《大学物理学》课程教学资源（PPT课件）第二章 力学中的守恒定律 §2-1 机械能守恒定律

第一章力学中的守恒定律

1 第二章 力学中的守恒定律

第二章力学中的守恒定律s2-1 机械能守恒定律82-2动量守恒定律82-3角动量守恒定律

2 第二章 力学中的守恒定律 §2-1 机械能守恒定律 §2-2 动量守恒定律 §2-3 角动量守恒定律

S2-1机械能守恒定律一、功和功率1、功（work）：力在物体移动过程中的空间效果Ar101恒力所作的功△A= FcoS△rF1记作 ΛA=F.π（点乘积，标量积）P位移无限小时： dA= F·drdA称为元功，功等于质点受的力和它的位移的点积2）变力所作的功如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿一曲线运动，则功的计算如下：

3 F  φ Q P r  Δ §2-1 机械能守恒定律 一、功和功率 1、功（work）:力在物体移动过程中的空间效果 1） 恒力所作的功 dA 称为元功，功等于质点受的力和它的位移的点积。 2） 变力所作的功 记作 A F r   Δ = Δ 位移无限小时： 如果力是位置的函数，设质点在力的作用下沿 一曲线运动，则功的计算如下： ΔA = F cosφΔr A F r   d = d (点乘积，标量积)

元位移：dr元功：dAodrD在元位移中将力视为恒力，力FF沿P、Q所作的功为所有无限小段Odr位移上的元功之和。PdA = F .dr = F cos pdr = F cos pdsA=TdA=F.dr解析式 : A=[(F,dx+ F,dy+ F,dz)3）合力所作的功A=['F.dr -'EF·dr-ZI'F·dr =ZA

4 在元位移中将力视为恒力，力 沿P、Q所作的功为所有无限小段 位移上的元功之和。 3） 合力所作的功   = =  Q P Q P A A F r   d d dA = F dr = F cos dr = F cosds    元功：dA 元位移： r  d Q P r  d F   r  d F   A F dr F dr b a i i b a     =  =      d  =  i b a i F r   =  i Ai 解析式：  = + + Q P x y z A (F dx F dy F dz)

注意：(1)功是过程量，与路径有关；(2)功是标量但有正负；(3)合力的功为各分力的功的代数和2、功率（power）dA公式为： p=力在单位时间内所作的功dt功率的另一种形式:P=F-F.。dt功率等于力在运动方向的分量与速率的乘积，或等于力的大小与速度在力的方向的分量的乘积。SI制中功的单位是J（焦耳，简称焦)，1J=1N·m功率的单位：J·s-1(焦耳/秒)或W(瓦特,简称瓦)

5 2、功 率（power） 力在单位时间内所作的功 v     d d =  = F  t r 功率的另一种形式： P F t A P d d 公式为： = 功率等于力在运动方向的分量与速率的乘积，或 等于力的大小与速度在力的方向的分量的乘积。 SI制中功的单位是J (焦耳，简称焦)，1J=1Nm 功率的单位：Js −1 (焦耳/秒)或W (瓦特, 简称瓦) 注意：(1)功是过程量，与路径有关；(2)功是标量， 但有正负；(3)合力的功为各分力的功的代数和

研质量为m的小球系在长度为R的细绳末端细绳的另一端固定在点A，将小球悬挂在空间。现小球在水平推力F的作用下，缓慢地从竖直位置移到细绳与竖直方向成α角的位置。求水平推力F所作的功（不考虑空气阻力)。解取如图所示的坐标系A小球受推力F、细绳的张力F和小球所受重力mg三个力始R终是平衡的,即deF2F + F + mg = 0dFhl其分量式为：xF0在x方向：F sinの=Fmg在y方向：Fcosθ=mg

