武汉大学：《数值分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 函数逼近

oproximating function

51引言 函数逼近用比较简单的函数代替复杂的 函数 误差为最小,即距离为最小(不同的度 量意义)

5.1 引言 • 函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的 函数 • 误差为最小，即距离为最小（不同的度 量意义）

举例 对被逼近函数f(x)=sqrt(x),在区间 [0,1]上按如下三种不同的逼近方 式求其形如 p1(x)=ax+b 的逼近函数

举例 • 对被逼近函数f(x)=sqrt(x）,在区间 ［０ ，１］上按如下三种不同的逼近方 式求其形如 p1 (x)=ax+b • 的逼近函数

解(1)按插值法,以Xo=0,x1=1为插 值节点对f(x)作一次插值所得形如(1)式 的p1(X)是p1(x)=x ②按下列的距离定义 dis(f(x),P1(x)=lf(x)-p1(x)o0=max f(x)-P1(x) 的意义下,在P1[0,1]中求得与f(x)的距离最小的形如(1) 式的p1(x)是p1(×)=x+1/8. θ按距离dis(f(x),p1(x)=|f(x)-p1(×)川l2 (∫0f(x)-p1(x)2dx)12 的意义下,在P1[0,1]中求得与f(x)的距离最小的形如(1)式的 p1(X)是p1(×)=4/5X+4/15

• 解 （1)按插值法，以x0＝0, x1＝１为插 值节点对f(x) 作一次插值所得形如(1)式 的p1 (x)是p1 (x)=x. dis(f(x),p1 (x))=‖f(x)-p1 (x)‖∞=max|f(x)-p1 (x)| 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的形如(1) 式的p1 (x) p１(x)=x+1/8. ③按距离 dis (f(x),p１(x)) =‖f(x)-p1 (x)‖２ =(∫0 1 [f(x)-p１(x)２dx) 1/2 的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的形如(1)式的 p１(x) p１(x)=4/5x+4/15

可见,对同一个被逼近函数,不同距离 意义下的逼近,逼近函数是不同的

• 可见，对同一个被逼近函数，不同距离 意义下的逼近，逼近函数是不同的

预备知识: hebyshev多项式及其应用 · Chebyshev多项式及其性质 定义1称Tn(x)=cos(n 为n次 Chebyshev is very important 定义2(交错点绚石幽 的某一区间 [ab]上存在n个点{x}k=,使得 ①|f(×小=maxf(x×)|=‖f(×)川l,k=1,2,…,n; ·②-f(xk)=f(xk+),k=12,,n-1, 则称点集{x}k=1为函数氏(x)在区间[ab]上的一 个交错点组,点X称为交错点组的点

Chebyshev多项式及其应用 • Chebyshev多项式及其性质 • 定义1 称Tn(x)=cos(n arccos x),|x|≤1 • 为n次Chebyshev多项式 • 定义2(交错点组) 若函数f(x)在其定义域的某一区间 ［a,b］上存在n个点{xk } n k=1， • ①|f(xk )|=max|f(x)|=‖f(x)‖∞，k=1，2，…，n; • ②-f(xk )=f(xk+1)，k=1,2,…，n-1, • 则称点集{xk } n k=1为函数f(x)在区间［a,b］上的一 个交错点组，点xk称为交错点组的点. It is very important 预备知识：

Chebyshev多项式的性质 性质1n次 Chebyshev多项式Tn(x)的 首项系数为2n1 性质2n次 Chebyshev多项式相邻三项 有递推关系 T0(X)=1T1(X)=x Tn+1(x)=2xTn(X)-Tn1(x),n=1,2 ···

Chebyshev多项式的性质 • 性质1 n次Chebyshev多项式Tn (x)的 首项系数为2n-1 • 性质2 n次Chebyshev多项式相邻三项 有递推关系 ： • T0 (x)=1,T1 (x)=x, • Tn+1(x)=2xTn (x)-Tn-1 (x),n=1,2,…

性质3( chebyshev多项式序列{T(x) 在[-1,1]上满足 0,当m≠n 2(x)Tx2(x) dx={x,当m=n=0 当m=n≠0

性质6 当 2k-1 cOS z(k=1,…,mn)时(x)=0,即{x1, 2 xn}为T(x)的n个零点。 性质8 M,W//(=0,,…,n时,T(4)交错取到极大值1 和极小值-1,即Tn(t4)=(-1)‖Tn(x)

当 时 ，即 {x1 , …, xn } 为Tn (x)的n个零点。 ( 1, ... , ) 2 2 1 cos k n n k xk  =      − =  Tn (xk ) = 0 •性质6 •性质8  当 时， 交错取到极大值 1 和极小值−1，即 cos (k 0, 1, ... ,n) n k t k  =      =  ( ) n k T t = −  T (t ) ( 1) ||T (x)|| n k n k

denote T(x)=一 显然T(是着项系数为1的n次 Chebyshev多项式 又若记w[一 为的n次多项式的集令]首项系数 为一切定义在[-1,1]

denote • • 显然 是首项系数为1的n次 Chebyshev多项式. • 又若记 • 为一切定义在［－１，１］上首项系数 为1的n次多项式的集合 * ( ) T x n * 1 ( ) ( ) 2 n n n T x T x − = * [ 1,1] P n −