门)。可以逼近生成如下的n 次 bezier曲线: P()=∑PBn()t∈[0, 其中,Bn()称为伯恩斯坦( Bernstein)基 函数,它的多项式表示为: In (t=CnI(1-t) t(1-t)t∈[0

第5章 曲线和曲面 5.3 Bezier曲线 5.3.1 Bezier曲线的定义 在空间给定n+1个控制点，其位置矢量表示 为Pi（i = 0, 1, …, n）。可以逼近生成如下的n 次Bezier曲线： 其中， 称为伯恩斯坦（Bernstein）基 函数，它的多项式表示为： ( ) ( ) [0,1] 0 =  ,  = P t PB t t n i i i n ( ) , B t i n (1 ) [0,1] !( )! ! ( ) (1 ) , −  − = − = − − t t t i n i n B t C t t i i n i i n i i n n