福州大学：《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第七章 数学物理方程的定解问题

第七章数学物理方程的定解问题 §7.1引言 质点力学研究质点的位移u如何随时间变化，电路问题研究 电流或电压U如何随时间t变化。研究物理量随时间变化往往 导致以时间为自变量的常微分方程。 在科技和生产中还常常要求研究空间连续分布的各种物理场 的状态和物理过程.例如，研究电磁波的电场强度和磁感应强 度在空间和时间中的分布。 研究某个物理量（电场强度、电势、磁感应强度、声压、杂 质浓度)在空间的某个区域的分布情况，以及它如何随时间 而变化，这些问题中的自变量不仅仅是时间，而且还有空间 坐标-偏微分方程

1 第七章 数学物理方程的定解问题 §7.1 引言 质点力学研究质点的位移u如何随时间t变化，电路问题研究 电流I或电压U如何随时间t变化。研究物理量随时间变化往往 导致以时间为自变量的常微分方程。 在科技和生产中还常常要求研究空间连续分布的各种物理场 的状态和物理过程. 例如,研究电磁波的电场强度和磁感应强 度在空间和时间中的分布. 研究某个物理量（电场强度、电势、磁感应强度、声压、杂 质浓度）在空间的某个区域的分布情况，以及它如何随时间 而变化，这些问题中的自变量不仅仅是时间，而且还有空间 坐标 -偏微分方程

边界条件：在研究具体问题时，往往必须考虑所研究的区域 的边界处在怎样的情况下，或者说，必须考虑到研究对象处 手怎样的“环境”中，周围“环境”的影响总是通过边界才 传给对象，周围“环境”的影响体现于边界的物理状况，即 边界条件。 例如：在半导体扩散工艺中有“恒定表面浓度扩散”和“限 定源扩散”。前者是用携带着充足杂质的氮气包围硅片，使 杂质源源不断地通过硅片表面向硅片内部扩散，而硅片表面 的杂质浓度保持一定。后者是只让硅片表层已有的杂质向硅 片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片表面进入硅片。在这 两种情况下，虽然有相同的杂质扩散规律，但由于硅片表面 状况不同，其扩散的结果是不同的。可见边界条件很重要

2 例如：在半导体扩散工艺中有“恒定表面浓度扩散”和“限 定源扩散”。前者是用携带着充足杂质的氮气包围硅片，使 杂质源源不断地通过硅片表面向硅片内部扩散，而硅片表面 的杂质浓度保持一定。后者是只让硅片表层已有的杂质向硅 片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片表面进入硅片。在这 两种情况下，虽然有相同的杂质扩散规律，但由于硅片表面 状况不同，其扩散的结果是不同的。可见边界条件很重要。 边界条件：在研究具体问题时，往往必须考虑所研究的区域 的边界处在怎样的情况下，或者说，必须考虑到研究对象处 于怎样的“环境”中，周围“环境”的影响总是通过边界才 传给对象，周围“环境”的影响体现于边界的物理状况，即 边界条件

初始条件：为了解随着时间而发展变化的问题，还必须 考虑研究对象的“历史”。即它在“初始”时刻的状态 例如，弦乐器中弦的振动问题同样的弦，在薄刀背敲击 下发出的声音比较刺耳，而在宽锤敲击下发出的声音比 较和谐。虽然这两根弦的振动是按照同样的规律进行的 但是由于“历史”不同，即“初始条件”不同，振动 情况就不相同的。 半导体杂质的扩散也是“历史”问题：原来的杂质浓度 分布不同，在同一工艺条件下，扩散结果也不相同

3 初始条件：为了解随着时间而发展变化的问题，还必须 考虑研究对象的“历史”。即它在“初始”时刻的状态 。 例如,弦乐器中弦的振动问题.同样的弦，在薄刀背敲击 下发出的声音比较刺耳，而在宽锤敲击下发出的声音比 较和谐。虽然这两根弦的振动是按照同样的规律进行的 ，但是由于“历史”不同，即“初始条件”不同，振动 情况就不相同的。 半导体杂质的扩散也是“历史”问题：原来的杂质浓度 分布不同，在同一工艺条件下，扩散结果也不相同

完整问题的提出：在给定的边界条件和初始条件下， 根据已知的物理规律，解算某个物理量在给定的区 域内随着空间位置（化，）和时间如何变化，即解算函 数u(化，y,): 数学上，边界条件和初始条件合称定解条件，数学物 理方程本身（不含定解条件）称为泛定方程。定解条 件提出具体问题，泛定方程提供解决问题的依据，作 为一个整体称为定解问题

4 完整问题的提出：在给定的边界条件和初始条件下， 根据已知的物理规律，解算某个物理量u在给定的区 域内随着空间位置(x, y, z)和时间t如何变化，即解算函 数u (x, y, z, t). 数学上，边界条件和初始条件合称定解条件，数学物 理方程本身（不含定解条件）称为泛定方程。定解条 件提出具体问题，泛定方程提供解决问题的依据，作 为一个整体称为定解问题

几种类型方程 1、波动方程（弦的自由横振动、杆的自由纵振动方程） 2∂2u =0,其中u=u(x,t) 推广到三维： O"u 22 =0,其中u=(x,z,t） 是描述振动（或波动）过程的偏微分方程，它很好地 描述了各向同性的弹性体中的振动、声波或电磁波的 传播等的过程

