上海交通大学：《物理异想》课程教学资源（论文资料）上帝為我張弓——星際飛行中的“宇宙彈弓”

上帝為我張弓 星際飛行中的“宇宙彈弓” 5100209385任鑫宇楊 【說明】本文簡要介紹了宇宙航行中廣泛採用的引力助推技術，語言較為通俗易 懂，並特别注意兼顏了物理知識水平深淺不齊的雨類讀者，使他們都能從文中收 穫新知識，以達到科普之目的。 1997年10月15日16時43分，美國佛羅里達州卡納维拉爾角航太基地第40 號發射臺上佇立的運载火箭在熊熊烈焰中緩緩升空，它肩負著將美國國家航空航 天局、歐洲航天局和義大利航天局聯合研發的卡西尼號土星探测器送入太空的重 卡西尼號發射示意圆 任。然而，這艘 SATURN ORBIT INSERTION 1UL2004。 目的地 由十七個國家共 (土星) 同建造，代表當 118 YEARS JUPITER 時最先進航天技 'S ORBIT 29.1 YEARS 術的木星探测器 ● 發射點LAUNCH 150CT1997 卻與木星軌道的 方向“南轅北 辙”，反而向著太陽飛向了地球轨道的內侧一這是一次技術故障嗎？ 原來，由於木星距離地球實在遙遠，如果僅僅依靠自身的推力直接飛向土星， 並要求它像現在這樣在7年之內到達，那麼使用的推進燃料决不能少於70噸。 1數據來源：百度百科站點“卡西尼號”詞條：http://baike.baidU.com/View/241734htm

上帝為我張弓 ——星際飛行中的“宇宙彈弓” 5100209385 任鑫宇楊 【說明】本文簡要介紹了宇宙航行中廣泛採用的引力助推技術，語言較為通俗易 懂，並特別注意兼顧了物理知識水平深淺不齊的兩類讀者，使他們都能從文中收 穫新知識，以達到科普之目的。 1997 年 10 月 15 日 16 時 43 分，美國佛羅里達州卡納維拉爾角航太基地第 40 號發射臺上佇立的運載火箭在熊熊烈焰中緩緩升空，它肩負著將美國國家航空航 天局、歐洲航天局和義大利航天局聯合研發的卡西尼號土星探測器送入太空的重 任。然而，這艘 由十七個國家共 同建造，代表當 時最先進航天技 術的木星探測器 卻與木星軌道的 方 向 “ 南 轅 北 轍”，反而向著太陽飛向了地球軌道的內側——這是一次技術故障嗎？ 原來，由於木星距離地球實在遙遠，如果僅僅依靠自身的推力直接飛向土星， 並要求它像現在這樣在 7 年之內到達，那麼使用的推進燃料決不能少於 70 噸1。 1 數據來源：百度百科站點“卡西尼號”詞條：http://baike.baidU.com/View/241734.htm

然而假若真如此，即便拋開巨大的成本不談，在技術上人類至今也還遠遠不能製 造可以攜帶這麽多燃料的運载火箭。因此，“卡西尼號”的設計者們採用了一種 更大膽，更聰明的辦法—請上帝來“推自己一把”！—這聪起來簡直匪夷所 思！那麽，科學家們究竞是怎麼做到的呢？ 其實，這種借“上帝之手”推動自身的方法是宇宙航行中的一種非常常用的手 段，叫做“引力助推”一在本文中我們則形象地將它稱作一把“引力彈弓”。 要弄清楚這把“宇宙彈弓”的基本原理其實並不難，我們可以一起試試看： 如果你已經忘光了最基本的物理知識或是只想定性地了解“卡西尼號”南辕北 轍的原因，那麽你只需要知道，在星際航行中，假如計算得當，行星可以當成一 把彈弓來用！我們可以簡單地做一個類比：小 型飛行器相當於彈弓的“小彈丸”；一顆行星則 飛行器 相當於“彈弓叉”；而雨者之間的萬有引力則擔 當了“彈弓橡皮筋”的關键角色。簡而言之， 在小飛行器奥行星相互作用的過程中，萬有引 行星 力這條“橡皮筋”可以依靠行星這個支點將我 們的小飛行器“彈射”出去，從而使飛行器獲得加速。 如果讀者朋友還記得基本動量、能量守恆觀念，我們還可以試試看簡單的定量 分析：借由圖示這種在一維情况下最簡化的情况我們可以簡罩說明這把“彈弓” 具體是怎樣將“彈丸”發射出去的，：假設“彈丸飛行器”具有向右的速度V; 而行星（圖中較大圆點）以向左的速度U在宇宙中運 行；在簡化的情形下，飛行器和行星近似發生了一個 U 完全彈性碰撞過程，於是我們就可以用基本的動量守

