吉林大学：工科数学课程PPT教学课件（线性代数）第一章 消元法（主讲：李金玉）

线性代数 讲课教师:理学院数学系李金玉 电话: 3885761

线性代数 讲课教师: 理学院数学系 李金玉 电话: 3885761

第一章消元法 1矩阵及其初等变换 2消元法

第一章 消元法 1 矩阵及其初等变换 2 消元法

第一节矩阵及其初等变换 基本概念 引例A、B、C、D四地有直航班如图 B A B C D 0110 D 两地有航班用1表示, ABCD 无航班用0表示。 0110

第一节 矩阵及其初等变换 引例 A、B、C、D四地有直航班如图 A C D B 两地有航班用1表示， 无航班用0表示。 一、基本概念 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 A B C D A B C D

1矩阵的定义 定义1由m×n个数a;(=12,,m;j12,m 排成的m行n列数表 1112 In 0214222n 1m2

1.矩阵的定义 定义1 由m×n个数 aij (I=1,2, …,m ; j=1,2, …,n) 排成的m行n列数表             m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1

称为m行n列矩阵,简称为m×m矩阵记为qn)n 矩阵通常用大写的英文字母A,B,C等表示。称 i;.为矩阵A的第第列元素 (1)当m=1时,矩阵只有一行,称为行矩阵,即 A= 1112 n (2)当n=1时,矩阵只有一列,称为列矩阵,即 11 21

称为m行n列矩阵， 简称为m×n矩阵.记为 ( ) m n ij a  矩阵通常用大写的英文字母A，B，C等表示。称 ij a 为矩阵A的第i行第j列元素。 （1）当m=1时，矩阵只有一行，称为行矩阵，即 ( ) A = a11 a12 a1n （2）当n=1时，矩阵只有一列，称为列矩阵，即               = 1 21 11 an a a A 

(3)当m=n时,称A为m阶矩阵或n阶方阵。 例1.设A 35 B 3-4 则A是一个2×3矩阵,B是一个2阶方阵, A的(2,3)元是1。 下面介绍几种常用的特殊矩阵: (1)元素全为零的矩阵称为零矩阵,记作O; (2)主对角线上的元素不全为零,而主对角线 以外元素全为零的方阵,即形如

（3）当m=n时，称A为n阶矩阵或n阶方阵。 例1. 设         − = 3 4 1 2 1 7 A         = 7 8 3 5 B 则A是一个2×3矩阵，B是一个2阶方阵， A的（2，3）元是1。 下面介绍几种常用的特殊矩阵： （1） 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作O； 以外元素全为零的方阵，即形如 （2）主对角线上的元素不全为零，而主对角线

的矩阵称为对角矩阵记为 A=dig(1,12,,n 例如 500 A=ig(-5,03)=000 003

的矩阵称为 对角矩阵 记为 diag( , , , ).  = 1 2   n 例如           − = − = 0 0 3 0 0 0 5 0 0  diag( 5,0,3 )               n 2 1    

(3)对角线上元素全为1的m阶对角矩阵: nxn 称为n阶单位矩阵。记为E I12 (4)形如a2…a2n |的方阵称为上三角阵

（3）对角线上元素全为1的n阶对角矩阵: n n 1 1 1               称为n阶单位矩阵。 记为E （4）形如             nn 22 2n 11 12 1n a a a a a a     的方阵,称为上三角阵

(5)形如 的方阵, n2 nn 称为下三角矩阵。 2两个矩阵相等 定义2若矩阵A=(q)mn与B=(2)的所有对应 元素相等即4n=b;(h,2…mH,2,…” 则称这两个矩阵相等,记作A=B

(5)形如             n1 n2 nn 2 1 2 2 1 1 a a a a a a     的方阵， 称为下三角矩阵。 2.两个矩阵相等 定义2.若矩阵 ( ) m n A aij  = 与 ( ) m n B bij  = 的所有对应 即 ij ij a = b （I=1，2，…，m； j=1，2，…，n）， 则称这两个 矩阵相等，记作A=B。 元素相等

3矩阵的初等变换 定义3下列三种变换称为矩阵的初等变换 1对调矩阵的任意两行元素,记作r<>F 2用数kk≠0)乘矩阵的某行所有元素,记作 3用数k乘矩阵中某行的每个元素后加到 另一行的对应元素上去,记作F+r

3.矩阵的初等变换 定义3 下列三种变换称为矩阵的初等变换 1.对调矩阵的任意两行元素，记作 i j r ⎯→r 2.用数k ( k  0 ) 乘矩阵的某行所有元素，记作 ri k 3.用数k 乘矩阵中某行的每个元素后加到 另一行的对应元素上去, 记作 i j r + kr