《数字图象处理》 第四章（4-1） 二维正交变换

第四章图像变换 二维正交变换 傅立叶变换 离散余弦变换 Walsh- Hadamard沃尔什一哈达玛)变换 Har(哈尔)变换 斜( slant)变换 小波变换 卷积 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作

2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 1 第四章图像变换 • 二维正交变换 • 傅立叶变换 • 离散余弦变换 • Walsh－Hadamard(沃尔什一哈达玛）变换 • Haar（哈尔）变换 • 斜(slant) 变换 • 小波变换 • 卷积

二维正交变换 数字图象处理的方法主要分为两大类:一个是空间域处理法, 个是频域法(或称变换域法)。在频域法处理中最为关键的预处理便 是变换处理。变换理论在图像处理中起着关键作用,二维变换已被用 于图像增强、图象复原、图象编码、图象描绘和图象特征抽取等方面。 矩阵的逆矩阵等于其复数共轭转置矩阵时,叫酉矩阵。即设A和 A为二维酉矩阵,则变换 称为二维酉变换。上式中A为M×M元矩阵,A为N×N元矩阵。当酉矩 阵中各元素均为实数时称为正交矩阵,这种情况下,上述变换称二维 正交变换。 维正交变换是图象处理中一种常用的变换,其特点是变换结果能 量分布向低频成分方面集中,图象上的边缘、线条等信息在高频成分 上得到反映。基于这一特点图象在变换域上的处理得到了广泛的应用 本章将对几种主要的正交变换进行较详细地讨论。 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作

2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 2 二维正交变换 数字图象处理的方法主要分为两大类：一个是空间域处理法，一 个是频域法（或称变换域法）。在频域法处理中最为关键的预处理便 是变换处理。变换理论在图像处理中起着关键作用，二维变换已被用 于图像增强、图象复原、图象编码、图象描绘和图象特征抽取等方面。 当矩阵的逆矩阵等于其复数共轭转置矩阵时，叫酉矩阵。即设AM和 AN为二维酉矩阵，则变换： Y﹦AM×AN 称为二维酉变换。上式中AM为M×M元矩阵，AN为N×N元矩阵。当酉矩 阵中各元素均为实数时称为正交矩阵，这种情况下，上述变换称二维 正交变换。 二维正交变换是图象处理中一种常用的变换，其特点是变换结果能 量分布向低频成分方面集中，图象上的边缘、线条等信息在高频成分 上得到反映。基于这一特点图象在变换域上的处理得到了广泛的应用。 本章将对几种主要的正交变换进行较详细地讨论

4.1傅立叶变换 傅立叶( Fourier)变换是大家所熟知的正交变换。在 维信号处理中得到了广泛应用。把这种处理方法推, 到图象处理中是很自然的事。本节将对付里哀变换的基 本概念及算法作一些讨论 4.1.1定义 傅立叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x的函 数,如果fx满足下面的狄里赫莱条件: 1)具有有限个间断点 (2)具有有限个极值点 (3)绝对可积。 则有下列二式成立 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作

2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 3 4.1傅立叶变换 傅立叶(Fourier)变换是大家所熟知的正交变换。在 一维信号处理中得到了广泛应用。把这种处理方法推广 到图象处理中是很自然的事。本节将对付里哀变换的基 本概念及算法作一些讨论。 4.1.1定义 傅立叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x的函 数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间断点； （2）具有有限个极值点； （3）绝对可积。 则有下列二式成立

F(n)=∫f(x)e -i2 ux dx f(x)=∫F(ln)e2x 上面两式称为傅立叶变换对,其中x为时域变量,u为频 域变量 令0=2mu,则有 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作

2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 4 上面两式称为傅立叶变换对，其中x为时域变量，u为频 域变量。 令 =2u，则有

F(o)=f(xe on dx f(x)=∫F(a)eodo 函数f(x)的傅立叶一般情况下是一个复数量,可以表示 为 F(O)=R(0)+j/() 写成指数形式: F(oF(oleic 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作

