福州大学：《离散数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 二元关系

第七章二元关系 7.1有序对与笛卡尔积 7.2二元关系 7.3关系的运算 7.4关系的性质 超 7.5关系的闭包运算 冠 7.6等价关系与划分 潮 7.7偏序关系

第七章 二元关系 7.1 有序对与笛卡尔积 7.2 二元关系 7.3 关系的运算 7.4 关系的性质 7.5 关系的闭包运算 7.6 等价关系与划分 7.7 偏序关系

§7.1有序对与笛卡尔积 台念 定义7.1两个元素，y按一定顺序排列 成的二元组一个有序对或序偶。记为。 x,y分别叫做有序对的第一元素和第二元 素。 所谓有序序列是指调换第一元素和第 二元素位置后，就和原来的含义不同了。 是 超

§7.1有序对与笛卡尔积 定义7.1 两个元素x，y按一定顺序排列 成的二元组一个有序对或序偶。记为x,y。 x，y分别叫做有序对的第一元素和第二元 素。 所谓有序序列是指调换第一元素和第 二元素位置后，就和原来的含义不同了

性质：1.当y时，≠y,>。 2.=台(=m∧0=b)。 【例7.1】平面上的点P=和点 P2=是两个不同的，它们都是有序对： 周 超

性质：1.当x≠y时，x,y≠y,x。 2.x,y=a,b  (x=a)∧(y=b)。 【例7.1】平面上的点P1 =2,1和点 P2 =1,2是两个不同的，它们都是有序对

定义7.2 设A,B是集合，集合 la∈A个beB叫做A,B的笛卡尔积， 也叫A,B的叉乘积，直积。记为：AXB 如果A,B都是有限集，A=n,B=m, 根据排列组合原理，AXB=nAB。 周 超

定义7.2 设A，B是集合，集合 a,b| aA∧bB叫做A，B的笛卡尔积， 也叫A，B的叉乘积，直积。记为：A×B 如果A，B都是有限集，|A|= n，|B|= m， 根据排列组合原理，|A×B|=nm=|A||B|

【例7.2】设A4,b},B=1,2,3, (I)试求AXB和BXA (2)验证AXB1=A‖BI和BXA=BIA纠 解： (1)A×B,,,,,7 晟 BXA=,,,,7 冠 (2)A×B=6=2X3=A|B1 1BXA=6=3X2=HBA纠 凝

【例7.2】设 A=a,b，B=1,2,3， ⑴试求A×B和B×A ⑵验证|A×B|=|A||B|和|B×A|=|B||A| 解： ⑴ A×B=a,1,a,2,a,3,b,1,b,2,b,3 B×A=1,a,1,b,2,a, 2,b,3,a, 3,b ⑵ |A×B|=6=2×3=|A||B| |B×A|=6=3×2=|B||A|

笛卡尔积有以下的性质： ①设A为任意的集合，则AX⑦=⑦XA=O ②一般地说，×不满足交换律： AXB≠BXA。 超 在【例7.2】中，AXB≠BXA ③一般地说，×不满足结合律： 秤- 即(AXB)XC≠AX(BXC)

笛卡尔积有以下的性质： ①设A为任意的集合，则A× = ×A=  ②一般地说，×不满足交换律： A×B≠B×A。 在【例7.2】中，A×B≠B×A ③一般地说，×不满足结合律： 即(A×B)×C≠A×(B×C)

【例73】设412，Ba6,Aw菜 AXBXC,AX(BXC). 解：AXBXC=(AXB)XC =,,Xxy =，,,, ,J>,,J>,Jy>,y>} AX(BXC=1,2}X,,,t =,,, 和调 >,,>,>7 显然4XBXC≠AX(BXC)

解： A×B×C=(A×B)×C =1,a,1,b,2,a,2,b×x,y =1,a, x,1,b, x,2,a,x, 2,b,x, 1,a, y,1,b, y,2,a,y, 2,b,y  A×(B×C)=1,2×a,x,a, y,b,x,b, y =1,a,x,1,a, y,1,b,x,1,b, y 2,a,x,2,a, y,2,b,x,2,b, y 显然A×B×C≠A×(B×C)。 【例7.3】设A=1,2，B=a,b，A=x,y，求： A×B×C，A×(B×C)

④X对并和交满足分配律 (1)AX(BUC)=(AXB)U(AXC) (2)AX(B∩C=(AXB)∩(AXC (3)(AUB)XC=(AXCU(BXC) (4)(A∩B)XC=(AXC∩(BXC)

④ ×对并和交满足分配律 ⑴ A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C) ⑵ A×(B∩C) =(A×B)∩(A×C) ⑶ (A∪B)×C =(A×C)∪(B×C) ⑷ (A∩B)×C =(A×C)∩(B×C)

(1)AX(BUC)=(AXB)U(AXC) 证明：仅证明(1)任取 ∈AX(BUC) 台M∈A∧b∈BUC →M∈A∧(b∈BVb∈C) →(a∈A∧b∈B)V(a∈A∧b∈C) 超 →∈AXBV∈AXC 酸 →∈(AXB)U(AXC) 是 故 AX(BUC)=(AXB)U(AXC) 可类似地证明2)、(3)、（④）

证明：仅证明⑴ 任取a,b a,bA×(B∪C) aA∧bB∪C  aA∧( bB∨bC) (aA∧bB)∨(aA∧bC) a,bA×B∨a,bA×C a,b(A×B)∪(A×C) 故 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) 可类似地证明⑵、⑶、⑷。 ⑴ A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C)

⑤设A,B,C,D是非空集合，则 AXBCCXD的充分必要条件是ACC且BCD。 证明：“→”设4XBECXD,任取a∈A个bEB M∈A∧b∈B→∈AXB →∈CXD →M∈C∧b∈D所以ACC且BcD 超 冬” 设AcC且BCD,任取∈AXB ∈AXB→>M∈A∧b∈B →M∈C∧b∈D →∈CXD所以AXBCCXD 凝

⑤设A，B，C，D是非空集合，则 A×BC×D的充分必要条件是AC且BD。 证明：“” 设A×BC×D，任取aA∧bB aA∧bBa,bA×B a,bC×D aC∧bD 所以 AC且BD “ ” 设AC且BD，任取a,bA×B a,bA×BaA∧bB aC∧bD a,bC×D 所以 A×BC×D 