复旦大学：《数学分析》精品课程（电子教案）用多项式逼近连续函数

教案 用多项式逼近连续函数 复旦大学陈纪修金路 教学内容 介绍前苏联数学家 Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理( Weierstrass第 逼近定理)的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数,是经典分析学中重要的结果,以往教材中介绍的证明都 比较艰深,学生难以理解。我们发现了前苏联数学家 Korovkin的一种证明,思 想新颖,方法简单,且通过对多项式逼近连续函数的学习,可以使学生进一步理 解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义 定义10.5.1设函数∫(x)在闭区间[a,b上有定义,如果存在多项式序列 (Pn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x),则称f(x)在这闭区间上可以用多项式一致 逼近 应用分析语言,“f(x)在[ab]上可以用多项式一致逼近”可等价表述为 对任意给定的ε>0,存在多项式P(x),使得 P(x)-f(x)0,存在多项式P(x),使 I P(x)-f(x) 对一切x∈[a,b]成立 证不失一般性,我们设[a,b]为[0,1 设X是[0,1]上连续函数全体构成的集合,y是多项式全体构成的集合,现 定义映射 Bn: X f(t)→Bn1(,x)=∑f()C8x(1-x) 这里Bn(,x)表示∈X在映射Bn作用下的像,它是以x为变量的m次多项式,称 为 Bernstein多项式。 关于映射Bn,直接从定义出发,可证明它具有下述基本性质与基本关系式: (1)Bn是线性映射,即对于任意∫,g∈X及a,B∈R,成立 Bn(af+bg, x)=aB,, x)+p Bn (g, x); (2)Bn具有单调性,即对于任意f,g∈X,若f(1)≥g()(t∈[a,b])成立

教案 用多项式逼近连续函数 复 旦 大 学 陈纪修 金路 教学内容 介绍前苏联数学家 Korovkin 关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass 第 一逼近定理）的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都 比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家 Korovkin 的一种证明，思 想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理 解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义： 定义 10.5.1 设函数f (x)在闭区间 [a, b] 上有定义，如果存在多项式序列 ｛Pn (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致 逼近。 应用分析语言，“f (x)在 [a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为： 对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b] 成立。 这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家 Korovkin 在 1953 年给出的 证明。 定理 10.5.1(Weierstrass 第一逼近定理) 设 f (x) 是闭区间 [a, b] 上的连续 函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b] 成立。 证 不失一般性，我们设 [a, b] 为 [0, 1] 。 设 X 是 [0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y 是多项式全体构成的集合，现 定义映射 Bn : X → Y f (t) 6 Bn (f , x) = ∑= − − n k k k n k n x x n k f 0 ( )C (1 ) ， 这里Bn (f , x) 表示f ∈X在映射Bn 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称 为Bernstein多项式。 关于映射Bn，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式： (1) Bn 是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立 Bn (αf +βg, x) = αBn (f , x) +βBn (g, x)； (2) Bn 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]） 成立

Bn(,x)≥Bn(g,x) 对一切x∈[a,b]成立; (3)B1(1,x)=∑Cx2(1-x)=【x+(1-x)”=1 Bn(,x)=∑二Cx2( ∑Cmx(1-x) =x[x+(1-x)=x Bn(【,x) K=0 n- x2(1-x)=∑ k-1 x^(1-x) C n 综合上述三式,考虑函数(1-s)2在Bn映射下的像,注意s在这里被视为常 数,我们得到 Bn((t-s x)=Bn(G, x)-2sBn (t, x)+sBn(1, x) 现在我们来证明定理。 破于函数/在O1连续,所以必定有界,即存在M>0,对于一切t∈[,1], lf()|≤M; 而根据 Cantor定理,f在[0,1一致连续,于是对任意给定的ε>0,存在8>0, 对一切t,s∈[0, 当 时,成立 lf(1)-f(s) E 当|t-s|≥δ时,成立 2M 1f(1)-f()|≤2M≤-2(t-s) 也就是说,对一切,s∈[0,1l,成立 (t-s)≤f()-f(s) 2M 26 考虑上式的左端,中间,右端三式(关于t的连续函数)在映射Bn作用下的像 (关于x的多项式),注意f(s)在这里被视为常数,即Bn((),x)=f(s),并根据上面 性质(1),(2)与(3),得到对一切x,s∈[0,1],成立 (x-s] <B,(, x)-f(s) s)2] 令s=x,且注意x(1-x)≤1,即得