2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 5 函数f(x)的傅立叶一般情况下是一个复数量，可以表示 为： 写成指数形式：

其中 F(m)=VR(o)+2(o) O(O)=arct () R() 称|F(o)为f(x)的傅立叶幅度谱,而φ(ω)为相位谱 4.1.2二维傅立叶变换 傅立叶变换可推广到二维函数。如果二维函数(xy) 满足狄里赫莱条件,那么存在下面的二维傅立叶变换对: 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作

2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 6 其中 称|F(ω)|为f(x)的傅立叶幅度谱，而Φ(ω)为相位谱。 4.1.2二维傅立叶变换 傅立叶变换可推广到二维函数。如果二维函数f(x,y) 满足狄里赫莱条件，那么存在下面的二维傅立叶变换对：

F(u,y)=∫∫f(x,y)e127 丌(x+vy dxdy f(r,y) F(u, ve j2T(ux+vy) udv 类似于一维傅立叶变换,二维傅立叶变换的幅度谱和相位 谱如下 F(n,y)=VR2(,v)+2(x,y) P(u, v)=arct I(u, v) R(u,v) 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作

2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 7 类似于一维傅立叶变换，二维傅立叶变换的幅度谱和相位 谱如下：

4.1.3傅立叶变换的性质 傅立叶变换有许多重其要的性质,这些性质为实际应用 提供了诸多便利。下面以二维傅立叶变换为例,介绍几个 主要的性质。 1可分性 F(u,v)=f(x, y)e 27(un+)drdy ∞-∞ ∫∫(xy) e /tmre /iny dxdy 这个性质说 - 明一个二维 傅立叶变换 TrIf(x, ve -J2me axle j2my dy 可用二次 维傅立叶变 换来实现。 ∫③3D(xy)e2nd ∞ 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作

2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 8 4.1.3傅立叶变换的性质 傅立叶变换有许多重其要的性质，这些性质为实际应用 提供了诸多便利。下面以二维傅立叶变换为例，介绍几个 主要的性质。 1 可分性 这个性质说 明一个二维 傅立叶变换 可用二次一 维傅立叶变 换来实现

2线性 傅立叶变换是线性变换,满足线性变换的叠加性: 3[a1f1(x,y)+a22(x,y)=a15f1(x,y)+a25f2(x,y) 3共轭对称性 如果F(u,v)是f(x,y)的傅立叶变换,F(-u,-v)是傅立 叶变换的共轭函数,那么 F(,v)=F"(-l2-y) 4旋转性 如果空间域函数旋转的角度为θo,那么在变换域中此 函数的傅立叶变换也旋转同样的角度,即: f(,b+60)分F(k,d+60) 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作

2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 9 2 线性 傅立叶变换是线性变换，满足线性变换的叠加性： 3 共轭对称性 如果F(u,v)是f(x,y)的傅立叶变换，F *(-u,-v)是傅立 叶变换的共轭函数，那么 4 旋转性 如果空间域函数旋转的角度为θ0,那么在变换域中此 函数的傅立叶变换也旋转同样的角度，即：

5比例变换性 如果如果是的傅立叶变换,a和b是两个标量,那么: qf(x,y)分aF(,v) f(ax, by)s 6 b 6 Parseval1定理 这个性质也称为能量保持定理。如果Fωu,v)是f(x,y) 的傅立叶变换,那么有下式成立 ∫f(x,y)2ch=∫F(u,v)dhhv -O0-∞ 0-00 这个性质说明变换前后的能量保持不变 2021年2月20日 数字图象处理演示稿纪玉波制作

2021年2月20日 数字图象处理演示稿 纪玉波制作 (C) 10 5 比例变换性 如果如果是的傅立叶变换，a和b是两个标量，那么： 6 Parseval定理 这个性质也称为能量保持定理。如果F(u,v)是f(x,y) 的傅立叶变换，那么有下式成立： 这个性质说明变换前后的能量保持不变