《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第3章 随机变量及其分布 3.4 随机向量

第六节随机向量

第六节 随机向量

一维随机变量及其分布多维随机向量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量

一维随机变量及其分布 多维随机向量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量

到现在为止，我们只讨论了一维r:v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的飞机的重心在空中的位置是由三个rvV(三个坐标）来确定的等等

到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其 分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述 还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由 一对r.v(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三 个坐标）来确定的等等

一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X，X，，X)为n维随机变量或随机向量.以下重点讨论二维随机变量请注意与一维情形的对照

一般地，我们称n个随机变量的整 体X=(X1 , X2 , .，Xn )为n维随机变量或 随机向量. 以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照

二维随机向量(XY)一维随机变量X离散型离散型联合分布X的概率函数X和Y的联合概率函数P(X=x)=Pk）P(X=x;,Y = y;)=Pijk=1,2, ...i, j=1,2, ...Pk ≥0, k=1,2,...Pi, ≥0,i, j= 1,2,...Zp:=lZpi, =1kij

二维随机向量（X,Y） 联合分布 离散型 ( , ) , i j i j P X=x Y = y =p i, j =1,2, .     =  =  i j i j i j p p i j 1 0, , 1,2, X和Y 的联合概率函数 ( ) , k k P X=x =p k=1,2, . 离散型 一维随机变量X  0, pk  = k k p 1 k=1,2, . X的概率函数   

一维随机变量X二维随机变量(X,Y)X的分布函数X和Y的联合分布函数F(x) = P(X≤x)F(x, y) = P(X≤x,Y≤y)18X8-8<X,<8

二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数 F(x, y) = P(X x,Y  y) −   x, y   F(x) = P(X x) −  x   X的分布函数 一维随机变量X

二维随机变量(X,Y)一维随机变量X连续型连续型X的密度函数X和Y的联合密度函数f(x,y)Pla≤X≤b)P((x, y) E A).b JJ f(x, y)dxdyf f(x)dxAcRAf(x)≥0f(x,y) ≥0 f(x)dx =1f(x, y)dxdy= 1

 = b a f (x)dx 连续型 一维随机变量X X的密度函数   − f (x)dx =1 f (x)  0 P{a  X  b} 二维随机变量（X,Y） 连续型 f (x, y) X和Y 的联合密度函数 f (x, y)  0    −  − f (x, y)dxdy =1 f x y dxdy A  = ( , ) P{( x, y) A} A  2

例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设x为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率函数。解： (X, Y) 可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8列表如下P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/83Y1X001/8P(X=2, Y=1)=3/83/801203/8P(X=3, Y=0)=1/8301/8

例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求 (X,Y)的概率函数. 解：（ X, Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3) P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=3, Y=0)=1/8 列表如下

左你二维联合分布三上-量(X,Y)的取值及其注意这两个分布正好是量XY也具有自己已白表的行和与列和二者之间有什么关从表中不难求得1Y3XP(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8001/83/801P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8,023/8301/8P(Y=1)=P(X-1, Y=1)+P(X-2, Y=1)=3/8+3/8=6/8P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8

二维联合分布全面地反映了二维随机变 量(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变 量X,Y也具有自己的概率分布. 那么要问: 二者之间有什么关系呢? 从表中不难求得: P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8, P(Y=1)=P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1)=3/8+3/8=6/8, P(Y=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3)=1/8+1/8=2/8. 注意这两个分布正好是 表的行和与列和

这里称X,Y各自的概率函数分别为(X,Y)关于X和Y的边缘概率函数我们常将边缘概率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词。3Y1P(X=x)如表x所示001/81/83/803/81023/83/831/801/86/82/81P(Y=Y:)

这里称X,Y各自的概率函数分别为(X,Y) 关于X和Y的边缘概率函数. 我们常将边缘概率函数写在联合概率 函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这 个名词. 如表 所示