福州大学：《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第五章 拉普拉斯变换

第五章拉普拉斯变换 >Laplace变换（简称拉氏变换）是常用的 一种积分变换。在数学、物理及工程科学 中有广泛的应用. >本章介绍Laplace变换的定义及其基本性 质，以及它的简单应用

11 第五章 拉普拉斯变换 ➢ Laplace变换（简称拉氏变换）是常用的 一种积分变换. 在数学、物理及工程科学 中有广泛的应用. ➢ 本章介绍Laplace变换的定义及其基本性 质，以及它的简单应用

§5.1拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换是一种积分变换，它把f)变换为F(p) F(p)=∫emf)t 这里是实数，p是复数，p=S+io,Fp)称为f)的 Laplace换式，ept是Laplace变换的核。 通常把Laplace变换简写为： F(p)=L{f()} 或F(p)=f(t) 拉氏变换把实变量空间 转换到复变量p的空间 f(t)={F(p)}或f()=F(p) f()和Fp)分别称为拉氏变换的原函数和象函数.靠 原函数的点在上方，靠象函数的点在下方

22 §5.1 拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换是一种积分变换，它把f(t)变换为 F (p). 0 ( ) ( ) pt F p e f t dt  − =  这里t是实数，p是复数， ，F (p)称为f (t)的 Laplace换式， 是Laplace变换的核。 p s i = +  pt e − 通常把Laplace变换简写为： f (t)和F (p)分别称为拉氏变换的原函数和象函数. 靠 原函数的点在上方，靠象函数的点在下方. . F p L f t ( ) =  ( ) 或 F p( ) =. f t( ) . ( )  ( ) f t( ) =. F p( ) 1 f t L F p − = 或 拉氏变换把实变量t空间 转换到复变量p的空间

注意：对许多实际问题，一般只研究≥0情形，因此约定： f0=0 例1、函数f)=1的Laplace换式为： 【解】=小e=-e=方 Rep>0 D 其中条件Rp>0是为了保证积分收敛，或者说是 Laplace?变换存在的条件， 例2、函数f(t)=em的拉氏换式为： 【解】 De]=d=ed -e-(p-ar6= Rep>Rea p- D-a

33 注意：对许多实际问题，一般只研究t 0情形，因此约定： ( ) 0, ( ) 0 0, f t t f t t   =    例1、函数f(t)=1的Laplace换式为： 其中条件 是为了保证积分收敛，或者说是 Laplace变换存在的条件. Re 0 p    0 0 1 1 1 , Re 0 pt pt L e dt e p p p   − − = = − =  【解】  例2、函数 f t e ( ) = t 的拉氏换式为： 【解】 ( ) 0 0 ( ) 0 [ ] 1 1 | , Re Re t t pt p t p t L e e e dt e dt e p p p          − − − − −  =  = = − =  − −  

这里的限制Rep>Rea也是为了保证积分收敛，即Laplace 变换存在的条件. 从例1、例2可以看出，由于Laplace变换的核是ept,所以对 于相当广泛的函数拉氏换式都存在；甚至当t→o时，f)的 拉氏换式也可能存在.这就是为什么要乘上的缘故. Laplace变换存在的条件，也就是e"f)t收敛的条件： ①f()在区间0≤t0和s>0,使对 于任何值（实际上，只要对于足够大的t值)If()KM 这是Laplace变换存在的充要条件.在很多情况下，该条 件都能满足

44 这里的限制 也是为了保证积分收敛，即Laplace 变换存在的条件. Re Re p   从例1、例2可以看出，由于Laplace变换的核是e -pt，所以对 于相当广泛的函数拉氏换式都存在；甚至当t→时，f(t)的 拉氏换式也可能存在. 这就是为什么要乘上的缘故. Laplace变换存在的条件，也就是 收敛的条件: 0 ( ) pt e f t dt  −  ① f (t)在区间0 t 中除了第一类间断点（在断点处左右 极限都存在)外都是连续的，而且有连续导数，在任何有 限区间中这种间断点的数目都是有限的 ② f (t)有有限的增长指数，即存在正数M >0和s >0，使对 于任何t值（实际上，只要对于足够大的t值） | ( ) | st f t Me  这是Laplace变换存在的充要条件. 在很多情况下，该条 件都能满足

如果存在的话，它一定不是唯一的，因为比s大的任何 正数也符合要求，s的下界称为收敛横标，记为5 常用函数的拉氏变换： (Rep>0) 4l-e"h=- D J e () -eca- (Rep>0) 1+1

55 如果s存在的话，它一定不是唯一的，因为比s大的任何 正数也符合要求，s的下界称为收敛横标，记为so . 常用函数的拉氏变换: ( ) 0 0 1 1 [1] , Re 0 pt pt L e dt e p p p   − − = = − =   ( ) 2 0 0 0 0 1 1 1 1 [ ] , Re 0 pt pt pt pt L t te dt tde te e dt p p p p p     − − − − = = − = − + =     2 2 2 2 3 0 0 0 0 1 1 2 2! [ ] pt pt pt pt L t t e dt t de t e te dt p p p p     − − − − = = − = − + =    . (Re 0 p  ) 1 ! [ ] n n n L t p + =

Le=festedt (Rep>Rea) (其中可以是复数) p-a 4e1=1 Lea1=1 p-io' (Rep>0) p+i@ 0 p+@ 2+0 Le sinot]=e sinatedt="e-mpy sinatdt= (p+2)2+o2 Lle i cosor]= p+A (p+)2+0 (把sinat和cosaf拉氏换式中的p换成p叶入即可.) 6