6 θ F  mg  FT  y x O ｛h l  d 解 取如图所示的坐标系, F + FT + mg = 0    其分量式为: 在x方向 : FT sin = F 在y方向 : F cos = mg T A α R F  例1 质量为m的小球系在长度为R的细绳末端, 细绳 的另一端固定在点A, 将小球悬挂在空间。现小球在水 平推力 的作用下, 缓慢地从竖直位置移到细绳与竖直 方向成角的位置。求水平推力 所作的功(不考虑空气 阻力)。 F  F  小球受推力 、细绳的张力 和小球所受重力 三个力始 终是平衡的, 即 F  mg  FT  dθ

J上两式相除得F = mg taneATNa取元位移dl，变力F所作的元功为RdodA= F.dl = Fcosd sFT1F= F cosORdoh(xF0偏转α角的过程中的总功为mgA =J dA= Jα FRcosOdo = JαmgR tanOcosOdo= mg RJα sin Odo = mg R(1 - cosα)

7 上两式相除得 F = mg tanθ 取元位移 l ，变力 所作的元功为  d F  偏转α角的过程中的总功为 A A FR mgR mg R mg R = = = = = −     d d tan d d cos cos sin ( cos ).            0 0 0 1 F θR θ A F l F s cos d d d cos d = =  =    θ F  mg  FT  y x O ｛h l  d A α R F  dθ

例2已知弹簧的劲度系数k=200N·m-1，若忽略弹簧的质量和摩擦力.求将弹簧压缩10cm，弹性力所作的功和外力所作的功y解：取如图所示的坐标系oxF=-kxi弹簧的弹力为在x处取元位移dx，弹力所作元功2WdA= F.dxi =-kxi.dxi =-kxdxx0x弹性力所作的总功为A =[ dA = Jo1-kx dx = -1.0 J外力所作的功为 A' = -A=1.0J

8 例2 已知弹簧的劲度系数k = 200Nm−1 , 若忽略弹簧 的质量和摩擦力,求将弹簧压缩10cm , 弹性力所作的功 和外力所作的功。 x O y x x O y 解：取如图所示的坐标系 弹簧的弹力为 F kxi   = - 在x 处取元位移dx, 弹力所作元功 dA = F  dxi = -k xi dxi = -k xdx     弹性力所作的总功为 A =  dA =  −kx dx = − J 0 0.1 1.0 外力所作的功为 A = −A = 1.0J

二、动能和动能定理7O质点由点P运动到点O，合力对质点所作的功为QA=-[F.dr=-ma.dr?Fdrdadr=odta三UpdtPda一QC2midoAdtmommo一O2P2dtD质点的动能(kineticenergy）定义：质点的质量与其运动速率平方的乘积的一半。用E;表示，即 E, =-mo2

9 二、动能和动能定理 P P v  r  d F  Q Q v  质点由点P 运动到点Q，合力对质点所作的功为 质点的动能(kinetic energy)定义：质点的质量与 其运动速率平方的乘积的一半。 用Ek表示，即   =  =  Q P Q P A F r ma r     d d 2 2 2 1 2 1 d d d d P Q P Q Q P t m m m t A m v v v v v v =  =  = −       , d d t a v   = dr vdt   = 2 k 2 1 E = mv

所以有A= Eko- Ekp动能定理：等于质点作用于质点的合力所作的功，动能的增量。扩展：所有外力和内力对物体系所作的功之和等于物体系总动能的增量。A>O，表示合力F对质点作正功Eko-Ekp>0，质点的动能增大;A<O，表示合力F对质点作负功，Eko-Ekp<O,质点的动能减小;所以说，功是质点能量改变的量度。10

10 A E Q E P 所以有 = k − k 动能定理：作用于质点的合力所作的功，等于质点 动能的增量。 A > 0 ，表示合力 F 对质点作正功，  EkQ - EkP > 0 ，质点的动能增大； A < 0 ，表示合力 F 对质点作负功，  EkQ - EkP < 0 ，质点的动能减小； 所以说，功是质点能量改变的量度。 扩展：所有外力和内力对物体系所作的功之和等 于物体系总动能的增量