福州大学：《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第八章 分离变量法

第八章分离变量法 为了把偏微分方程分解成常微分方程，需要把 依赖于多个宗量的未知函数分离成只依赖于 单个宗量的函数的乘积这种称为分离变量法： 分离变量法是解数学物理方程定解问题的一 个重要方法

1 第八章 分离变量法 为了把偏微分方程分解成常微分方程,需要把 依赖于多个宗量的未知函数分离成只依赖于 单个宗量的函数的乘积.这种称为分离变量法. 分离变量法是解数学物理方程定解问题的一 个重要方法

§8.1两端固定的弦的振动 w,-a2u=0 (00; 泛定方程 4=p(x,4l=y(c) (00). 边界条件 本征函数与本征值问题是分离变量法的核心，分 离变量法也可称为本征函数法.用分离变量法求 定解问题的解，主要通过如下四项步骤： 2

2 §8.1 两端固定的弦的振动 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 , 0 ; , 0 ; 0, 0 0 . tt xx t t t x x l u u x l t u x u x x l u u t    = = = =  − =      = =    = =   泛定方程 初始条件 边界条件 本征函数与本征值问题是分离变量法的核心,分 离变量法也可称为本征函数法.用分离变量法求 定解问题的解,主要通过如下四项步骤:

44-ad2un=0 00): 泛定方程 um=o(x),u=v(x) (00). 边界条件 ()分离变量 两列反向行进的同频率的波形成驻 波。驻波没有波形的传播现象，即 各点振动周期并不依次滞后，它们 按同一方式随时间振动，可以统一 表示为T().但它们的振幅X却随地 点x而异，写成X(x): u(x,t)=X(x)T(t) 自变数x,出现分离 3

3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 , 0 ; , 0 ; 0, 0 0 . tt xx t t t x x l u u x l t u x u x x l u u t    = = = =  − =      = =     = =   泛定方程 初始条件 边界条件 波腹 波 节 波 节 波 节 波 节 两列反向行进的同频率的波形成驻 波腹 波腹 波腹 波腹 波。驻波没有波形的传播现象，即 各点振动周期并不依次滞后，它们 按同一方式随时间振动，可以统一 表示为T (t). 但它们的振幅X却随地 点x而异， 写成X (x). u x t X x T t ( , ) = ( ) ( ) 自变数x，t出现分离 (1)分离变量

用(x,t)=X(x)T(t)作为试探解的依据： ① 行波在端点间往复反射可能形成驻波，而csin(ot+6)sinl: 就是时空分开的。 ② 如找出一些满足泛定方程和边界条件的驻波，由于泛定方 程和边界条件均是线性的，将这些驻波线性迭加后的解仍 然满足泛定方程和边界条件。如果能确定出迭加系数使之 满足初始条件，就能解决该定解问题。 由泛定方程：，-d2un=0→X(x)T"(d)-aX"(x)T()=0 两边同乘以 T"X" a'XT a27-X =0> 方程左边仅是x的函数，右边仅是的函数，而比，t是独立变量， 只有两边同等于一个常数（-入)时，方程才能成立. 〉X"+1X=0;T"+a2T=0. 4

4 用 u x t X x T t ( , ) = ( ) ( ) 作为试探解的依据： ① 行波在端点间往复反射可能形成驻波，而 就是时空分开的。 c t kx sin sin (  + ) 由泛定方程： 2 0 tt xx u u − =  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 X x T t X x T t '' '' 0 − =  两边同乘以 2 1  XT 2 '' '' 0 T X  T X − = 2 X T '' '' X T  = 方程左边仅是x的函数，右边仅是t的函数，而x, t是独立变量， 只有两边同等于一个常数（- ）时，方程才能成立. 2 X X T T '' 0; '' 0. + = + =   ② 如找出一些满足泛定方程和边界条件的驻波，由于泛定方 程和边界条件均是线性的，将这些驻波线性迭加后的解仍 然满足泛定方程和边界条件。如果能确定出迭加系数使之 满足初始条件，就能解决该定解问题

由边界条件 4x=0, X(0)T(t)=0, 4=0, X()T(t)=0, X(0)=0, X()=0, 本征值问题 X"+X=0, X(0)=0,X(0)=0. 5

5 0 0, 0, x x l u u = =  =    =  由边界条件 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0, 0, X T t X l T t = =    ( ) ( ) 0 0, 0, X X l  =   =  ( ) ( ) '' 0, 0 0, 0. X X X X l  + =    = =  本征值问题

