《现代编码理论与技术》课程教学资源（PPT讲稿）第五章 循环码

State Key Laboratory of Integrated Serv ices Networks 国家重点实验室 第五章循环码

State Key Laboratory of Integrated Services Networks 第五章 循环码

国家重点实验室 要求掌握的内容 ◇根据多项式会写循环码的生成矩阵和校验矩阵 ◎会写循环码生成和校验矩阵的系统形式 ◎会画循环码的编码电路 ◇由生成多项式的根定义循环码

要求掌握的内容 根据多项式会写循环码的生成矩阵和校验矩阵 会写循环码生成和校验矩阵的系统形式 会画循环码的编码电路 由生成多项式的根定义循环码

国家重点实验室 第一节循环码 9定义 循环码的生成多项式和校验多项式 ◎循环码的生成矩阵和校验矩阵 ◎循环码的系统码形式

第一节 循环码 定义 循环码的生成多项式和校验多项式 循环码的生成矩阵和校验矩阵 循环码的系统码形式

State Key Laboratory of Integrated Serv ices Networks 国家重点实验室 循环码定义

State Key Laboratory of Integrated Services Networks 一、循环码定义

国家重点实验室 定义1:设C是一个[n小线性分组码,c1是其 中的一个码字,若C的左(右)循环移位得到的n 维向量也是c中的一个码字,则称C是循环码。 定义2:设Vnk∈V是n维空间的一个k维子空间, 若对任→"=(an1,an=2,…,a0)∈Vnk 恒有v 2,n-1,0 ∈Vn,k 则称Vnk为循环子空间或循环码

定义1：设CH是一个[n.k]线性分组码，C1是其 中的一个码字，若C1的左(右)循环移位得到的n 维向量也是CH中的一个码字，则称CH是循环码。 定义2：设 Vn,k Vn 是n维空间的一个k维子空间， 若对任一 ( ) an 1 an 2 a0 Vn,k v = − , − ,  ,  恒有 ( ) 1 an 2 an 1 a0 an 1 Vn,k v = − , − ,  , , −  则称Vn,k为循环子空间或循环码

State Key Laboratory of Integrated Serv ices Networks 国家重点实验室 问题 如何寻找k维循环子空间? 如何设计[n,k循环码? 利用多项式和有限域的概念

State Key Laboratory of Integrated Services Networks 问题一 如何寻找k维循环子空间？ 如何设计[n,k]循环码？ —— 利用多项式和有限域的概念

国家重点实验室 汪: 1、GF(p)上的n维向量与GF(p)上的多项式之间有一一对 应的关系 (an-1,an-2,…,ao)a1∈GF(p) n-1 am 1x n-1 十…··十a 2、模n多项式F(x)的剩余类构成一个多项式剩余类环 Fx]F(x),若在环中再定义一个数乘运算,即 2 十a,2X Ca.1x n-I+can-2 xn-2+…+caa,C∈GF 则模F(x)的剩余类构成一个m维线性空间,定义为剩余类 线性结合代数

(a a a ) a GF(p) n−1 , n−2 ,  , 0 , i  a x a x a f (x) n n n n + + + = − − − − 0 2 2 1 1  注： 1、GF(p)上的n维向量与GF(p)上的多项式之间有一一对 应的关系 2、模n 多项式F(x)的剩余类构成一个多项式剩余类环 Fp [x]/F(x)，若在环中再定义一个数乘运算，即 ( ) ca x ca x ca c GF(p) c a x a x a n n n n n n n n = + + +  + + + − − − − − − − − , 0 2 2 1 1 0 2 2 1 1   则模F(x)的剩余类构成一个n维线性空间，定义为剩余类 线性结合代数

State Key Laboratory of Integrated Serv ices Networks 国家重点实验室 问题一转化为 如何从模多项式x-1的剩余类结合 代数中寻找循环子空间?

State Key Laboratory of Integrated Services Networks 问题一转化为 如何从模多项式x n -1的剩余类结合 代数中寻找循环子空间？

国家重点实验室 定理 以多项式x-1为模的剩余类线性结合代数中,其 个子空间Vn为循环子空间(或循环码)的充要条件 是:Vnk是一个理想 循环码是模xn-1的剩余类线性结合代数中的一个 理想

定理 以多项式x n-1为模的剩余类线性结合代数中，其一 个子空间Vn, k为循环子空间(或循环码)的充要条件 是：Vn,k是一个理想。 循环码是模x n-1的剩余类线性结合代数中的一个 理想

State Key Laboratory of Integrated serv ices Networks 国家重点实验室 问题二 如何从多项式剩余类环中 寻找理想?

State Key Laboratory of Integrated Services Networks 问题二 如何从多项式剩余类环中 寻找理想？