《大学物理学》课程教学资源（PPT课件）第二章 力学中的守恒定律 §2-3 角动量守恒定律

S2-3角动量守恒定律一、力矩二角动量和角动量定理三、角动量守恒定律

1 §2-3 角动量守恒定律 一、 力矩 二、 角动量和角动量定理 三、 角动量守恒定律

一、力 矩 (moment of force)1、力矩的一般意义7.F力矩M=r×FMr大小dM=Fd=Fr sino0方向右手定则yx单位N·m (牛顿米)ML?T-2量纲右手定则四指由矢径r通过小于180°的角度转向力F的方向，拇指指向就是力矩的方向

2 一、 力 矩 (moment of force) 大小 M= F d = F r sinθ 力矩 M r F    =  单位 N·m (牛顿米) 量纲 2 2 ML T − 方向 右手定则 r  M  F  y x z O  d 1、力矩的一般意义 右手定则 四指由矢径 通过小于180º 的角度 转向力 的方向，拇指指向就是力矩的方向。 r  F 

2、力对轴的力矩在以参考点0为原点的直角坐标系中,M表示为M=Mi+M,+Mk质点P的位置矢量r和作用力F可表示为r=xi+yj+zk, F=Fi+Fj+Fkijk则 M=r×F=x zFFF-(yF -zF,)+(zF,-xF)i+(xF, -F.)k

3 2、力对轴的力矩 M Mx i My j Mz k     = + + 质点P 的位置矢量 r 和作用力 可表示为  F  r xi yj zk     = + + F Fx i Fy j Fz k     ， = + + 则 Fx Fy Fz x y z i j k M r F       =  = (yFz zFy )i (zFx xFz )j (xFy yFx )k    = − + − + − 在以参考点O为原点的直角坐标系中, M 表示为 

M,= yF. - zFM,-zF -xF分量式M, =xF,-yFx力矩沿某坐标轴的分量通常称作力对该轴的力矩z下面计算力对轴的力矩H由图可见x = Rcosαy= Rsin αOF =F'cosβF, = F'sin β_ R广RI代入M,式中可得LxQ

4 分量式      = − = − = − z y x y x z x z y M x F yF M zF x F M yF zF 力矩沿某坐标轴的分量通常称作力对该轴的力矩。 下面计算力对z轴的力矩 由图可见     cos sin cos sin F F ' F F ' x R y R x y = = = = 代入 Mz式中可得 P  F   R⊥ O r  Q β φ z y x F'  F'  R  φ

力对z轴的力矩7M_ = RF(cososin β-sinαcos β)=RF'sin(β-α) RF'sinΦ式中R、F为r、F在xy平面上O的投影。R如果知道力矩矢量的大小和X0它与z轴之间的夹角,那么力7F对轴的力矩也可按下式求得0MM, = Mcos y0- rFsin Ocosy福X

5 x y z O   F  r  M  如果知道力矩矢量的大小和 它与 z 轴之间的夹角 , 那么力 对z轴的力矩也可按下式求得 M Mcos z = = rFsincos M = RF'(cossin  −sincos) z = RF'sin( −)= RF'sin  P  F   R⊥ O r  Q β φ z y x F' F'R  φ l z l z 力对z轴的力矩 式中R、 为 在xy平面上 的投影。 r F   F'

角动量和角动量定理一1、角动量(angularmomentum)moZ.设质点的质量、位矢、速度0和动量分别为 m、rU、p。P11质点相对参考点0的角动量定义为0I =r×p=r×mox大小 1=rmosinθ1P1m.方向右手螺旋定则判定O量纲 ML2T1单位kg-m?/s

6 1、角动量 (angular momentum) 大小 l＝rmvsin 方向 右手螺旋定则判定 单位 kg·m2 /s 量纲 ML2T-1 v      l = r  p = r m m、r、  v、  p  设质点的质量、位矢、速度 和动量分别为 。 质点相对参考点O的角动量定义为 m O θ l  r  p  r  l  P v  m x y z  O  二、 角动量和角动量定理

质点对通过参考点O的任意轴线Oz的角动量l，是质点相对于同一参考点的角动量1沿该轴线的分量。mol, = lcos y70如果质点始终在Oxy平面上运动P质点对Oz轴的角动量与对参考点0的角动量的大小是相等的，即l =l = rmosin 0x注意：面对z轴观察,由r方向沿逆时针转向m的方向所形成的角才是0角

7 质点对通过参考点O 的任意轴线Oz 的角动量l z , 是 质点相对于同一参考点的角动量l 沿该轴线的分量。 l lcos z = 如果质点始终在Oxy平面上运动， 质点对Oz 轴的角动量与对参考点O 的角动量的大小是相等的，即 l z = l = rmvsin  x y z P  O  r  l  v  m l z 注意: 面对 z 轴观察, 由 方向沿逆时针转向 的方 向所形成的角才是 角。 r  v  m

（4）对轴的动量矩在具体的坐标系中，动量矩在各坐标轴的分量就叫对轴的动量矩L=r×P=Lx+L,y+L.2例1一质点m，速度为v，如图所示，A.malAB、C分别为三个参考点,此时m相对三个点的距离分别为di，dzd求此时刻质点对三个参考点的动量矩解 L=dmU LB=dmU L=O B L---c8

8 (4) 对轴的动量矩 在具体的坐标系中，动量矩在各坐标轴的分量， 就叫对轴的动量矩。 ˆ ˆ ˆ L r P L x L y L z =  = + + x y z 例1 一质点m，速度为v，如图所示，A、 B、C 分别为三个参考点,此时m 相对 三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 求 此时刻质点对三个参考点的动量矩 LA = d1mv LB = d1mv = 0 LC d1 m d2 d3 A B C v  解

3）力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影等于该力对该轴的力矩例2：圆锥摆球在水平面内匀速转动，分别讨论对固定点A和O点，小61球受的张力矩，重力矩和角动量。RM, =RxT解：对于A点=mgRsin0= mgrM,=Rxmgmg0LA=R×mv对于0点：M=rxT=rTcoseLo=×mvM.=ixmg=mgrS9

9 (3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影， 等于该力对该轴的力矩。 O mg T  r Lo r A LA r r 例2：圆锥摆球在水平面内匀速转 动，分别讨论对固定点A和O点，小 球受的张力矩，重力矩和角动量。 解： 对于A点 R  = = mgR mgr sin 对于O点： = rT cos = mgr M A R T    =  M R mg    g =  L R mv A    =  M A r T    =  M mg    g = r L r mv O    = 

另外，作圆周运动的质点的角动量Dl=m rv2、角动量定理(theorem of angularmomentum)1=π×P，两边求导角动量政dldrddp(r×p)Xp+rxdtdtdtdt10

10 2、角动量定理 (theorem of angular momentum) t p p r t r r p t t l d d d d ( ) d d d d        =  =  +  l r p    角动量 =  ，两边求导 另外，作圆周运动的质点的角动量 l=m r v O r  p  l 