(2)解本征值方程 X"+2X=0, 本征值问题 讨论： X(0)=0,X()=0. ① 当入X(x)=Gx+c2 积分常数c1、c2由边界条件确定 J92=0 (cl+c2 =0 >C1=0,c2=0 驻波u比，t)没有意义 6

6 ( ) ( ) '' 0, 0 0, 0. X X X X l  + =  = =    本征值问题 讨论： ① 当 < 0时， 积分常数c1、c2由边界条件确定 1 2 1 2 0 0 l l c c c e c e − − −    + =    + =  1 2 c c = = 0, 0 驻波u (x, t)没有意义 ② 当 ＝ 0时， 积分常数c1、c2由边界条件确定 2 1 2 0 0 c c l c  =  + =  1 2 c c = = 0, 0 驻波u (x, t)没有意义 ( ) 1 2 x x X x c e c e − − −   = + ( ) X x c x c 1 2 = + (2)解本征值方程

③ 当入>0时，>X(x)=c,cos/Ax+c2 sin几x 积分常数c1、c2由边界条件确定 G1=0 csin√nl=0 除sin√1=0外，G=0,2=0,驻波u(比t)没有意义. sin√元l=0>√2nl=n,n=1,2,3,. =23 本征值 分离变量引入的常数)必须大于零，而且也不能是任意正数 →X.(x)=6,r sinx 本征函数

7 ③ 当 > 0时， ( ) 1 2 X x c x c x = + cos sin   积分常数c1、c2由边界条件确定 1 2 0 sin 0 c c l   =    = 除 sin 0 l = 外， c c 1 2 = = 0, 0 ，驻波u (x, t)没有意义. sin 0 l = , 1,2,3, n   l n n = =  2 2 2 , 1,2,3, n n n l   = =  本征值 分离变量引入的常数n必须大于零，而且也不能是任意正数. ( ) 2 n sin n X x c x l  = 本征函数

(3)求余下的不构成本征问题的常微分方程的通解 把本征值 n2π2 代入T()的方程 12 T(的方程改为 a=0. 2 >工()=g0s"1+c,sin",g、6,为常数 8

8 2 2 n 2 n l   = 2 2 2 2 '' 0. n n n T T l  T (t)的方程改为 + =  ： ( ) 3 4 cos sin n n n T t c t c t l l   = + c3、c4为常数 (3)求余下的不构成本征问题的常微分方程的通解 把本征值 代入 T(t)的方程

本征解 每一个n对应一种驻波. x=0,(/n,2(ln),3(llm,n(l/n)=l 节点 波长：2=2l1n 本征解u(化，)满足定解方程和边界条件，但不一定满 足初始条件，设想将这些本征解线性迭加，找出满足 初始条件的解. 从数学上看，由于泛定方程和边界条件都是线性的， 本征解的线性迭加也应该满足定解方程和边界条件

9 ( , cos sin sin , 1,2,3, ) n n n n n n u x t A t B t x n l l l      = + =      每一个n对应一种驻波. x l n l n l n n l n l =  = 0, / ,2 / ,3 / , , / ( ) ( ) ( ) ( ) 本征解 波长：  = 2 / l n 本征解un (x, t)满足定解方程和边界条件，但不一定满 足初始条件，设想将这些本征解线性迭加，找出满足 初始条件的解. 从数学上看，由于泛定方程和边界条件都是线性的， 本征解的线性迭加也应该满足定解方程和边界条件. 节点

(4)由傅立叶级数定系数 般解 -立x.(z)-248+®"小m受 由初始条件：4=9(，→p()=之4simx 上式的右边是正弦傅立叶级数，因此可将(x)展成傅立叶级数. p()=2a,sin,其49.=()sin55 0 →4=a.=()sn55 10

10 ( ) ( ) ( ) 1 1 , cos sin sin n n n n n n n n n u x t X x T t A t B t x l l l      = =   = = +       一般解 ( ) 0 , t u x  = 由初始条件： = ( ) 1 n sin n n x A x l    = =  (4)由傅立叶级数定系数 ( ) 1 sin n n n x A x l    = =  上式的右边是正弦傅立叶级数，因此可将  ( x) 展成傅立叶级数. ( ) 1 sin , n n n x x l     = =  ( ) 0 2 其中 sin . l n n d l l       =  ( ) 0 2 sin . l n n n A d l l  = =      