《大学物理》课程PPT教学课件：第五篇 量子现象和量子规律 第17章 量子力学的基本原理 §17.4 薛定谔方程应用举例（一维问题）

2第五篇量子现象和量子规律 第17章量子力学的基本原理 本章共3讲

? 本章共3讲 第五篇 量子现象和量子规律 第17章 量子力学的基本原理

§17.4薛定谔方程应用举例(一维问题) 维无限深势阱 1·模型的建立:是微观粒子被局限于某区域中,并 在该区域内可以自由运动的问题的简化模 例如:金属中自由电子 受规则排列的晶格点阵作用 简|相互碰撞(简化:交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势能墙 的阻碍—势阱 认为金属中自由电子不能逸出表 面无限深势阱 可解释金属导热、导电、顺磁性

§17.4 薛定谔方程应用举例(一维问题) 一·一维无限深势阱 1·模型的建立：是微观粒子被局限于某区域中，并 在该区域内可以自由运动的问题的简化模型。 U 例如：金属中自由电子 简 化 受规则排列的晶格点阵作用 相互碰撞 (简化：交换动量) 只考虑边界上突然升高的势能墙 的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表 面——无限深势阱 o a o a U  可解释金属导热、导电、顺磁性…

例如:两栅极间的电子 U=Uc,=0 bO-4 电子在两栅极间可自由运动 △U/=△U GC 使电子返回栅极间区域 △Uac=△Uc→>∞电子只能在两栅极间自由运动 2.写出具体问题中势函数U()的形式,代入一维定态 薛定谔方程的一般形式,得本问题中的薛定谔方程

例如：两栅极间的电子 G C 电子在两栅极间可自由运动 UG = UG = 0 UGC = UGC →  UGC = UGC 使电子返回栅极间区域 电子只能在两栅极间自由运动 2. 写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程

设粒子在一维无限深势阱运动 U 势函数 0(0<x<a) U(x) x≤0,x≥ 代入一维定态薛定谔方程的一般形式 d y. 2m +2(E-U)=0 得本问题中的薛定谔方程 d v neYsa 0<x<a d d2y+2n(E-∞)y=0x≤0,x≥a 十 dx h

U(x) = 0 (0 < x < a)  (x  0, x  a) 势函数 设粒子在一维无限深势阱运动 o a U  x 代入一维定态薛定谔方程的一般形式 ( ) 0 2 d d 2 2 2 + −  =  E U m x  得本问题中的薛定谔方程: 0 0 < x < a 2 d d 2 2 2 +  =  E m x  ( ) 0 x  0, x  a 2 d d 2 2 2 + −   =  E m x 

3.求解波函数 U d y 2 十 dx h m2(E-a)v=0 该方程只有解=0 x≤0,x≥av=0(即粒子不能逸出势阱) ②dy,2mE 十 0<x< d 令k 2mE 得 +k y 0 通解:v(x)= A ka+ Bcos kr 积分常数

o a U  x 3. 求解波函数 x  0, x  a  = 0 （即粒子不能逸出势阱） ( ) 0 2 d d 2 2 2 + −   =  E m x  该方程只有解Ψ＝0 ① ( x a) mE x + = 0 0   2 d d 2 2 2    ② 令 2 2 2  mE k = 得 0 d d 2 2 2 +  =  k x 通解: (x) = Asinkx + Bcos kx 积分常数

4.用归一化条件和标准条件确定积分常数 通解:v(x)= sinar+ Bcos k 由波函数标准条件(单值、有限、连续)得边界条件: y(0)=y()=0 U 由yQ=0得:B=0 y(x=Asin kc 由y(a)=0得 Asina=0 、lz (n=1,2,3…) 思考:m为什么不取零和负数?

由（0）= 0 得： B = 0  (x) = Asinkx 由(a) = 0 得 Asinka = 0 a n k  = (n = 1,2,3) 4.用归一化条件和标准条件确定积分常数 通解:  (x) = Asinkx + Bcos kx 思考：n为什么不取零和负数？ 由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件：  (0) = (a) = 0 o a U  x

y(x)= Asin--x(n=1,2,3,) 由归一化条件∫dx=1 y·ydx sin2 nx A 于是:v(x) 2.n兀x SIn (n=1,2,3,) y(, t) SIn zx.abB(n=1,2,3…) 注意:解为驻波形式

Et i e a n x a Ψ x t  − =   sin 2 ( , ) (n = 1,2,3) 注意： 解为驻波形式 于是： a n x a x   sin 2 ( ) = (n = 1,2,3,...) 由归一化条件 | | d 1 2 =   − Ψ x d sin d 1 2 0 * 2  = =    − x a n x x A a    a A 2 = x a n x A  ( ) = sin (n = 1,2,3,...)

5.讨论解的物理意义 1)无限深势阱中粒子的能量量子化 白k 2mE hs nn 得能量本征值 k h nnh E n2E,(n=1,2,3,) 2m 2ma 2 E只能取一系列分离值n2E1 E n n2h 式中 E 12m 最小能量E即零点能 粒子不可能静止不动,满足不确定关系

5.讨论解的物理意义 , 最小能量E1 即零点能 粒子不可能静止不动，满足不确定关系 式中 2 2 2 1 2ma E   = 1）无限深势阱中粒子的能量量子化 2 2 2  mE k = a n k  由 = 得能量本征值 (n = 1,2,3,...) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n E ma n m k E = = =    1 2 E只能取一系列分离值 n E E o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 x

是否满足对应原理? 由E kin2 nizn 2m 2mh=n2E1(n=1,2,3,) △E=E m+1-E=(2n+12h2 2 E n个→△E个 n n=3 a个→△E↓ n=2 n=1xm2>>h2→△E→0 回到经典情况,能量连续。请举实例!

( ) 2 2 2 1 2 2 1 ma E En En n    = + − = + 由 (n = 1,2,3,...) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n E ma n m k E = = =    是否满足对应原理？ 0 ma 2    2  E → 回到经典情况，能量连续。请举实例！ n   E  a   E  E o a n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 x

2)粒子在势阱中的概率分布 经典:势阱中U=0,粒子匀速直线运动 粒子在势阱內各处出现的概率相等 量子: 振幅图数y(x)=VaSz上 波函数y(,1)=2sm nIn E (n=1,2,3 e 概率密度1(x,1)=(x.,nar SIn 波函数为驻浪波形式,势阱中不同位置强度不等,粒子 出现的概率不相同

2） 粒子在势阱中的概率分布 经典：势阱中U = 0，粒子匀速直线运动 粒子在势阱内各处出现的概率相等 量子： 振幅函数 a n x a x   sin 2 ( ) = 波函数 Et i e a n x a Ψ x t  − =  sin 2 ( , ) 概率密度 a n x a Ψ x t x   2 2 2 sin 2 | ( , )| =| ( )| = (n = 1,2,3,...) 波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒子 出现的概率不相同