66 0 , (Re 1 [ ] Re ) t t pt L e p e e dt p      − = =  −  (其中可以是复数) ( ) 1 1 [ ] , [ ] , Re 0 i t i t L e L e p p i p i     − = =  − + 2 2 2 2 1 1 1 1 2 [ ] ( ) 2 2 [s n ] 2 i i t i t e e i L i i p L t i p i i p p          − − = = − = + + + = − 2 2 2 2 1 1 1 [cos 1 2 [ ] ( ) 2 2 2 ] i t i t e e p L p p L t i p i p p        − + = = + = + + + = − ( ) 2 2 0 0 [ sin ] sin sin ( ) t t pt p t L e t e te dt e tdt p            − − − − + = = = + +   （把sint和cost拉氏换式中的p换成p+即可.） 2 2 [ cos ] ( ) t p L e t p      − + = + +

shom1=4,e上 11 0 2 `p-0p+0' 2-0 ote-or 1 要记住！ D一0 p+ω -o §5.2拉氏变换的性质 性质1：拉氏变换是一个线性变换，即： L[f()]=F(p),[()]=F(P) L[af(t)+a:S:(t)]=aF(p)+a:F(p) 这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映

77 2 2 1 1 1 [ ] ( 2 [ ] s ) 2 h t t e e L t L p p p        − − = = = + − − − 2 2 1 1 1 [ ] ( 2 [ ] c ) 2 h t t e e L p p L t p p       − + = = = + − + − §5.2 拉氏变换的性质 性质1：拉氏变换是一个线性变换，即： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 L f t F p L f t F p     = = ,     ( ) ( ) ( ) ( ) L f t f t F p F p     1 1 2 2 1 1 2 2   + = +   这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映. 要记住!

性质2：原函数的导数的拉氏变换 微分性质 设f()及f'(t)都满足拉氏变换存在的充分条件，Lf(t川=F(p), 则：∫f()et=f)e⑧+pft)ert=-fO+pF(p) LLf'(t)川=pF(p)-f0) 因此，对原函数f①)的微商运算就转化为对象函数Fp) 的乘法运算，而且还自动包括了f0的初值.正因为这个 特点，拉氏变换方法是求解微分方程的一种重要方法， f(u=Jf(0edt=∫eaf)=f(0e+p小f()edi =-f'(0)+plpF(p)-f(0川=p2F(p)-pf0)-f(0) Lf(t)川=p"F(p)-p"-f(0)-p"-2f(0)-

88 性质2 ：原函数的导数的拉氏变换 设f (t)及 f t ' ( ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， L f t F p [ ( )] ( ), = 则： ' 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (0) ( ) pt pt pt f t e dt f t e p f t e dt f pF p    − − − = + = − +   ' L f t pF p f [ ( )] ( ) (0) = − 因此，对原函数f(t)的微商运算就转化为对象函数F(p) 的乘法运算，而且还自动包括了f(t)的初值. 正因为这个 特点，拉氏变换方法是求解微分方程的一种重要方法. ' '' ' ' ' 0 0 ' 0 0 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) pt pt pt pt L f t f t e dt e df t f t e p f t e dt     − − − − = = = +    ' 2 ' = − + − = f p pF p (0) [ ( ) (0)] f p F p( ) (0) (0) − − pf f . ( ) 1 2 ' ( 1) [ ( )] ( ) (0) (0) (0) n n n n n L f t p F p p f p f f − − − = − − −  − 微分性质

例1、已知4o=D4a,求4 Icosal 【解】L6ino]=o-Leos@rl=-p:, 0 +20 利用微分性质 L[cos@t]=,卫 p2+02 例2、解强迫振动方程x(t)+ox()=f(t) 【解】令x(t)=X(p吵，Lf=F(p) x()+o2x(t)=f(t) 方程两边同时作拉氏变换，则： p2X(p)-px(0)-x(0)+o2X(p)=F(p) →X(p)=Fp)+pO)+0 p2+o2

99 例1、已知 L t [sin ] 2 2 ，求 p    = + L t [cos ].  【解】 ' 2 2 L t L t p [(sin ) ] [cos ] 0 p      =  =  − + 2 2 [cos ] p L t p   = + 例2、解强迫振动方程 . 2 x( ) ( ) ( ). t x t f t + =  【解】令 L x t X p L f t F p [ ( )] ( ), [ ( )] ( ) = = . 2 x( ) ( ) ( ) t x t f t + =  方程两边同时作拉氏变换，则： . 2 2 p X p px x X p F p ( ) (0) (0) ( ) ( ) − − + =  . 2 2 ( ) (0) (0) ( ) . F p px x X p p  + + = + 利用微分性质

性质3：若f1=Fp),则可f)=F(p) 积分性质 【证明】设∫if)t=g)则g()=f) Lg(t)川=LLf(t)川=F(p) LI3 (t)]=pG(p)-3(0)=pG(p)-0=pG(p) →F(p)=pG(p) 一Gp)=LFpj fd=4(-G(p)=1F(p) 10 4D

1010 性质3 ：若 L f t F p [ ( )] ( ) = ，则 0 1 L f t dt F p [ ( ) ] ( ) p  =  0 ( ) ( ) t f t dt g t =  ' 【证明】 设 则 g t f t ( ) ( ) = ' L g t L f t F p [ ( )] [ ( )] ( ) = = ' L g t pG p g pG p pG p [ ( )] ( ) (0) ( ) 0 ( ) = − = − = F p pG p ( ) ( ) = 1 G p F p ( ) ( ) p = 0 1 L f t dt L g t G p F p [ ( ) ] [ ( )] ( ) ( ) p  = = =  积分性质