复旦大学：《数学分析》教材习题全解（上册）第六章 不定积分 习题 6.1 求下列不定积分

习题6.1 求下列不定积分: (1)∫(x3+2x2-5x)hx; ( 2)(sin x +3e)dx; (3)∫(x+ax)x; (4)「(2+cot2x)x; (5) (2 csc x-sec x tan x)dx (6)∫(x2-2)dx; (7)∫(x+)d; (8 (9)1/2x+、1 dx d x 2 d x cosx-sin x Q3」( Cos 2x 1-x2)x√xdr cos2 x 2x dx 解(1)j(x2+2x2-5Vx)k=jx+2 rdx-」√k (2)∫(nx+3e)= jsin xdr+3∫e=-cosx+32+C (3)∫(x+a)t=xa+ja= a≠ a+1 In a (4)J(2+cot'x)dx=a+csc2 x)dx=x-cotx+C (5)J(2csc2x-secx tan x)dx=2] esc2 xdx- sec x tan xdx=-2cot x-sec x+C (6)∫(x2-2)d=x2-6x2+12x2-8k= 1;6 S++4x3-8x+C。 (7)∫(x+ya=(2+2+1=1x+2x-1+c。 (8) =(2 2 Ddx=2 x-6+3x+2√x+2√x3+

习 题 6.1 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ ( ) x x x d 3 2 ∫ + − 2 5 x ; ⑵ (sin x d e ) x ∫ + 3 x ; ⑶ ( ) x a d a x ∫ + x ; ⑷ ∫(2 + cot x)dx 2 ; ⑸ ∫(2csc x − sec x tan x)dx 2 ; ⑹ ( ) x d 2 3 ∫ − 2 x ; ⑺ (x ) x ∫ + dx 1 2 ; ⑻ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dx x x x 1 1 1 1 3 2 ; ⑼ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dx x x 2 3 1 2 ; ⑽ 2 3 5 2 3 ⋅ − ⋅ ∫ x x x dx ; ⑾ cos cos sin 2x x x dx − ∫ ; ⑿ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + dx x x 2 2 1 3 1 2 ; ⒀ ( ) 1 2 ∫ − x x x dx ; ⒁ cos cos sin 2 2 2 x x x ∫ dx . 解（1） 3 3 2 3 2 4 3 2 1 2 10 ( 2 5 ) 2 5 4 3 3 x + − x x dx = x dx + x dx − xdx = x + x − x +C ∫ ∫ ∫ ∫ 。 （2）∫ (sin x d + 3ex ) x = sin 3 cos 3 x x xdx + e dx = − x + e +C ∫ ∫ x 。 （3）∫ ( ) x a a x + d = 1 1 ( 1 1 ln x a x a a x dx a dx x C a a a + + = + + ≠ + ∫ ∫ )。 （4） = ∫(2 + cot x)dx 2 2 (1+ = csc x)dx x − cot x C ∫ + 。 （5） = ∫(2csc x − sec x tan x)dx 2 2 2 csc xdx − sec x tan xdx = −2cot x − sec x +C ∫ ∫ 。 （6）∫( ) x d 2 − 2 3 x = 6 4 2 1 6 7 5 3 ( 6 12 8) 4 8 7 5 x − + x x − dx = x − x + x − x + C ∫ 。 （7） (x ) x ∫ + dx 1 2 = 2 3 2 1 1 1 ( 2 ) 2 3 x dx x x C x x + + = + − + ∫ 。 （8）∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dx x x x 1 1 1 1 3 2 = 3 3 6 3 7 2 6 1 1 1 6 2 (2 ) 2 3 2 3 x dx x x x x C x x x x +++ + = − + + + + ∫ 。 169

(9)「2 dx=|42+2·(5) 4+_1n2(2) +C。 In 4 In 2-In 33 In 99 dx= 2dx-5('dx=2x ln2-ln33+C。 (11)∫ cos 2x dx=(cos x+ sin x)dx=sin x-cosx+C cos- sIn x (12) 3 dx dx =2 arctan x-3 arcsinx+C o 1+x (13)(-x)x√x=(x2-x)k 4-7 (14) cos in d- cosar-sin' d=fecsc' sdr-fseci sdr =-cotx-tanx+C=-2csc 2x+C 2.曲线y=f(x)经过点(e,-1),且在任一点处的切线斜率为该点横坐 标的倒数,求该曲线的方程。 解由题意,曲线y=(x)在点(xy处的切线斜率为=1,于是 y=∫=m+C,将点(-)代入,得C=-2,所以曲线的方程为 3.已知曲线y=f(x)在任意一点(x,∫(x)处的切线斜率都比该点横坐标 的立方根少1, (1)求出该曲线方程的所有可能形式,并在直角坐标系中画出示意 (2)若已知该曲线经过(,1)点,求该曲线的方程 解(1)由题意可得=2-1,所以y=-1)=2-x+C,这

（9）∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dx x x 2 3 1 2 = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + dx x x x 9 1 ) 3 2 4 2 ( 1 2 2 1 1 4 ( ) ln 4 ln 2 ln 3 3 ln 9 9 x x x = + − +C − 。 （10） 2 3 5 2 3 ⋅ − ⋅ ∫ x x x dx = 2 5 2 5 ( ) 2 ( ) 3 ln 2 ln 3 3 x x dx dx x C 2 − = − ⋅ + − ∫ ∫ 。 （11） cos cos sin 2x x x dx − ∫ = (cos x + sin x d) x = − sin x cos x +C ∫ 。 （12）∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + dx x x 2 2 1 3 1 2 = 2 2 2 3 2arctan 3arcsin 1 1 dx dx x x C x x − = − + − ∫ ∫ + 。 （13） ( ) 1 2 ∫ − x x x dx = 3 11 7 15 4 4 4 4 4 4 ( ) 7 15 x − x dx = − x x +C ∫ 。 （14） cos cos sin 2 2 2 x x x ∫ dx = ∫ − dx x x x x 2 2 2 2 cos sin cos sin =∫ ∫ xdx − xdx 2 2 csc sec = −cot x x − tan +C = −2csc2x +C 。 ⒉ 曲线 经过点 ，且在任一点处的切线斜率为该点横坐 标的倒数，求该曲线的方程。 y f = (x) (e,−1) 解 由题意，曲线 y f = (x)在点(x, y)处的切线斜率为 dx x dy 1 = ，于是 ln dx y x C x = = + ∫ ，将点(e,−1)代入，得 C = −2，所以曲线的方程为 y = ln x − 2。 3．已知曲线 在任意一点 处的切线斜率都比该点横坐标 的立方根少 1， y f = (x) (x, f (x)) （1） 求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意 图； （2） 若已知该曲线经过( , 11)点，求该曲线的方程。 解（1）由题意可得 1 3 = x − dx dy ，所以 4 3 3 3 ( 1) 4 y x = − = dx x − x +C ∫ ，这 170

就是所求曲线方程的所有可能形式 (2)将点(1)代入上述方程,可得C=3,所以过点(1的曲线方 程为y x3-x+-

就是所求曲线方程的所有可能形式。 （2）将点( , 11)代入上述方程，可得 5 4 C = ，所以过点( , 的曲线方 程为 11) 4 5 4 3 3 4 y = x − x + 。 171