《数学分析》第十二章习题二

1设D={(x,y)∈R10≤x≤1,0≤y≤1},计算:‖2xy-1ldc D xy=0.5 解:I 1 dxdy (1-2xy)do +l(2xy-1)do ∫∫4-2xy)+2』(2x- -∫md(1-2)+2上(2x-1d 22x =(2l2+1)。 2.求球面x2+y2+2=a2,(a>0)被平面二=, 所夹部分的面积 解:球面x2+y2+2=a2,(a>0)与平面二=2,=的交线为 4 +y+2=a x2+y2+z2=a2 a 和 2|x2+y2=(a)2 即 上半球面的方程为=a-x

1 设 {( , ) 0 1, 0 1} 2 D = x y  R  x   y  ,计算:  − D | 2xy 1| dxdy . 解：   = − 1 0 1 0 I | 2xy 1| dxdy   = − + − 1 2 (1 2 ) (2 1) D D xy d xy d    = − + − 1 0 1 0 2 (1 2 ) 2 (2 1) D xy d xy d     = − + − 1 0 1 2 1 1 2 1 1 0 (1 2 ) 2 (2 1) x dx xy dy xy dy (2ln 2 1) 4 1 = + 。 2．求球面 ,( 0) 2 2 2 2 x + y + z = a a  被平面 2 , 4 a z a z = = 所夹部分的面积。 解：球面 ,( 0) 2 2 2 2 x + y + z = a a  与平面 2 , 4 a z a z = = 的交线为     = + + = 4 2 2 2 2 a z x y z a 和     = + + = 2 2 2 2 2 a z x y z a 即       = + = 4 ) 4 15 ( 2 2 2 a z x y a 和       = + = 2 ) 2 3 ( 2 2 2 a z x y a 上半球面的方程为 2 2 2 z = a − x − y 2 2 2 a x y x x z − − = −   ， 2 2 2 a x y y y z − − = −   ， 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) a x y a y z x z − − =   +   + 1 1 x y D1 D2 xy=0.5 0

于是,S=41+(2)2+()db=4∫ dxdy 4〔5doa √玉a/2 -dr=2rmal-va 1a14m 3.计算 idx In 解:注意到「xd=1,令fxy ∫n=jxbh=∫小,xa=h2 4.设f(x)为恒大于零的连续函数,证」f(x)x/。1 ax≥(b-a) f(x) 证:(2时=(my D:a≤x≤b,a≤y≤b 同理f(x)db d dxe f(x) 所以2()几=(x+O f(x) fo) fo f2(x)+f2(y) dadu≥ 2x/(0hb=2订dh f(xfG) f(xf() D 2(b-a) 5.设由曲面x2+y2=a和曲面z=2a-√x2+y2(a>0)所围成,将 f(x,y=)dhv化成三类坐标系下的三次积分 (1)直角坐标系 a2-x2 f(x, y, =dz (2)柱坐标系 1= de rdrl2 f(rose, rsin 0, =)dx

于是，   − − =   +   = + D D dxdy a x y a dxdy y z x z S 2 2 2 2 2 4 1 ( ) ( ) 4 2 4 2 [ ] 15 / 4 2 3 / 2 2 2 15 / 4 3 / 2 2 2 2 0 a dr a a r a r ar d a a a a     = − − = − =   3．计算 dx x x  1 − 0 ln 1 解：注意到 x x x dy y ln 1 1 0 − =  ，令 y f (x, y) = x dx x x  1 − 0 ln 1 ln 2 1 0 1 0 = = =    x dxdy dy x dx y D y 4．设 f (x) 为恒大于零的连续函数，证 2 ( ) ( ) 1 ( ) dx b a f x f x dx b a b a  −   证： dxdy f y f x dy f y dx f x dx f x f x dx b a D b a b a b a     = = ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) D : a  x  b,a  y  b 同理 dxdy f x f y dx f x f x dx D b a b a   = ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 所以   b a b a dx f x f x dx ( ) 1 2 ( ) dxdy f x f y f y f x D ) ( ) ( ) ( ) ( ) (  = +     = + = D D D dxdy dxdy f x f y f x f y dxdy f x f y f x f y 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = 2(b − a) 5．设  由曲面 x + y = az 2 2 和曲面 2 0) 2 2 z = a − x + y （a  所围成，将   f (x, y,z)dv 化成三类坐标系下的三次积分。 （1） 直角坐标系    − + + − − − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , , ) a x y a x y a x a x a a I dx dy f x y z dz （2） 柱坐标系    − = a r a r a I d rdr f r r z dz 2 0 2 0  2 ( cos, sin, ) 

