中国科学技术大学：《计算机图形学》课程教学资源（讲义）第五章 几何对象与变换

第五章几何对象与变换 酒中国斜学术大室 University of Science and Technology of China 5.1几何 5.2表示 5.3变换

第五章 几何对象与变换 5.1 几何 5.2 表示 5.3 变换 2

5.1几何 中国斜草技术大学 University of Science and Technology of Chin ·与坐标无关的几何 ·仿射空间 一标量 一向量 一点 ·基本几何图元 一线段 一多边形

5.1 几何 • 与坐标无关的几何 • 仿射空间 – 标量 – 向量 – 点 • 基本几何图元 – 线段 – 多边形 3

基本几何要素 中国学我术大草 University of Science and Technology of China ·几何研究n维空间中对象之间的关系 一在计算机图形学中，我们对三维空间中的对象 感兴趣 ·希望得到一个几何形状的最小集合，根据 这个集合可以建立起更复杂的对象 ·需要三个基本元素 一标量 一向量 一点

基本几何要素 • 几何研究n维空间中对象之间的关系 – 在计算机图形学中，我们对三维空间中的对象 感兴趣 • 希望得到一个几何形状的最小集合，根据 这个集合可以建立起更复杂的对象 • 需要三个基本元素 – 标量 – 向量 – 点 4

坐标系 中国斜草我术大草 University of Science and Technology of China .3 三维坐标系 三维坐标系 二维坐标系 (右手系) (左手系)

坐标系 5 二维坐标系 三维坐标系 （右手系） 三维坐标系 （左手系）

与坐标无关的几何 中国斜学我术大草 University of Scie ·在初等解析几何中，主要应用的是直角坐 标系（笛卡尔坐标系) -点在空间中的位置是p=(仪，y,z) 一通过对这些坐标进行代数运算导出结果 ·这种方法不是基于物理的 一从物理的角度来讲，点的存在性是与坐标系的 具体位置无关的 一绝大多数几何结果是不依赖于坐标系的 一例如，在欧氏几何中，两个三角形全等是指它 们有两个对应边和夹角相等

与坐标无关的几何 • 在初等解析几何中，主要应用的是直角坐 标系（笛卡尔坐标系） – 点在空间中的位置是p = (x,y,z) – 通过对这些坐标进行代数运算导出结果 • 这种方法不是基于物理的 – 从物理的角度来讲，点的存在性是与坐标系的 具体位置无关的 – 绝大多数几何结果是不依赖于坐标系的 – 例如，在欧氏几何中，两个三角形全等是指它 们有两个对应边和夹角相等 6

标量 中国斜学我术大学 University of Science and Technology of China ·在几何中需要三个基本元素 一标量、向量、点 ·标量可以定义为集合中的成员，集合中具有两 种运算：加法和乘法 一两种运算满足交换律、结合律、分配律 -加法单位元(0)和乘法单位元(1) 一加法逆元和乘法逆元（隐含定义了减法和除法) ·例：实数或复数全体，通常的加法与乘法 ·标量自身没有几何属性 7

标量 • 在几何中需要三个基本元素 – 标量、向量、点 • 标量可以定义为集合中的成员，集合中具有两 种运算：加法和乘法 – 两种运算满足交换律、结合律、分配律 – 加法单位元(0)和乘法单位元(1) – 加法逆元和乘法逆元（隐含定义了减法和除法） • 例：实数或复数全体，通常的加法与乘法 • 标量自身没有几何属性 7

为什么需要向量？ 中国斜学我术大学 University of Science and Technology of China 场景：树与照相机 ·照相机需要在视平 面上形成一幅图像 表示这棵树。视平 面上哪些点需要被 激活？ ·透视投影需要利用 向量来构造 视平面 10

为什么需要向量？ 场景：树与照相机 • 照相机需要在视平 面上形成一幅图像 表示这棵树。视平 面上哪些点需要被 激活？ • 透视投影需要利用 向量来构造 10 视平面

为什么需要向量？ 中国斜草技术大学 niversity of Science and Technology of China 北斗七星的当前位置及移动方向 箭头末尾的位置表示五万年后各星的位置 11

为什么需要向量？ 北斗七星的当前位置及移动方向 箭头末尾的位置表示五万年后各星的位置 11

向量 中国斜学我术大草 University of Science and Technology of China ·物理定义：向量是具有如下两种属性的量 一方向 -大小或长度： ·例： 一力 一速度 一有向线段 ·这也是图形学中最重要的例子 ·可以对应到其它类型上 ·用小写字母表示 12

向量 • 物理定义：向量是具有如下两种属性的量 – 方向 – 大小或长度: |v| • 例： – 力 – 速度 – 有向线段 • 这也是图形学中最重要的例子 • 可以对应到其它类型上 • 用小写字母表示 v 12

向量运算 中国斜学我术大室 University of Science and Technology of China ·每个向量都有逆 一同样长度但是指向相反的方向 ·每个向量都可以与标量相乘 ·有一个零向量 一零长度，方向不定 ·两个向量的和为向量 一三角形法则 v=u+w u=V-w 13

向量运算 • 每个向量都有逆 – 同样长度但是指向相反的方向 • 每个向量都可以与标量相乘 • 有一个零向量 – 零长度，方向不定 • 两个向量的和为向量 – 三角形法则 v -v v v u w v = u + w u = v - w 13