武汉大学：《数值分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 常微分方程初值问题的单步法

阶常微分方程初值问题的数值方法 单步法 武汉大学数学与统计学院

一阶常微分方程初值问题的数值方法 ------单步法 武汉大学数学与统计学院

阶常微分方程初值问题的一般形式是: ∫y=f(x ,少),a<x<b D={(x,y)a≤x≤b,csy≤d}

一阶常微分方程初值问题的一般形式是: 0 ( , ), (1) ( ) {( , ) , } y f x y a x b y a y D x y a x b c y d   =     = =    

称(x2y)在区域D上对y满足 Lipschitz 条件是指: 彐L>Os,t f(x, yi)-f(x,y2<Ly-y2 Vx∈[a,b],y,y2∈[e,d

称f(x,y)在区域D上对y满足Lipschitz 条件是指: 1 2 1 2 1 2 0 . . ( , ) ( , ) , [ , ], , [ , ] L s t f x y f x y L y y x a b y y c d   −  −   

利用 Picard逼近容易证明 Th若(x,y)在区域D上连续, 且对y满足 Lipschitz条件,则初 值问题(1)在[a,b]上存在唯 的连续可微解y

• 利用Picard逼近容易证明: Th1 若f(x,y)在区域D上连续, 且对y满足Lipschitz条件,则初 值问题(1)在[a,b]上存在唯一 的连续可微解y

利用 Gronwall不等式易证解连续依 赖于初值条件: Th2设f(x,y)在D上连续,且对y满足 Lipschitz 条件,若y(x;s)是初值问题 「y′=f(x,y),a<x<b y(a)=S 的解,则有 y(x,S1)-y(x;s,)≤el(x-a)\s,-S小

利用Gronwall不等式易证解连续依 赖于初值条件: ( ) 1 2 1 2 2 ( , ) ( ; ) ( ; ) . L x a Th f x y D y x s y x s e s s −     −  − 设 在 上连续,且对y满足Lipschitz 条件,若y(x;s)是初值问题 y =f(x,y),a<x<b y(a)=s 的解,则有

Euer方法 a=x0<x1<x2<……<xM1<xN=b, b x, =xo +jh, h ,j=1,2,…,N. -=y(x V=y+bf(x1,y),=0,1,…,N

一 . Euler方法 0 0 1 ( ), ( , ), 0,1, , 1 i i i i y y x y y hf x y i N +  =  = + = −  0 1 2 1 0 , , , 1,2, , . N N j a x x x x x b b a x x jh h j N N =      = − − = + = =

局部截断误差 对于数值方法 Vi1=y,+ hp(i, yi,h), 局部截断误差定义为 e+1=y(x+1)-[y(x)+h(x1,y(x,),h)

局部截断误差 1 1 ( , , ), ( ) [ ( ) ( , ( ), )] i i i i i i i i y y h x y h y x y x h x y x h   + + = + i+1 = − + 对于数值方法 局部截断误差定义为: e

Euler方法的局部截断误差 y(x1)=y(x)+hy(x)+h2y”(5), 2 x<c<x +15 y(x1+1)=y(x1)+hf(x1,y(x1))+O(h) i+1 O(2)

Euler方法的局部截断误差 2 1 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), 2 , ( ) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i y x y x hy x h y x x y x y x hf x y x O h e O h   + + + + = + +      = + +  =

二.改进的 Euler方法 因为y(x+)=y(x)+∫"(x,y(x)x h f(x;,y(x))+∫( i+15 y(x+1))] +1=y1+hf(x1,v), h 得到{y+=y+[f(x,y)+f(x+1,y+) 2 0.1.∴.N-1

二.改进的Euler方法 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ( )) [ ( , ( )) ( , ( ))] 2 ( , ), [ ( , ) ( , ), 2 0,1, , 1 i i x i i x i i i i i i i i i i i i i i y x y x f x y x dx h f x y x f x y x y y hf x y h y y f x y f x y i N + + + + + + + + = +  +  = +    = + +   = −  因为  得到

改进的Euer方法的局部截断误差 y'=f(r,y y=f+f y'=f+ff y(x-)=y(x)+f(x1,y(x)+=[f(x2,y(x1 2 +f(x2y(x)f(xy(x)+0(h)

改进的Euler方法的局部截断误差 2 1 3 ( , ) ( ) ( ) ( , ( )) [ ( , ( )) 2 ( , ( )) ( , ( ))] ( ) x y x y i i i i x i i y i i i i y f x y y f f y f f f h y x y x hf x y x f x y x f x y x f x y x O h +  =  = + = +    = + + + +