华东理工大学：《信号与系统》课程教学资源（课件讲稿）第三章 傅里叶变换 §3.8 Fourier transform of sampling signals（抽样信号）

3.8 Fourier transform of sampling signals 时域抽样Time-domain sampling 一矩形脉冲抽样 冲激抽样Impulse-train 频域抽样 Frequency-domain sampling Q1：时域抽样，抽样后信号的F,(o)与原信号频 谱F(o)有何关系？ Q2:频域抽样，频域抽样后原函数f)与原始 信号f(t)有何关系？ Q3:何种情况下，可以从抽样信号中恢复原始 信号？

1 §3.8 Fourier transform of sampling signals • 时域抽样Time-domain sampling – 矩形脉冲抽样 – 冲激抽样 Impulse-train • 频域抽样 Frequency-domain sampling Q1：时域抽样，抽样后信号的 与原信号频 谱 有何关系？ Q2：频域抽样，频域抽样后原函数 与原始 信号 有何关系？ Q3：何种情况下，可以从抽样信号中恢复原始 信号？ () Fs F() ( ) 1 f t f (t)

时域抽样 设有一连续信号t),对其进行抽样的过程可 以看成是由原信号t)与一抽样脉冲序列s() 相乘的结果。 s(t f方可 s( i/() 0 1 如果s()为周期信号，即各脉冲间隔T,相同， 称为均匀抽样。f=1/T称为抽样频率，Q,=2π/T称 为抽样角频率。 2

2 1 时域抽样 设有一连续信号f(t),对其进行抽样的过程可 以看成是由原信号f(t)与一抽样脉冲序列s(t) 相乘的结果。 f t st f t s f t s 0 t Ts 3Ts f t 0 t Ts 3Ts s(t) t 如果s(t)为周期信号，即各脉冲间隔 相同， 称为均匀抽样。 称为抽样频率， 称 为抽样角频率。 Ts s Ts f 1/ s Ts  2/

矩形脉冲抽样信号的傅立叶变换 f、(t) × 0 0 2T:-Ts 0 T 2Ts o -2T、-T0Tg2T t So R回 米 30 -3 3 3

3 f(t) 0 0 0 0 s(t) 1 Ts Ts 2 Ts 2 Ts f ( t ) s 0 Ts Ts 2 Ts 2 Ts 0 m F() 0 m  s 3s 3s S() s  () Fs s s 0  s 3 s 3    * 矩形脉冲抽样信号的傅立叶变换

时域冲激抽样抽样的傅立叶变换 f(t) ↑s(t) ∫，(t) 0 0 F(@) S(@) F,(0) (0) 米 444 -0m0-t4 0 -20g -00 0,200 0 4

4 时域冲激抽样抽样的傅立叶变换 ( ) 1  S() ... ...  2s 0 s 2s f (t) s(t) f (t) s () Fs F() 0 0 0 0 0 m   m  s s    

原信号的频谱Fo与抽样信号频谱（⊙之间 的关系 在Fo冲完整的保留了F@这就是F(耐 =0(即图形最中间)的部分 ·风o与@在幅度上相差一个常数 当取矩形脉冲抽样时，系数为鸣） 当取冲激脉冲抽样时，系数为

5 原信号的频谱 与抽样信号频谱 之间 的关系 F() () Fs Ts 1 当取冲激脉冲抽样时，系数为       2   s s n Sa T E 当取矩形脉冲抽样时，系数为 •F()与Fs () 在幅度上相差一个常数 • 在 中完整的保留了 ，这就是 中 n=0（即图形最中间）的部分 () Fs () Fs F()

2、频域抽样 F(o) 6(0 (@) 0 -00⊙ -01001 6

6 2、频域抽样 F() 0  f(t) 0 t 1 1  f(t) 0 t 1 1 ( )   t T 1 1  T1 T1 0 t ( ) F1  0  1 0 1  ()  (1) 1 1 = = × *

§3.9抽样定理sampling theorem (一)时域抽样定理 奈奎斯特定理(Nyquist) 一个频率有限信号f(t)如果频谱只占据-0m→+0m 的范围，则信号∫(t)可以用等间隔的抽样值来唯一地表 示。而抽样间隔T,不大于 2fm 或者说最低抽样频率 为2fm· 奈奎斯特频率： fs=2fm 或 0=20 其中 m =2πfm 奈奎斯特周期： 2 7

7 §3.9 抽样定理sampling theorem • （一）时域抽样定理——奈奎斯特定理（Nyquist） 一个频率有限信号 如果频谱只占据 的范围，则信号 可以用等间隔的抽样值来唯一地表 示。而抽样间隔 不大于 ，或者说最低抽样频率 为 。 奈奎斯特频率： 或 其中 奈奎斯特周期： f (t) m m f (t) m 2 f 1 m m   2  f m 2 f s m f  2 f Ts m s f T 2 1   s  2 m

不满足抽样定理时产生频率混叠现象 六F,(⊙) F(@) O F(O) 0,=20 0 m

8 不满足抽样定理时产生频率混叠现象 0 t f(t) Ts ( ) F1  s 0 s  Ts 1 () Fs 0  f(t) 0 t Ts 1 s Ts s  m  m ( ) F1  0 s  s Ts 1 s  2 m

能从抽样信号无失真恢复原信号的两 个条件 信号t)因该是频带受限的，其频谱函数 在0>0，时为零 抽样频率不能过低，应有o,>20,或抽 样间隔不能太大，要求T,<12fm)。 9

9 能从抽样信号无失真恢复原信号的两 个条件 • 信号f(t)因该是频带受限的，其频谱函数 在 时为零。 • 抽样频率不能过低，应有 ，或抽 样间隔不能太大，要求 。  m s 2m 1/(2 ) s m T  f

(二)由抽样信号恢复原连续信号t) ) Afi) f(t) 理想低通滤波器 F(j@) H F(O) F() H(⊙) F(O) T A m0 0 0 0 m m m 10

10 o t o t f s (t) Ts 理想低通滤波器 f s (t) F × H( ) ＝ F( ) s (j) － m o  m －s s Fs ( ) T s A － m o  m H( ) Ts － m o  m F( ) A f(t) f(t)    （二）由抽样信号恢复原连续信号f(t)