然而假若真如此，即便拋開巨大的成本不談，在技術上人類至今也還遠遠不能製 造可以攜帶這麼多燃料的運載火箭。因此，“卡西尼號”的設計者們採用了一種 更大膽，更聰明的辦法——請上帝來“推自己一把”！——這聽起來簡直匪夷所 思！那麼，科學家們究竟是怎麼做到的呢？ 其實，這種借“上帝之手”推動自身的方法是宇宙航行中的一種非常常用的手 段，叫做“引力助推”——在本文中我們則形象地將它稱作一把“引力彈弓”。 要弄清楚這把“宇宙彈弓”的基本原理其實並不難，我們可以一起試試看： 如果你已經忘光了最基本的物理知識或是只想定性地了解“卡西尼號”南轅北 轍的原因，那麼你只需要知道，在星際航行中，假如計算得當，行星可以當成一 把彈弓來用！我們可以簡單地做一個類比：小 型飛行器相當於彈弓的“小彈丸”；一顆行星則 相當於“彈弓叉”；而兩者之間的萬有引力則擔 當了“彈弓橡皮筋”的關鍵角色。簡而言之， 在小飛行器與行星相互作用的過程中，萬有引 力這條“橡皮筋”可以依靠行星這個支點將我 們的小飛行器“彈射”出去，從而使飛行器獲得加速。 如果讀者朋友還記得基本動量、能量守恆觀念，我們還可以試試看簡單的定量 分析：借由圖示這種在一維情況下最簡化的情況我們可以簡單說明這把“彈弓” 具體是怎樣將“彈丸”發射出去的,：假設“彈丸飛行器”具有向右的速度 V； 而行星（圖中較大圓點）以向左的速度 U 在宇宙中運 行；在簡化的情形下，飛行器和行星近似發生了一個 完全彈性碰撞過程，於是我們就可以用基本的動量守

恆和能量守恆方程（後者也可以選用更簡單的恢復系数方程代替）描述“彈弓” 的行為如下： MU-mV MU'+mV' w2+2=0r+r2② 2 或者e=V'-U/ +v=1 由於“彈丸飛行器”的質量與行星相比簡直微不足道，我們可以得出方程組的 近似解：=仍：V'=V+2U（示意圖如下)。我們驚 U← 奇地發現，當“彈丸”調轉方向飛回時，其速度由原來 的V變為了V+2U。也就是說在沒有任何自身動力推進的前提 2U v 下，經 過這把“引力彈弓”的弹射，“彈丸”的速度“憑空”3增加了2U！這是一個非 常可觀的速度增量，而且，考慮到它幾乎不需要消耗任何飛行器本身燃料，引力 彈弓則無疑是遠距離宇宙航行的一種很理想的推進手段。在實際的情形中，我們 只要把上述標量加法换為矢量叠加即可得到類似的結論。 金星第一次助推卡西尼號引力助推示意圖 有了以上的 VENUS 1 FLYBY 1JUL2004◆ 26APR1998金星第二次助推 知識，我們就可 VENUS 2 FLYBY 24UN1999 以理解為什麼 VENUS TARGETING MANEUVER JUPITER'S ORBIT SATURN'S 卡西尼號飛得 3DEC1998 YEARS “南轅北辙” LAUNCH 木星助推 150CT1997 ● 了。如左“卡西 JUPITER EARTH FLYBY FLYBY 18AUG1999 30DEC2000 地球助推 尼號引力助推 2假設初態和末態勢能相同 3憑空：考慮到天醴質量極大，忽略了引力作用對於天體運行速度的影響

