福州大学：《离散数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章 一阶逻辑基本概念

第四章一阶逻辑基本概念 1

1 第四章 一阶逻辑基本概念

一 阶逻辑基本概念 ·一阶逻辑命题符号化 ■一阶逻辑公式、解释 2

2 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式、解释

谓词逻辑（一阶逻辑)的引入 ■著名的三段论论证： 所有的人都将死去。 苏格拉底是人。 所以：苏格拉底将死去。 ■从人们的实践经验可知，这是一个有效的推论。 ■但在命题逻辑中却无法判断它的正确性。 因为在命题逻辑中只能将推理中的三个简单命 题符号化为p,r,那么由p,这两个命题无论 如何不可能得出为有效结论。 3

3 谓词逻辑（一阶逻辑）的引入  著名的三段论论证： 所有的人都将死去。 苏格拉底是人。 所以：苏格拉底将死去。  从人们的实践经验可知，这是一个有效的推论。  但在命题逻辑中却无法判断它的正确性。  因为在命题逻辑中只能将推理中的三个简单命 题符号化为p, q, r，那么由p, q这两个命题无论 如何不可能得出r为有效结论

§2.1一阶逻辑基本概念 个体词 谓词 量词 一阶逻辑中命题符号化

4 §2.1 一阶逻辑基本概念  个体词  谓词  量词  一阶逻辑中命题符号化

基本概念 个体词、谓词、量词 个体词（个体)：所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用4，b,c表示 个体变项：抽象的事物，用x,y,表示 个体域（论域）：个体变项的取值范围 有限个体域，如{，b,c,{1,2} 无限个体域，如N,Z,R,. 全总个体域：宇宙间一切事物组成 如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域为 个体域。 5

5 基本概念——个体词、谓词、量词 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域（论域）: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, . 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域为 个体域

基本概念（续） 谓词：刻划个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：表示具体性质和关系的谓词，用F, G,H.表示； 谓词变项：表示抽象或泛指的谓词，也用F,G, H.表示； 一元谓词：表示事物的性质 多元谓词(n元谓词，n22):表示事物之间的关系 如L(cy):x与y有关系L,L(xy):之y, 。0 0元谓词：不含个体变项的谓词，即命题常项或命 题变项 6

6 基本概念 (续) 谓词: 刻划个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：表示具体性质和关系的谓词， 用F, G, H.表示； 谓词变项：表示抽象或泛指的谓词， 也用F, G, H.表示； 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系 如 L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：xy，. 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命 题变项

阶逻辑中命题符号化 例1用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶 逻辑中符号化 ()墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中，设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p,这是真命题 在一阶逻辑中，设：墨西哥，Fx):x位于南美洲 符号化为F()

7 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶 逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a)

例1（续） (2)√2是无理数仅当√3是有理数 在一阶逻辑中，设Fx):x是无理数，Gc):x是有理 数 F(V2)→G(3) 符号化为 3)如果2>3，则3y,G(xy)小：xy 符号化为F2,3)-→G(3,4) 8

8 例1(续) 2 2 3 3 F( 2)G( 3) (2) 是无理数仅当 是有理数 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理 数 符号化为 (3) 如果2>3，则3y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 2 3 F( 2)G( 3)

基本概念（续） 量词：表示数量的词 全称量词：表示任意的，所有的，一切的等 如Vx表示对个体域中所有的x 存在量词]：表示存在，有的，至少有一个等 如x表示在个体域中存在x 9

9 基本概念(续) 量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 x 表示在个体域中存在x

阶逻辑中命题符号化（续） 例2在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美；(2)有人用左手写字 分别取(@D为人类集合，(b)D为全总个体域. 解：(a()设Gx):x爱美，符号化为xGx) (2)设Gx):x用左手写字，符号化为xGx) (b)设Fx):x为人，Gx):同(0中 (1)x(Fx)-→Gx) (2)3x(Fx)ΛGx) 这是两个基本公式，注意这两个基本公式的使用. 在这里是Fx)特性谓词

10 一阶逻辑中命题符号化(续) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为 x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中 (1) x (F(x)G(x)) (2)  x (F(x)G(x)) 这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用. 在这里是F(x)特性谓词