5 几种类型方程 1、波动方程 (弦的自由横振动、杆的自由纵振动方程） 2 2 2 2 2 0, u u a t x   − =   其中 u u x t = ( , ) 推广到三维： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0, u u u u a t x y z       − + + =         其中 u u x y z t = ( , , , ) 是描述振动（或波动）过程的偏微分方程，它很好地 描述了各向同性的弹性体中的振动、声波或电磁波的 传播等的过程

几个数学符号： 哈密顿算符 o" 拉普拉斯算符 △=V.V= 梯度 V0= Ox OA, oA. 散度 V.A= Ox By Oz 旋度又xA= a a4y+是 4- 4-4)i A A A

6 几个数学符号： 哈密顿算符 拉普拉斯算符 梯度 散度 旋度 i j k x y z     = + +    i j k x y z         = + +    2 2 2 2 2 2 x y z     =   = + +    x y z A A A A x y z     = + +    ( ) ( ) ( ) z z y y x x x y z i j k A A A A A i j k x y z y z z x x y A A A                  = = − + − + −                 

2、输运方程（热传导、扩散方程） 8t -2△u=0,其中=(x,y,z,t） 是描述输运（趋向平衡）过程的偏微分方程。例如它恰当地 描述粒子扩散、热传导等的过程。 3、稳定场方程（静电场方程） △M=- P 泊松方程 8。 △L=0 (p=0拉普拉斯方程 是描述物理中的稳定（或平衡状态）过程的偏微分方程。例如 它可以很好地描述重力场、静电场、静磁场、稳恒场的速度势 等的规律

7 2、输运方程 （热传导、扩散方程） 2 0, u a u t  −  =  其中 u u x y z t = ( , , , ) 3、稳定场方程 （静电场方程） o u    = − 泊松方程 （  = = u 0 0  ） 拉普拉斯方程 是描述物理中的稳定（或平衡状态）过程的偏微分方程。例如 它可以很好地描述重力场、静电场、静磁场、稳恒场的速度势 等的规律。 是描述输运（趋向平衡）过程的偏微分方程。例如它恰当地 描述粒子扩散、热传导等的过程

可以看到：当山是多元函数时，其运动方程为偏微 分方程。 物理规律支配物理过程的共性，导出形式相同的泛 定方程（数学物理方程）；固有条件规定物理过程 的个性，由边初条件（定解条件）的不同，它们的 解不同。 数理方程的定解问题：研究某个受物理规律支配和 系统的边初条件已知的过程的运动变化情形。 数理方程的定解问题应当是泛定方程加上定解条件 (边初条件)

8 可以看到：当u是多元函数时，其运动方程为偏微 分方程。 物理规律支配物理过程的共性，导出形式相同的泛 定方程（数学物理方程）；固有条件规定物理过程 的个性，由边初条件（定解条件）的不同，它们的 解不同。 数理方程的定解问题：研究某个受物理规律支配和 系统的边初条件已知的过程的运动变化情形。 数理方程的定解问题应当是泛定方程加上定解条件 （边初条件）

§7.2数学物理方程的导出 泛定方程的建立也就是把物理规律“翻译”成数学物理方程。 微元法：先选择表示系统运动状态的物理量，再任取体系中的 一个小部分，分析这一部分所受的作用，以及它在物理规律的 支配下所引起的运动变化情况，导出泛定方程。 一、 弦的横振动方程 几个条件： >均匀细绳：p为常数，作为一维空间来处理 (细绳)； >轻绳：忽略重力影响； >柔软：横截面方向上无应力（无切变力），张力沿弦切线 方向； >微小振动：弦切线与x轴夹角α≈0或π； >横振动：弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向

9 §7.2 数学物理方程的导出 泛定方程的建立也就是把物理规律“翻译”成数学物理方程。 微元法：先选择表示系统运动状态的物理量，再任取体系中的 一个小部分，分析这一部分所受的作用，以及它在物理规律的 支配下所引起的运动变化情况，导出泛定方程。 一、弦的横振动方程 几个条件： ➢ 均匀细绳：ρ为常数，作为一维空间来处理（细绳）； ➢ 轻绳：忽略重力影响； ➢ 柔软：横截面方向上无应力（无切变力），张力沿弦切线 方向； ➢ 微小振动：弦切线与x轴夹角α≈0或； ➢ 横振动：弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向

设弦的平衡状态沿x方向，且在同一平 u(x,) 面振动. y+(=(+ x+dr ds du (ar d X 2! 利用牛顿二项式定理 忽略二阶小量： =1>k≈dk 弦长： A=∫≈∫k=Ax

10 1 2 dx ds du T1 T2 x u x t ( , ) x u x dx u + 设弦的平衡状态沿x方向，且在同一平 面振动. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 u ds dx du dx dx x    = + = +      2 1 u dx x    = +      ( ) 2 2 4 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 1 1! 2! u u u x x x          − + = + + +                 忽略二阶小量： 2 1 1 u x    + =      ds dx  弦长： x x x x x x s ds dx x + +  =  =    利用牛顿二项式定理