西安电子科技大学：《分析力学》课程教学资源（讲稿）05 动力学变分原理

分析力学5动力学变分原理(5) 0x(t2)=0 Perturbed path t2 ‘6x True path 6x(t1)三0 zi(t) 西安电子科技大学 郭空明 q9:717004648 Email:kmguo@xidian.edu.cn

分析力学 5 动力学变分原理（5） 西安电子科技大学 郭空明 qq:717004648 Email：kmguo@xidian.edu.cn

4.1泛函与变分原理(1) 4.2哈密顿原理（2) 4.3连续系统的微振动（1) 4.4欧拉-拉格朗日方程(1)

4.1 泛函与变分原理（1） 4.2 哈密顿原理（2） 4.3 连续系统的微振动 （1） 4.4 欧拉-拉格朗日方程 （1）

力学的变分原理：提供一种准则，将真实的运动 (满足动力学方程)从所有可能的运动中甄别出 来。 具有更高的概括性和普适性

力学的变分原理：提供一种准则，将真实的运动 （满足动力学方程）从所有可能的运动中甄别出 来。 具有更高的概括性和普适性

4.1泛函和变分原理 弹簧的应变能（势能） 数值 数值 F(t) U(x) 77777777 弹簧的应变能只依赖于一点的 位移x,是自变量为x的函数

4.1 泛函和变分原理 弹簧的应变能（势能）   1 2 2 U x  kx 数值 数值   2 弹簧的应变能只依赖于一点的 位移x，是自变量为x的函数

等截面Euler-Bernoulli梁的应变能 函数 数值 e1-〔oj dx 对于连续的弹性体，应变能与所有点的位移有关，由于有 无穷多个点，位移是一条曲线，必须用函数表示。应变能 U的大小依赖于函数w(c)的形式，称为泛函(functiona)。 A w(x) w(x) 泛函的最简单例子：f（1)

    2 2 2 0 1 2 l d w x EI dx d U w x x             等截面Euler-Bernoulli梁的应变能 函数 数值 对于连续的弹性体，应变能与所有点的位移有关，由于有 无穷多个点，位移是一条曲线，必须用函数表示。应变能 U的大小依赖于函数w(x)的形式，称为泛函(functional)。 A B l x w2(x) w1(x) 泛函的最简单例子：f（1）

函数的微分Differential of a function y=f(x) 当自变量X有一增量：△x=X1·X0 函数y也有一增量： △y 0 =y1-yo f(x)f(xo) dy △y=f(x)△x dx dy f(x)dx dy与dx,分别称为自变量X与 x+dx 函数y的微分。 一一 微分问题

y = f(x) 当自变量 x 有一增量： 函数 y 也有一增量： Δ 1 0 y = y - y 1 0 = f(x ) - f(x ) 1 0 Δx = x - x 函数的微分 Differential of a function 1 0 = f(x ) - f(x ) Δy = f (x)  Δx dy 与 dx ，分别称为自变量 x 与 函数 y 的 微分。 dy = f (x)dx  —— 微分问题

泛函的变分variation of functional U=U[y(x)】 H(为 函数y有一微小变化： △y=y-y=y 泛函U也有一增量： △U=U[y(x)】-U[y(x)】=6U 函数的增量⊙y、泛函的增量U等 称为变分。 研究函数的变化与泛函的增量之间的关系称为变分问题

泛函的变分 variation of functional U U y x   ( ) 函数 y 有一微小变化： 1    y y y 泛函 U 也有一增量：          y     1    U U y x U y x ( ) ( )  U 函数的增量y 、泛函的增量 U 等 称为变分。 研究函数的变化与泛函的增量 之间的 关系称为变分问题

变分问题例子：最速下降问题 质点受重力作用从A到B沿曲线路径自由下滑，不考虑摩擦 力，求质点下降最快的路径。 40,0) P(x,y) B1) ro- 图7.1

变分问题例子：最速下降问题 质点受重力作用从A到B沿曲线路径自由下滑，不考虑摩擦 力 ，求质点下降最快的路径。 1 '2 0 1 ( ) 2 x y T y dx gy   

函数的极值： 若 y=f(x) 在X。处有极值， 则有： f'(x=0 泛函的极值 若Uy]在yx)处有极值， 则有： 6U[y(x)=0

函数的极值： 若 y f x  ( ) 在 x0 处有极值， 则有： 0 ( ) 0 x f x   泛函的极值 若 U[y(x)] 在 y0(x) 处有极值， U y x  ( ) 0  则有：

用泛函的极值问题表示的原理称为变分原理。 普通的动力学原理直接研究真实的状态，然后得到状态所 应满足的方程。而变分原理则不然，它不是专注于实际的 状态，而是考察约束所容许的一切可能的状态，根据真实 状态所满足的变分条件（如：真实位移使势能取极值，势 能变分为零)，进而得到真实状态所应满足的方程。 真实变形曲线

用泛函的极值问题表示的原理称为变分原理。 普通的动力学原理直接研究真实的状态，然后得到状态所 应满足的方程。而变分原理则不然，它不是专注于实际的 状态，而是考察约束所容许的一切可能的状态，根据真实 状态所满足的变分条件（如：真实位移使势能取极值，势 能变分为零），进而得到真实状态所应满足的方程。 真实变形曲线 {F}