《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第3章 随机变量及其分布 3.2 随机变量的数字特征

概率论与数理统计F(x),p(x,),f(x)是完整的描述r.v.X的取值规律但有时候很难完整地考察X的分布或者不需要完整去考察X的分布如X---家庭收入，我们只需要知道平均收入、贫富差距如何？Y---考试成绩，我们关心的是平均分、两极分化程度如何？我们把由分布综合出来的指标叫做数字特征，有：相关系数，矩数学期望，方差，协方差，上一页返回下一页

F(x), p(x ), f (x) i 是完整的描述r.v.X 的取值规律， 但有时候很难完整地考察X的分布或者不需要完整 去考察X的分布。 如 X-家庭收入，我们只需要知道平均收入、 贫富差距如何？ Y-考试成绩，我们关心的是平均分、两极分化 程度如何？ 我们把由分布综合出来的指标叫做数字特征，有： 数学期望，方差，协方差，相关系数，矩 上一页 下一页 返回

概率论与数理统计随机变量的数字特征数学期望方差协方差与相关系数矩、协方差矩阵

随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差与相关系数 矩、协方差矩阵

概率论与数理统计数学期望Mathematical expectation数学期望的定义一随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质四、常用分布的数学期望上一页下一页返回

一、数学期望的定义 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、常用分布的数学期望 Mathematical expectation 数学期望 上一页 下一页 返回

概率论与数理统计一、数学期望的定义XX X2xn定义1PiP2Pn8Z1 E(X) =数学期望XkPkk=188Z条件：xP收敛XkPk 绝对收敛,即k=1k=1EX是Xi的所有可能值（以概率为权重）的加权平均值，简称为均值或中心返回上一页下一页

定义1     n n p p p X x x x 1 2 1 2 数学期望   = = 1 ( ) k E X xk pk   k=1 条件： xk pk 绝对收敛， 即 收敛  k=1 xk pk 一、数学期望的定义 EX是 Xi的所有可能值（以概率为权重） 的加权平均值, 简称为均值或中心 上一页 下一页 返回

概率论与数理统计定义2X---连续型，f(x)---概率密度数学期望 EX = xf(x)dx[xf(x)dxxf(x)dx绝对收敛,即条件：收敛返回上一页下一页

定义2 X-连续型， f ( x)-概率密度 数学期望  +  − EX = xf (x)dx  +  − 条件： xf (x)dx 绝对收敛， 收敛 即  +  − x f (x)dx 上一页 下一页 返回

概率论与数理统计例1：某厂产品的次品率为0.2，每生产一件合格品赢利8元，而每生产一件次品亏损2元，求该厂每件产品的平均利润？解：用X表示每件产品的利润，则X的分布律为：8-2X0.20.8p所以 EX=(-2)-0.2+8-0.8=6 .返回上一页下一页

例1：某厂产品的次品率为0.2 ，每生产一件 合格品赢利8元，而每生产一件次品亏损2元，求 该厂每件产品的平均利润？ 解：用X表示每件产品的利润，则 X的分布律为： x -2 8 p 0.2 0.8 所以 EX=(-2)·0.2+8·0.8=6 . 上一页 下一页 返回

概率论与数理统计例2：设随机变量X取值为2k=1,2,...时,(-1)Xk =k1对应的概率为: Pk2k试问随机变量X的数学期望是否存在？Pt=21解：由于xa| Pe=(-1)24kk=1k=1K=81Z级数发散,故EX不存在。k=ik返回上一页下一页

, 1,2,时 ， 2 = (−1) k = k x k k k 例2: 设随机变量X取值为 k k p 2 1 对应的概率为: = 试问随机变量X的数学期望是否存在?     =  =  = = −  = 1 1 1 1 2 2 1 ( 1) k k k k k k k k k k 由 于 x p 级 数 发 散 故EX不存在。 k k , 1 1   = 解: 上一页 下一页 返回

概率论与数理统计例3：设随机变量X的概率密度为：x>0求EXf(x0,x≤0EX =xf(x)dx解：+8+8Xdxxdexe1008+8-×dx|= 1X一1返回上一页下一页

例3：设随机变量X的概率密度为： EX x e x f x x 求      = − 0, 0 , 0 ( )  +  − EX = xf (x)dx   +  − +  − = = − 0 0 x x xe dx xde] 1 0 [ 0 − = +  = −  + − − xe e dx x x 解: 上一页 下一页 返回

概率论与数理统计二、随机变量函数的数学期望Y =g(X), Z=g(X,Y), 求EY, EZ1、一维随机变量函数的数学期望(1) X---离散型Y = g(X)离散: yi, y2,..", Yk,..8Zy,P(Y = yk)EY =k=1一般项返回上一页下一页

二、随机变量函数的数学期望 Y = g(X)离散: y1 , y2 ,  , yk ,  1、一维随机变量函数的数学期望 Y = g(X), Z = g(X,Y ), 求EY, EZ (1) X-离散型   = = = 1 ( ) k k k EY y P Y y 一般项 上一页 下一页 返回

概率论与数理统计EY = E[g(X)]= Z(g(x) Px(x)k=1函数值(2）X---连续型EY = E[g(X)]= Jtm g(x)fx(x)dx函数值2、二维随机变量函数的数学期望(X,Y)离散: Zg(x,y,)p(x,y,)i,jE[g(X,Y)] =ft fm g(x, y) f(x,y)dxdy(X,Y)连续：返回上一页下一页

    = = =  1 ( ) ( ) ( ) k EY E g X g xk pX xk 函数值 （2）X-连续型    +  − EY = E g(X) = g(x) f X (x)dx 函数值 2、二维随机变量函数的数学期望      =    +  + - − , ( , ) : ( , ) ( , ) ( , ) : ( , ) ( , ) [ ( , )] X Y g x y f x y dxdy X Y g x y p x y E g X Y i j i j i j 连 续 离 散 上一页 下一页 返回