(3)球坐标系 1= de a sin pdo asotin f(rsin cose, rsin sin @,coso)rdr ∫。 deE sin pdp( rsin cos, raisin, rcos)r2b 6.用两种方法计算 (ax +by+ ca )dxdydz 方法1:由对称性 xdxdvdz ydxdydE=0 x-+y-+=-≤2 +y-+x-≤2 于是I 4c 法2:x2+y2+2≤2z的重心坐标在(001) 所以 dady=V=丌 于是I 7.设f(x)在区间O上连续,证∫小J,(x)()()= 31y 证设「f(t)dh=F(x) ∫∫”f(x)0)(,(xy)F(dy Jor(x)dx[ /(LF()-F(x)]dF(y) ∫。/(x)2F(y)-F()F(x)2ax ∫。(x)2F()+F2(x)-F(f(x)lx F2(1)+F(x)-F()F(x)dF(x) =2F(O)F(x)+1.1 232(x)-2F(F(x

（3） 球坐标系    + =        cos sin      2 0 2 4 0 2 0 sin ( sin cos , sin sin , cos ) a I d d f r r r r dr    +              2 sin cos 0 2 2 4 2 0 sin ( sin cos , sin sin , cos ) a d d f r r r r dr 6．用两种方法计算  + +  + + x y z z ax by cz dxdydz 2 2 2 2 ( ) 方法 1： 由对称性  + +  = x y z z xdxdydz 2 2 2 2 0 2 2 2 2 =  x +y +z  z ydxdydz               = = + +  2cos 0 3 2 0 2 0 2 3 4 sin cos 2 2 2 zdxdydz d d d x y z z 于是  3 4c I = 法 2： x y z 2z 2 2 2 + +  的重心坐标在 (0,0,1) 所以  3 4 2 2 2 2 = =  + +  zdxdydz V x y z z 于是  3 4c I = 7． 设 f (x) 在区间 [0,1] 上连续，证 3 1 0 1 1 0 ( ( ) ) 3! 1 ( ) ( ) ( )     dx d y f x f y f z dz = f t dt y x x 证 设 ( ) ( ) 0 f t dt F x x =  dx d y f x f y f z dz f x dx f y F z d y x y x y   x  x   = 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) 1 1 0 f x dx f y F y F x dF y   x = − f x F y F y F x dx =  − x 1 0 2 1 ( ) ( ) ( )] 2 1 ( )[ f x F F x F F x dx  = + − 1 0 2 2 ( ) (1) ( )] 2 1 (1) 2 1 ( )[ ( ) (1) ( )] ( ) 2 1 (1) 2 1 [ 1 0 2 2 F F x F F x dF x  = + − 1 0 2 3 2 (1) ( )] 2 1 ( ) 3 1 2 1 (1) ( ) 2 1 =[ F F x +  F x − F F x

f(dn) 求imf()=lm d= In( =vx+) ady,其中D:1≤x2+y2≤4 n→+∞2z10 解:交换积分次序()=J∫ Sm(二 rdr sn( zr)d== 2T(In costAl 2 2u coSt 2u cost dr dt,又lim dt=0(积分中值定理) 于是lm/(an)=2rln2。 y2+z2≤2 0用两种方去计们3(+:的,中Q22y > 解]利用函数与域的对称性,-J3 用柱坐标:Ⅰ= dz 2p(2-p2)4-1k 4 用球坐标:/5r2 v2 r2 sin e rose 5(4 sn 8 5 in e 2√cos db=274-2 9 10.设函数f(x)连续且恒大于零, ∫/(x2 f(x+y )do F()= G()=20 f(x+yao fo

(1) 3! 1 3 = F 3 1 0 ( ( ) ) 3! 1  = f t dt 8． 求 dxdy x y z x y I u dz D u u u   + + = →+ →+ 2 2 2 2 2 0 1 sin( ) lim ( ) lim  ，其中 :1 4 2 2 D  x + y  解：交换积分次序 dxdy x y z x y I u dz D u   + + = 2 2 2 2 2 0 1 sin( ) ( )  ) cos sin( ) (ln dr r ur zr dz r rdr d u     = = − 2 0 1 2 1 2 0  2 2  在  2 1 cos dr r ur 中，令 ur = t 得  2 1 cos dr r ur  = u u dt t 2 cost ，又 0 cos lim 2 =  →+ u u u dt t t （积分中值定理） 于是 lim ( ) = 2 ln 2 →+ I u u 。 9．用两种方法计算   + + dxdydz z x y ) 1 ( 8 5  ，其中       +  + +   1 1 2 2 2 2 2 2 z x y x y z : 。 [解] 利用函数与域的对称性，   = dV z I 1 8 5  用柱坐标：    − = 2 2 1 1 0 2 0 1 8 5       dz z I d d  = − − 1 0 4 1 2 2 2 1 4 5 [(  ) ]d 。 { [( ) }   = − − 1 0 1 0 4 2 1 2 2 2 4 5  d d { (2 1) 1} 5 4 4 5 4 5 = − − 4 9 2 4 5 = − 。 用球坐标：    = 2 1 2 4 0 2 8 0 5         cos cos sin dr r r I d d   = 2 1 2 3 4 4 0 5      cos cos sin d r dr 4 5 0 4 2 5 2 2 4 5 = cos    −  4 0 3 5 2 4 5     d cos sin 4 9 2 4 1 2 2 4 5 4 5 = − − = − 。 10．设函数 f (x) 连续且恒大于零，   + + + =  ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) D t t f x y d f x y z dv F t  ，   − + = t t D t f x dx f x y d G t ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 