则 Bn (f , x) ≥ Bn (g, x) 对一切 x∈[a, b]成立； (3) Bn (1, x) = ∑ = [x + (1- x)] = − − n k k k n k n x x 0 C (1 ) n = 1； Bn (t, x) = ∑= − − n k k k n k n x x n k 0 C (1 ) = x∑= − − − − − n k k k n k n x x 1 1 1 1 C (1 ) = x [x + (1- x)] n = x； Bn (t 2 , x) = ∑= − − n k k k n k n x x n k 0 2 2 C (1 ) = ∑= − − − − n k k k n k n x x n k 1 1 1 C (1 ) = ∑= − − − − − n k k k n k n x x n k 2 1 1 C (1 ) 1 + ∑= − − − − n k k k n k n x x 1 n 1 1 C (1 ) 1 = ∑= − − − − − − n k k k n k n x x x n n 2 2 2 2 2 C (1 ) 1 + ∑= − − − − − n k k k n k n x x n x 1 1 1 1 C (1 ) = 1 2 x n n − + n x = + 2 x n x x 2 − 。 综合上述三式，考虑函数 (t - s) 2 在Bn 映射下的像，注意s在这里被视为常 数，我们得到 Bn ((t - s) 2 , x) = Bn (t 2 , x) - 2sBn (t, x) + s 2 Bn (1, x) = x 2 + n x x 2 − - 2 sx + s 2 = n x x 2 − + (x - s) 2 。 现在我们来证明定理。 由于函数 f 在[0, 1]连续，所以必定有界，即存在 M＞0，对于一切 t ∈[0, 1] ， 成立 ｜f (t)｜≤M； 而根据 Cantor 定理，f 在[0, 1]一致连续，于是对任意给定的ε＞0，存在δ＞0， 对一切 t, s ∈[0, 1]， 当｜t - s｜＜δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜＜ 2 ε ; 当｜t - s｜≥δ时，成立 ｜f (t) - f (s)｜≤2M ≤ 2 2 δ M (t - s) 2 。 也就是说，对一切 t, s ∈[0, 1], 成立 - 2 ε - 2 2 δ M (t - s) 2 ≤ f (t) - f (s) ≤ 2 ε + 2 2 δ M (t - s) 2 。 考虑上式的左端，中间，右端三式(关于t的连续函数)在映射Bn 作用下的像 (关于x的多项式)，注意f (s)在这里被视为常数，即Bn (f (s), x) = f (s)，并根据上面 性质(1)，(2)与(3)，得到对一切x, s ∈[0, 1]，成立 - 2 ε - 2 2 δ M [ n x x 2 − + (x - s) 2 ] ≤Bn (f , x) - f (s) ≤ 2 ε + 2 2 δ M [ n x x 2 − + (x - s) 2 ]， 令 s = x，且注意 x(1 - x)≤ 4 1 , 即得

cx(1-x)4-f(x)≤5 取N=[,],当n>N时, f(x)< k=o (n 对一切x∈0,1成立。 证毕 定理10.51还可以表述为:设∫在[a,b连续,则它的 Bernstein多项式序 列{Bn(,x)}在[a,b上一致收敛于∫。 注意点 (1)学生容易误认为:只要将∫(x)在{a,b]上展开成幂级数 fx)=∑an(x-x)”,x∈[a,b 然后令其部分和函数(多项式) Sn(x) ar(x-xo 则f(x)在[a,b上就可以由多项式序列{Sn(x)}一致逼近了。 事实上,对任意正整数n,n次多项式Sn(x)只能是在n-1次多项式Sn-1(x)的基 础上增加一项an(x-xo),而不能更改Sn-1(x)的任何一项。但是这么做需要函数 具有很好的分析性质,因为一个函数能展开成幂级数的必要条件之一是它任意次 可导,而对仅要求“一个函数可以用多项式一致逼近”来说,这个条件实在是过 分强了。究其原因,幂级数的部分和函数序列只是多项式序列的一种特殊情况。 如果不是用幂级数,而是用一般的多项式序列来逼近,则对函数的要求就可以弱 得多。事实上, Weierstrass首先证明了:闭区间[a,b上任意连续函数f(x)都可 以用多项式一致逼近。 (2)定理证明有许多方法,例如还有 Bernstein给出的证明等。可以介绍同学自 己去阅读相关的资料,对多项式逼近连续函数的不同证明进行比较,扩大知识面 提高学习能力

∑= − ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n k k k n k n x x f x n k f 0 C (1 ) ( ) ≤ 2 ε + 2 2nδ M 。 取 N = [ δ ε 2 M ]，当 n＞N 时, ∑= − ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n k k k n k n x x f x n k f 0 C (1 ) ( ) ＜ε 对一切 x∈[0, 1]成立。 证毕 定理 10.5.1 还可以表述为： 设f 在 [a, b] 连续，则它的Bernstein多项式序 列｛Bn (f , x)｝在 [a, b] 上一致收敛于f 。 注意点 （1）学生容易误认为：只要将 f (x)在 [a, b] 上展开成幂级数 f (x) = ∑ , x∈[a, b] ， ∞ = − 0 0 ( ) n n n a x x 然后令其部分和函数（多项式） Sn (x) = ∑ ， = − n k k k a x x 0 0 ( ) 则f (x)在 [a, b] 上就可以由多项式序列｛Sn (x)｝一致逼近了。 事实上，对任意正整数n，n次多项式Sn (x)只能是在n-1 次多项式Sn -1(x)的基 础上增加一项an (x - x0) n ，而不能更改Sn -1(x)的任何一项。但是这么做需要函数 具有很好的分析性质，因为一个函数能展开成幂级数的必要条件之一是它任意次 可导，而对仅要求“一个函数可以用多项式一致逼近”来说，这个条件实在是过 分强了。究其原因，幂级数的部分和函数序列只是多项式序列的一种特殊情况。 如果不是用幂级数，而是用一般的多项式序列来逼近，则对函数的要求就可以弱 得多。事实上，Weierstrass 首先证明了：闭区间 [a, b]上任意连续函数 f (x)都可 以用多项式一致逼近。 （2）定理证明有许多方法，例如还有 Bernstein 给出的证明等。可以介绍同学自 己去阅读相关的资料，对多项式逼近连续函数的不同证明进行比较，扩大知识面， 提高学习能力