《数学分析》PPT教学课件：第八章 不定积分

第八章不定积分 合教学目标: 1掌握原函数与不定积分概念; 2掌握基本积分方法 分部积分法、换元积分法、有理 函数积分法、三角函数有理式的 积分、几种无理函数的积分

1 掌握原函数与不定积分概念； 2 掌握基本积分方法 分部积分 法、换元积分法、有理 函数积分法、三角函数有理式的 积分、几种无理函数的积分。 教学目标： 第八章 不定积分

§1不定积分的概念 原函数与不定积分 前面我们学习了导数与微分,由已知函数利用基本求导公式和求 导法则可以求出它的导数,那自然会想到:求导运算能否和数的四则 运算那样,知道了∫(x)导数反过来就能求出f(x)?比如知道了物体 的运动速度,求路程,知道了加速度求速度? 例1一个静止的物体,其质量为m在力F= Asin t的作用下沿 直线运动,求物体的运动速度。 解由牛顿第二定理a F a sin t即 dy f asin t dt 这就归结为已知立求p,由求导运算

一 原函数与不定积分 前面我们学习了导数与微分，由已知函数利用基本求导公式和求 导法则可以求出它的导数，那自然会想到：求导运算能否和数的四则 运算那样，知道了 f (x) 导数反过来就能求出 f (x)？比如知道了物体 的运动速度，求路程，知道了加速度求速度？ 例 1 一个静止的物体，其质量为 m 在力 F = Asin t 的作用下沿 直线运动，求物体的运动速度。 解 由牛顿第二定理 A t m F a = = sin 即 m A t m F d t d v sin = = 这就归结为已知 dt dv 求 v ， 由求导运算 §1 不定积分的概念

a sin t (-coSt+C) 得 cost+C,其中C为待定常数,若初始时刻是静止的 v(0)=0 0=v(0) cos0+C→C 从而得 cost 我们称这类由∫(x)求f(x)的运算为积分法 定义(原函数)如果在区间I上F(x)=f(x),则称F(x)为 f(x)在区间I上的原函数

m A t t C m A sin (− cos + ) = 得 t C m A v = − cos + ， 其中 C 为待定常数，若初始时刻是静止的 v(0) = 0 m A C C m A 0 = v(0) = − cos0 +  = ， 从而 得 m A t m A v = − cos + 我们称这类由 f (x) 求 f (x) 的运算为积分法 定义（原函数） 如果在区间 I 上 F(x) = f (x)，则称 F(x) 为 f (x)在区间 I 上的原函数

例如例中的-cost+C是snt的原函数 2+C是x(a≠-1)的原函数,等等 因为常数导数为零,所以如果f(x)的原函数F(x)存在,则对任 意常数C,F(x)+C都是f(x)的原函数。这就是说,原函数存在的话, 它有无限多个。而且容易证明,f(x)的任意两个原函数之间相差一个 常数。换句话说f(x)的原函数的全体为{F(x)+C},C为任意常数 定义(不定积分)f(x)在区间I上原函数的全体称为f(x)在I 上的不定积分。记作∫f(x)。其中∫为积分号,f(x)为积分

例如例 1 中的 t C m A − cos + 是 t m A sin 的原函数； C x + + + 1 1   是 (   −1)  x 的原函数，等等 因为常数导数为零，所以如果 f (x) 的原函数 F(x)存在，则对任 意常数 C，F(x) + C 都是 f (x)的原函数。这就是说，原函数存在的话， 它有无限多个。而且容易证明， f (x)的任意两个原函数之间相差一个 常数。换句话说 f (x)的原函数的全体为 { F(x) + C }，C 为任意常数。 定义（不定积分） f (x) 在区间 I 上原函数的全体称为 f (x)在 I 上的不定积分。记作  f (x)dx 。 其中  为积分号， f (x)为积分

函数,x为积分变量。 不定积分的几何意义 F(×)+C F(×) 个函数的原函数尽管有无限多个,但它们的几何图形是一模 样的,最多是在坐标系中的高低位置不一样,相差一个上下平移 关系

函数， x 为积分变量。 不定积分的几何意义 一个函数的原函数尽管有无限多个, 但它们的几何图形是一模 一样的, 最多是在坐标系中的高低位置不一样, 相差一个上下平移 关系， F(x)+C F(x)

基本积分公式 怎样求不定积分呢?我们先按照不定积分的定义给出一些常见函 数的不定积分: xdx(a≠-1) ∫女=hx+C +C sin xdx=-coSx+C na sec xdx= tgx+C csc dx=-ctgx+C secx· tgxdx=secx+C csx· ctgxdx=-cscx+C dx arcsinx+C xdx=arctgx+C

二 基本积分公式 怎样求不定积分呢？我们先按照不定积分的定义给出一些常见函 数的不定积分： (  −1)    x d x  dx = x + C x ln 1  = + C a a a dx x x ln  sin xdx = − cos x +C  xdx = tgx + C 2 sec  dx = −ctgx +C 2 csc xtgxdx = x +C  sec sec x  ctgxdx = − x +C  csc csc x C x dx = + −  arcsin 1 2  = + + dx arctgx C x 2 1 1

这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础,一定要把它记住 2.不定积分的基本性质:以下设f(x)和g(x)有原函数 (/)t)=f(x)d(3=(,(先积后导 形式不变) 2)∫f(x)dk=(x)+c,d(x)=f(x)+c,(先导后积,多 一个常数 (3)a≠0时,「orf(x)dx=af(x)x ∫0(x)8(x)女=J(x)士8(x) 由(3)、(4)可见,不定积分是线性运算,即对a,B∈R,有

这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础，一定要把它记住。 2. 不定积分的基本性质: 以下设 f (x)和 g(x) 有原函数. ⑴ ( )   = =  f (x)dx f (x), d f (x)dx f (x)dx . (先积后导, 形式不变). ⑵   f (x)dx = f (x) + c, df (x) = f (x) + c . (先导后积, 多 一个常数) ⑶   0时，   f (x)dx = f (x)dx. ⑷    (f (x)  g(x))dx = f (x)dx  g(x)dx. 由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对 ,  R , 有

∫((x)+/g(x)=a!(x)+8(x (当α=B=0时,上式右端应理解为任意常数 三.利用不定积分基本公式计算不定积分 例6 P(x=aox"+ax+.+amn-xta 求「P(x)dhx 例7x+1a 2 Cx 21+ 例8 X ax 1+x 例9 (x+1 x(1+x2)

   (f (x) + g(x))dx = f (x)dx +  g(x)dx. ( 当 =  = 0时,上式右端应理解为任意常数. ) 三．利用不定积分基本公式计算不定积分 例 6 n n n n P x = a x + a x + + a − x + a − 1 1 0 1 ( )  . 求  P(x)dx . 例 7         + = − + + + ) . 1 2 ( 1 1 1 2 2 2 4 dx x dx x x x . 例 8  + 2 2 1 x x dx . 例 9  + + dx x x x (1 ) ( 1) 2 2

例10(1)「(10-10)2adx; cOS 2X 1-2sinx 例11 sIn X SIn x d 例12 cos sine

例 10 ⑴  − − dx x x 2 (10 10 ) ; ⑵  − + 2 . 2 3 1 e dx x x 例 11           = − = dx  x x dx x x 2 2 2 sin 1 2sin sin cos2 . 例 12     2 2 cos sin d