其中2()=(xy,)x2+y2+2st2},D(D)={(x,y)x2+y2≤r2} (1)讨论F()在区间(0,+∞)内的单调性。 (2)证明当t>0时,F()>=G() deo do dof(r2)r sin odr 2 //(2)rdr (1)F() del f(r)rdr f(r)rdr 20()(r2)(-rb F'(1)= f(r)- f(rrr (2)因G(1) 所以只需证t>0时 f(r dr F()-2G(0)>0,即J。(r2)yatJ(r2)b-可(r3y>0 今g(0)=。(r2)otf(r2)-(r)rr 则g(O)=(2)∫(r2X(-r)b>0.所以当x∈(0+)时g()在 又g(t)在t=0连续,当t>0有g()>g(0)=0。F(1)--G(1)>0。 11.求三重积分 =/+y+),其中 0≤≤sy-y2-2 y,2 ≤√x2+ 解:由函数与域的对称性; x+y+zlv=ll 球坐标系:I dv=do de rCosor Sing dr 柱坐标系:|=Ja0jpdp∫h=x;

其中 ( ) {( , , ) }, ( ) {( , ) } 2 2 2 2 2 2 2  t = x y z x + y + z  t D t = x y x + y  t （1） 讨论 F(t) 在区间 (0,+) 内的单调性。 （2） 证明当 t  0 时， ( ) 2 F(t) G t   (1)        = = t t t t f r rdr f r r dr d f r rdr d d f r r dr F t 0 2 0 2 2 2 0 0 2 0 0 2 2 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) sin ( )          −  = t t f r rdr tf t f r r t r dr F t 0 2 2 0 2 2 [ ( ) ] 2 ( ) ( ) ( ) ( )  0 。 （2）因   = t t f r dr f r rdr G t 0 2 0 2 ( ) ( ) ( )  ，所以只需证 t  0 时 ( ) 0 2 F(t) − G t   ，即 0 2 0 2 0 2 0 2 2 −     ( ) ( ) [ ( ) ] t t t f r r dr f r dr f r rdr ， 令 2 0 2 0 2 0 2 2 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]    = − t t t g t f r r dr f r dr f r rdr ， 则 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 2 2  = −   g t f t f r t r dr t ，所以当 x(0,+) 时 g(t) 在 又 g(t) 在 t = 0 连续，当 t  0 有 g(t)  g(0) = 0 。 ( ) 0 2 F(t) − G t   。 11. 求三重积分: I (x y z)dv   = + + , 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z . 解：由函数与域的对称性； I (x y z)dv   = + + = z dv   球坐标系:     = = =  1 0 2 2 0 4 0 8        I z dv d d rCos r Sin dr ; 柱坐标系:    − = = 2 2 2 1 0 2 0 8     I d  d zdz ;

直角坐标系: 1/2-x2 先对y积分:1=ad=J=x=+=-= 12.设f:ΩcR3→R,f∈C(g2), Q是半径为R,球心在原点的球面S所围成之域, 且A=Ma((P)P∈S),P∈9 grad0,Vz1-a2≤eds√mV1-e7 证明:D= )≤a D x-+y-≤a D

直角坐标系:    − − + − − − − = = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 8 x y x y x x I dx dy zdz  先对 xy 积分: ( ) ( ) 8 1 1 2 2 2 2 2 0 2 1 0  = =  +  − =     D z I dz dxdy z z dz z z dz 12. 设   R → R+ f 3 : ,  () 1 f C ,  是半径为 R ，球心在原点的球面 S 所围成之域， 且 A = Max(f (P)PS), P, grad f  M , 证明： ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   , 其中，； V 是域  的体积， P , P0  S 。 证： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , 0 PP r x y z f P f x y z f P    = +  ; ( ) ( ) ( ) ( )               = + r dv x y z f P f x y z dv f P PP0 , , , , 0   ( )    A+ grad f r dv PP0  ( )  + +    + −  2 2 2 2 x y z R A V M R r dv        + = + 3 4 4 M R V A MR AV  ; 即: ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   13. 证明； a  0, 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  , 证明： ( )                = Max x y a y x D : ,       +          = 2 2 2 : x y a y x Da       +          = 2 2 2 : x y r y x Dr y a r

e--y do sl fe e-r- dos e-x-ydo 由xr2=(2a),得r=2 由此得jeds∫e"dse-d x-c)e-do≤z-e-) 即,- ?sje-idr s vvi- 以上题目选用,出一个求空间曲面面积和第一型曲面积分的题目

    − − − − − − − − =           a Dr x y D x y a a x D x y e d e e d e d 2 2 2 2 2 2 2 2 由 ( ) 2 2  r = 2a ,得  a r 2 = 由此得    − − − − − −   a Dr x y D x y D x y e d e d e d 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 r D a x y e e d e − − − − −   −     ; 即： 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  . 以上题目选用, 出一个求空间曲面面积和第一型曲面积分的题目