恆和能量守恆2方程（後者也可以選用更簡單的恢復系數方程代替）描述“彈弓” 的行為如下： 或者 1 ^2 （2） 2 1 ^2 2 1 ^2 2 1 ^2 2 1 （1）                   U V e V U MU mV MU mV MU mV MU mV 由於“彈丸飛行器”的質量與行星相比簡直微不足道，我們可以得出方程組的 近似解： U   U;V   V  2U （示意圖如下）。我們驚 奇地發現，當“彈丸”調轉方向飛回時，其速度由原來 的 V 變為了 V+2U。也就是說在沒有任何自身動力推進的前提 下，經 過這把“引力彈弓”的彈射，“彈丸”的速度“憑空”3增加了 2U！這是一個非 常可觀的速度增量，而且，考慮到它幾乎不需要消耗任何飛行器本身燃料，引力 彈弓則無疑是遠距離宇宙航行的一種很理想的推進手段。在實際的情形中，我們 只要把上述標量加法換為矢量疊加即可得到類似的結論。 有了以上的 知識，我們就可 以理解為什麼 卡西尼號飛得 “南轅北轍” 了。如左“卡西 尼號引力助推 2 假設初態和末態勢能相同 3 憑空：考慮到天體質量極大，忽略了引力作用對於天體運行速度的影響

示意圖”原來它是去金星“借力”去了。金星是距地球最近的行星，平均距離 約4150萬千米，作為探測器借力的第一站最為合適。從下面的“卡西尼號對日 速度圖”5中我們可以看出，得益於科學家們的精密計算，經過第一次金星彈射， 第二次金星弹射，地球彈射和木星彈射四把“宇宙彈弓”的加速，我們的“卡西 尼號”探测器才得以克服太陽引力成功飛向最終的目的地一土星 Cassini's speed related to the Sun 卡西尼號對日速度圖 地球彈射 木星弹射 第次 第一次 5金星彈射金星弹射 早在戰國時代，中國的先哲荀子就曾說過：“登高而招，臂非加長也，而見者 遠；順風而呼，聲非加疾也，而聞者彰。假奥馬者，非利足也，而致千里；假舟 楫者，非能水也，而絕江河。君子生非異也，善假於物也‘。”一親爱的讀者 朋友，這精妙絕倫的“宇宙彈弓”可不是“善假於物”的古典智慧在現代科技前 沿的最好反映嗎？ 4此园由百度百科站點“卡西尼號”詞條資料圖修改而得http://baike..baidu.com/view241734.hm 5圖表數據來源：維基百科站點“引力助推”詞條： http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%95%E5%8A%9B%E5%8A%A0%E9%80%9F 6見荀子《勒學》

示意圖4”原來它是去金星“借力”去了。金星是距地球最近的行星，平均距離 約 4150 萬千米，作為探測器借力的第一站最為合適。從下面的“卡西尼號對日 速度圖”5中我們可以看出，得益於科學家們的精密計算，經過第一次金星彈射， 第二次金星弹射，地球彈射和木星彈射四把“宇宙彈弓”的加速，我們的“卡西 尼號”探測器才得以克服太陽引力成功飛向最終的目的地——土星 早在戰國時代，中國的先哲荀子就曾說過：“登高而招，臂非加長也，而見者 遠；順風而呼，聱非加疾也，而聞者彰。假輿馬者，非利足也，而致千里；假舟 楫者，非能水也，而絕江河。君子生非異也，善假於物也6。”——親愛的讀者 朋友，這精妙絕倫的“宇宙彈弓”可不是“善假於物”的古典智慧在現代科技前 沿的最好反映嗎？ 4 此圖由百度百科站點“卡西尼號”詞條資料圖修改而得 http://baike.baidu.com/view/241734.htm 5 圖表數據來源：維基百科站點“引力助推”詞條： http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%95%E5%8A%9B%E5%8A%A0%E9%80%9F 6 見荀子《勸學》